Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
где dΦ – приращение магнитного
2
1
А Id=Φ
∫
потока через контур при данном
перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Сначала рассмотрим частный
Рис. 4.8
случай: контур (рис. 4.8) [5] с подвижной перемычкой длиной находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку, согласно
(4.22), действует амперова сила F = I B. При перемещении
перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу:
δА = Fdx = IB dx = IbdS, (4.34)
где dS – приращение площади, ограниченной контуром.
Для определения знака магнитного потока Φ условимся
всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром, так, чтобы она образовывала с направлением тока
в контуре правовинтовую систему (рис. 4.8) [5]. При этом
ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ
может быть и положительным, и отрицательным. Но в нашем примере как Φ, так и dΦ = ВdS являются величинами
положительными (если бы поле B было направлено на нас
или перемычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях
dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих вариантов вы-
ражение (4.34) можно представить в виде (4.33).
Полученный результат справедлив и для произвольного
направления поля B.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от начального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (4.33):
. (4.35)
91
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоян-
21
()АI= Φ −Φ
ным, то
Здесь Φ
и Φ2 – магнитные потоки через контур в началь-
1
. (4.36)
ном и конечном положениях. Таким образом, работа амперовых сил в данном примере равна произведению силы
тока на приращение магнитного потока через контур. Выражение (4.36) дает не только величину, но и знак совершаемой работы.
Глава 5
0
′
=+BBB
0
0dS =
∫
B
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
5.1. Намагничивание вещества. Намагниченность
Поле в магнетике. Если в магнитное поле, образован-
ное токами в проводах, ввести то или иное вещество, поле
изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного
поля намагничиваться – приобретать магнитный момент.
Намагниченное вещество создает свое магнитное поле B′,
которое вместе с первичным полем B
ками проводимости, образует результирующее поле:
, обусловленным то-
0
Здесь B′ и B – поля, усредненные по физически бесконечно
малому объему.
Поле B′ и поле B
ников (магнитных зарядов), поэтому для результирующего
поля B0 при наличии магнетика справедлива теорема Гаусса
Это означает, что линии вектора B и при наличии вещества остаются всюду непрерывными.
Механизм намагничивания. Как установлено в настоящее время, молекулы многих веществ обладают собственным магнитным моментом, обусловленным внутренним
движением зарядов. Каждому магнитному моменту соответствует элементарный круговой ток, создающий в окружающем пространстве магнитное поле. При отсутствии
внешнего магнитного поля магнитные моменты молекул
. (5.1)
токов проводимости не имеют источ-
0
. (5.2)
93
ориентируются беспорядочно, поэтому обусловленное ими
m
1
V
=Σ
∆
Ip
m
p
m
n=Ip
результирующее магнитное поле равно нулю. Равен нулю
и суммарный магнитный момент вещества. Последний вывод относится и к тем веществам, молекулы которых при
отсутствии внешнего поля не имеют магнитных моментов.
Если вещество поместить во внешнее магнитное поле,
под действием этого поля магнитные моменты молекул
приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении и вещество намагничивается – его суммарный
магнитный момент становится отличным от нуля. При этом
магнитные поля отдельных молекул уже не компенсируют
друг друга, в результате возникает поле B′.
Иначе происходит намагничивание веществ, молекулы
которых при отсутствии внешнего поля не имеют магнитного момента. Внесение таких веществ во внешнее поле индуцирует элементарные круговые токи в молекулах, и молекулы, а вместе с ними и все вещество приобретают магнитный
момент, что также приводит к возникновению поля B′.
Большинство веществ при внесении в магнитное поле
намагничивается слабо. Сильными магнитными свойствами обладают только ферромагнитные вещества.
Намагниченность. Степень намагничивания магнетика
характеризуют магнитным моментом единицы объема. Эту
величину называют намагниченностью и обозначают I. По
определению
, (5.3)
где ∆V – физически бесконечно малый объем в окрестности данной точки;
– магнитный момент отдельной мо-
лекулы. Суммирование проводится по всем молекулам
в объеме ∆V. Вектор I характеризует интенсивность намаг-
ничивания.
Аналогично тому, как это было сделано для поляризованности P, намагниченность можно представить как
. (5.4)
94
Здесь n – концентрация молекул;
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
– средний магнитный момент одной молекулы. Из последней формулы видно, что вектор I сонаправлен именно со средним вектором
, поэтому в дальнейшем достаточно знать поведение
вектора
и представлять себе все молекулы в пределах
объема ∆V имеющими одинаковый магнитный момент
. Это значительно облегчит понимание вопросов, связанных с явлением намагничивания. Например, увеличение
намагниченности I вещества означает соответствующее
увеличение вектора
: если I = 0, то и
= 0.
Одинаковый во всех точках вещества вектор I свиде-
тельствует об однородной намагниченности вещества.
Токи намагничивания I′. Намагничивание вещества,
как уже было отмечено, обусловлено преимущественной
ориентацией или индуцированием магнитных моментов
отдельных молекул в одном направлении. Это же можно
сказать и об элементарных круговых токах, связанных с
каждой молекулой, – молекулярных токах. Такое поведение
молекулярных токов приводит к появлению макроскопических токов I′, называемых токами намагничивания. Обычно токи, текущие по проводникам, связаны с перемещением
в веществе носителей тока – токов проводимости I.
Чтобы понять, как возникают токи намагничивания,
представим себе сначала цилиндр из однородного магнетика, намагниченность I которого однородна и направлена
вдоль оси. У соседних молекул молекулярные токи в местах
их соприкосновения текут в противоположных направлениях и макроскопически взаимно компенсируют друг друга. Нескомпенсированными остаются только молекулярные токи, выходящие на боковую поверхность цилиндра.
Эти токи и образуют макроскопический поверхностный
ток намагничивания I′, циркулирующий по боковой по-
верхности цилиндра. Ток I ′ возбуждает такое же макро-
скопическое магнитное поле, как и молекулярные токи,
вместе взятые.
95
Можно утверждать, что вклад от намагниченного маг-
0
()dII
′
=µ +
∫
B
dI
′
=
∫
I
0
dI
′
−=
µ
∫
B
I
нетика в поле B равен вкладу, который был создан тем же
распределением токов I′ в вакууме. Иначе говоря, установив распределение токов намагничивания I′, можно с помощью закона Био – Савара найти соответствующее им поле
B′ и по формуле (5.1) вычислить результирующее поле B.
5.2. Теорема о циркуляции вектора напряженности
магнитного поля H (для магнитного поля
постоянных токов)
В магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле,
возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора B теперь будет определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания, а именно
где I и I′ – токи проводимости и намагничивания, охватываемые заданным контуром Г.
Ввиду того что определение токов I
задача сложная, формула (5.5) становится малопригодной
в практическом отношении. Оказывается, однако, можно
найти некоторый вспомогательный вектор, циркуляция которого будет определяться только токами проводимости,
охватываемыми контуром Г. Как нам известно, с током I ′
связана циркуляция намагниченности
Предполагая, что циркуляция векторов B и I берется по
одному и тому же контуру Г, выразим I
с учетом (5.6), тогда
Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначим
буквой H.
96
, (5.5)
′ в общем случае –
. (5.6)
′
в уравнении (5.5)
. (5.7)
Итак, нами найден некоторый вспомогательный вектор H:
0
=−
µ
B
HI
dI=
∫
H
, (5.8)
циркуляция которого по произвольному контуру Г равна
алгебраической сумме токов проводимости I, охватываемых этим контуром:
. (5.9)
Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора
H: циркуляция вектора H по произвольному замкнутому
контуру равна алгебраической сумме токов проводимости,
охватываемых этим контуром.
Правило знаков для токов аналогично случаю циркуляции вектора B.
Заметим, что вектор H представляет собой комбинацию
двух совершенно различных величин: B/µ
и I. Поэтому H –
0
это действительно вспомогательный вектор. Величину H
называют напряженностью магнитного поля. Однако важное свойство вектора H, выраженное в теореме о его циркуляции, оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в магнетиках.
Соотношения (5.8) и (5.9) справедливы для любых магнетиков, в том числе и анизотропных. Из формулы (5.9)
видно, что модуль вектора H имеет размерность силы тока,
деленной на длину. В связи с этим единицей вектора H является ампер на метр (А/м).
Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора H
∇ × H = I, (5.10)
т. е. ротор вектора H равен плотности тока проводимости в той же точке вещества.
Связь между векторами I и H. Намагниченность I за-
висит от магнитной индукции B в данной точке вещества.
Однако I принято связывать не с B, а с вектором H. Ограни-
чимся пока рассмотрением только таких магнетиков, для
97
которых зависимость между I и H носит линейный характер, а именно:
I = χ H, (5.11)
где χ – магнитная восприимчивость – безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика (безразмерность χ следует из того, что, согласно (5.8), размерности
H и I одинаковы), которая также может зависеть от H, температуры, концентрации примесей и т. д.
В отличие от диэлектрической восприимчивости (всегда положительна) магнитная восприимчивость χ бывает
как положительной, так и отрицательной. Соответственно
магнетики, подчиняющиеся зависимости (5.11), подразделяют на парамагнетики (χ > 0) и диамагнетики (χ < 0).
У парамагнетиков I↑↑H, у диамагнетиков I↓↑H.
Кроме того, существуют ферромагнетики, у которых зависимость I(H) носит весьма сложный характер: она нелинейная и наблюдается гистерезис, т. е. зависимость I от
предыстории магнетика. (Более подробно о ферромагнетиках будет изложено в параграфе 5.4.)
Связь между B и H. Для магнетиков, подчиняющихся
зависимости (5.11), выражение (5.8) принимает вид (1 +χ)
H = B/µ
B = µµ
. Отсюда
0
H, (5.12)
0
где µ – магнитная проницаемость среды:
µ = 1 + χ. (5.13)
У парамагнетиков µ > 1, у диамагнетиков µ < 1, причем
эти отличия весьма малы, т. е. магнитные свойства этих
магнетиков выражены очень слабо.
5.3. Граничные условия для B и H
Речь идет об условиях для векторов B и H на границе
раздела двух однородных магнетиков. Эти условия, как
и в случае диэлектрика, получим с помощью теоремы Гаус-
98
са и теоремы о циркуля-
0d =
∫
BS
dI=
∫
H
2 n 1 n
B0SBS
′
∆+∆=
11nn
BB
′
=−
ции. Для векторов B и H
данные теоремы, как известно, имеют вид
,
. (5.14)
Условие для вектора
B. Представим себе очень
малой высоты цилиндр,
Рис. 5.1
расположенный на границе раздела магнетиков (рис. 5.1). Тогда поток вектора B наружу из этого цилиндра (потоком через боковую поверхность пренебрегаем) можно записать так:
.
Взяв обе проекции вектора B на общую нормаль n, получим
и предыдущее уравнение после сокраще-
ния на ∆S примет вид
B
= B1n, (5.15)
2n
т. е. нормальная составляющая вектора B оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела. Эта величина
скачка не испытывает.
Условия для вектора H. Для большей общности предположим, что вдоль поверхности раздела магнетиков течет
поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i.
Применим теорему о циркуляции вектора H к очень малому
прямоугольному контуру, высота которого пренебрежимо
мала по сравнению с его длиной . Расположение этого контура показано на рис. 5.2. Пре-
Рис. 5.2
небрегая вкладом в циркуля-
99
цию на боковых сторонах контура, запишем для всего
21
H Hi
ττ
+=
N
11
HH
′
ττ
=−
21
H Hi
ττ
−=
N
21
HH
ττ
=
контура
где i
– проекция вектора i на нормаль N к контуру (вектор
N
,
N образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему). Взяв обе проекции вектора H на общий орт
касательной τ (в среде 2), получим
и после сокращения на предыдущее уравнение выразим
в виде
, (5.16)
т. е. тангенциальная составляющая вектора H при переходе
границы раздела магнетиков претерпевает скачок, связанный с наличием поверхностных токов проводимости.
Однако при отсутствии на границе раздела магнетиков
токов проводимости (i = 0) тангенциальная составляющая
вектора H оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела:
. (5.17)
Итак, если на границе раздела двух однородных магнетиков тока проводимости нет, то при переходе этой границы
составляющие B
и Нτ изменяются непрерывно, без скачка.
n
Составляющие Bτ и Нn при этом претерпевают скачок.
Заметим, что на границе раздела
вектор B ведет себя аналогично вектору
D, а вектор H – аналогично вектору E.
Преломление линий вектора B.
На границе раздела двух магнетиков
линии вектора B испытывают преломление (рис. 5.3). Как и для диэлектриков, найдем отношение тангенсов углов
Рис. 5.3
α1 и α2:
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]