Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
12
21
00
()
nn
ЕE
′′
σ −σ
σ
−= +
εε
. (1.43)
12
21
00
()
nn
nn
РP
ЕE
−
σ
−= +
εε
0
=ε+DEP
12
()
nnn
D dS D D dS N
′′
= − + =ρ
∫
Согласно подпараграфу 1.15.2, нормальная проекция
вектора поляризации равна поверхностной плотности поляризационных зарядов, следовательно, (1.43) можно записать
в виде
. (1.44)
Определим электрическое смещение (электрическую
индукцию) для произвольного диэлектрика:
. (1.45)
Тогда из сказанного следует
D
– Dn2 = σ. (1.46)
n1
В электрическом поле на границе раздела диэлектриков
нормальная составляющая D
испытывает скачок, равный σ.
n
Еще раз отметим, что σ означает поверхностную плотность свободных зарядов, т. е. зарядов, которые могут перемещаться на макроскопические расстояния (электроны
в металлах, ионы в газах и электролитах и заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектриков и нарушающие их
нейтральность).
Условие (1.46) является, в сущности, не чем иным, как
предельной формой уравнения Пуассона (1.15) для зарядов,
расположенных бесконечно тонким слоем. Если в уравнении Пуассона (1.15), оставляя неизменным заряд слоя,
уменьшить его толщину d до нуля, то непрерывность вектора D нарушится и уравнение (1.15) в пределе примет вид
(1.46). Действительно,
,
41
где dS′ – поверхность основания заряженного слоя; N′ – по-
21nn
DD
dS
ρ
− = =σ
′
ток D через боковую поверхность. При переходе d → 0 величина N′ → 0, поэтому
. (1.47)
Поверхностная дивергенция обозначается Div, и урав-
нение (1.47) можно записать в виде
Div D = σ. (1.48)
Нормальная проекция вектора электрической индукции
на границе раздела смежных сред при наличии внешнего
электрического поля имеет разрыв первого рода.
1.15.5. Трение двух диэлектриков
Трение – одна из причин появления электрических зарядов на поверхности изоляторов. Нет никаких общих правил, позволяющих предвидеть значение и полярность электрических зарядов, особенно при работе с новыми материалами, используемыми в промышленности. Для определения
знака заряда при контакте между различными материалами
составлены трибоэлектрические ряды. Любой материал заряжается положительным зарядом при контакте с одним из
материалов, представленных в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Трибоэлектрический ряд для различных материалов
Асбест Хлопок
Стекло Дерево
Слюда Воск красный
Шерсть Эбонит
Мех Медь, латунь, серебро
Свинец Сера
Шелк Платина, ртуть
Алюминий Каучук
Бумага
42
Еще в 1898 г. Пол Дж. Коэн (Coehn) установил, что из
непроводящих материалов положительно заряжается материал с большей диэлектрической проницаемостью.
Приведем также трибоэлектрический ряд Фрейтага
(табл. 1.3).
Таблица 1.3
Первое тело
Шерсть Шелк Кожа
Полярность зарядов при контакте двух диэлектриков
Стекло + +
Слюда + +
Алмаз + +
Сера – – –
Дерево сухое –
Янтарь – –
Эбонит – – –
Кварц + +
Полярность зарядов при контакте жидкости
с твердым диэлектриком
Жидкость Стекло Сера
Вода +
Глицерин +
Ацетон +
Уксусная кислота + +
Этиловый эфир – –
Скипидарное масло – –
Бензол –
Полярность зарядов при контакте с диэлектриком
Металл Стекло Эфир Бензол Воздух
Платина +
Серебро +
Ртуть +
Медь + + +
Латунь + +
Свинец – – –
Железо + + –
Цинк – + + –
Алюминий + + –
Второе тело
43
1.15.6. Объемные и поверхностные связанные заряды
и
+−
′′
ρρ
+
′
ρ
−
′
ρ
+
′
ρ
−
′
ρ
+
′
ρ
−
′
ρ
+
′
ρ
−
ρ
В результате поляризации на поверхности диэлектрика,
а также в его объеме появляются нескомпенсированные заряды. Чтобы понять, каким образом возникают эти заряды
(особенно объемные), обратимся к следующей модели.
Пусть имеется пластина из нейтрального неоднородного
диэлектрика (рис. 1.10, а) [1], у которого, например, плотность как-то увеличивается с ростом координаты х. Обозначим модули объемной плотности положительного и отрицательного зарядов в веществе (эти заряды связаны с ядра-
ми и электронами)
.
При отсутствии внешнего поля в каждой точке диэлек-
=
трика
но в силу неоднородности диэлектрика как
, так как диэлектрик электрически нейтрален,
, так и
увеличиваются с ростом х (рис. 1.10, б). Из рисунка видно,
что если внешнего поля нет, то оба распределения в точности накладываются друг на друга (распределение
показано сплошной линией, а распределение
(х) – пун-
(х)
ктирной).
При включении внешнего поля Е положительные заряды смещаются по полю, отрицательные – против поля
и оба распределения сдвинутся относительно друг друга
(рис. 1.10, в). В итоге появятся нескомпенсированные заряды на поверхности диэлектрика и в его объеме (на рисунке
в объеме наблюдается отрицательный нескомпенсирован-
ный заряд). Изменение
направления поля на обратное приведет к изменению знака всех этих
зарядов. Нетрудно предположить, что в случае
пластины из однородного
диэлектрика каждое рас-
Рис. 1.10
пределение
(х) и
имело бы П-образную
(х)
44
форму и при их относительном смещении в поле Е воз-
Е
′
Е
′
Е
′
никли бы только поверхностные нескомпенсированные
заряды.
Нескомпенсированные заряды, образующиеся в результате поляризации диэлектрика, называют поляризационными, или связанными. Последним термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения таких зарядов ограничена.
Они могут смещаться лишь внутри электрически нейтральных молекул. Связанные заряды будем отмечать штрихом
(q΄, ρ΄, σ΄).
Итак, при поляризации диэлектрика в нем могут появиться в общем случае и объемные, и поверхностные связанные заряды.
Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика, обозначим как сторонние (сторонние заряды часто называют свободными, но последнее название для ряда случаев неудачное: сторонние заряды бывают и несвободными). Эти заряды могут находиться как внутри, так и вне
диэлектрика.
Поле Е – суперпозиция поля Е
и поля
связанных зарядов:
сторонних зарядов
0
Е = Е0 +
где Е
и
0
бесконечно малому объему микрополя соответственно сторонних и связанных зарядов. Ясно, что определенное таким
образом поле Е в диэлектрике представляет собой также
макрополе.
1.15.7. Сегнетоэлектрики
Некоторые химические элементы в твердом состоянии
проявляют зависимость относительной диэлектрической
проницаемости ε от напряженности электрического поля Е,
при этом ε достигает огромных значений – 10 000. Первоначально указанные свойства были обнаружены в кристаллах
– макрополя, т. е. усредненные по физически
, (1.49)
45
Рис. 1.11 Рис. 1.12
сегнетовой соли. Сегнетова соль представляет собой двойную
натрий-калиевую соль винной кислоты NaKC4H4O6⋅4H2O,
ее кристаллы принадлежат к ромбической системе и характеризуются резкой анизотропией свойств. Сегнетоэлектрические свойства наблюдаются, если электрическое
поле направлено вдоль кристаллографической оси а, b
( рис. 1.11).
Интересна особенность сегнетовой соли: зависимость
смещения D от напряженности поля Е имеет вид, изображенный на рис. 1.12, т. е. обладает гистерезисом.
При первоначальном увеличении поля нарастание смещения описывается ветвью кривой 1. Если затем умень-
шить электрическое поле (напряжение на конденсаторе), то
изменение смещения будет происходить в соответствии
с ветвью 2. Если Е = 0, смещение не равно нулю и изображается отрезком D1. Это показывает, что в сегнетовой соли
имеется остаточная поляризация, которая сохраняется даже
в отсутствие внешнего электрического поля.
Чтобы уничтожить остаточную поляризацию, нужно
создать поле Е1 обратного направления 3. При циклическом
изменении электрического поля смещение D описывается
петлеобразной кривой – петлей гистерезиса.
Сегнетоэлектрические свойства сильно зависят от температуры и исчезают при температурах, превышающих
определенное значение Тк (температура Кюри, или точка
Кюри. В некоторых случаях, например для сегнетовой
46
соли, существуют две температуры Кюри (+24 и –18 °С)
и сегнетоэлектрические свойства наблюдаются только при
температурах, лежащих между обеими точками. Наличие
одной или нескольких точек Кюри является четвертым характерным свойством всех сегнетоэлектриков. Практически важным сегнетоэлектриком является титан бария
BaTiO3 с точкой Кюри 120 °С и ε = 6000 – 7000, что важно
при создании конденсаторов большой емкости.
Причина сегнетоэлектрических свойств – самопроизвольная поляризация сегнетоэлектриков, возникающая
вследствие образования диэлектрических доменов, а следовательно, большого электрического момента даже в отсутствие внешнего электрического поля. В обычных условиях спонтанная поляризация не проявляется, так как поляризованность в разных областях направлена различно
и результирующее значение электрического момента всего сегнетоэлектрика близко к нулю. Если области спонтанной поляризации велики или даже если весь кристалл
представляет собой одну такую область, то поляризация
обычно все же не проявляется, поскольку на поверхности
кристалла образуются поверхностные заряды, компенсирующие заряды кристалла, поэтому могут наблюдаться
только изменения электрического момента сегнетоэлектрика.
1.15.8. Пироэлектрики
Кристаллы, в которых возникает спонтанная поляризация без внешнего электрического поля, образуют более широкую группу, названную пироэлектриками. Для появления спонтанной поляризации такого рода необходимо, чтобы у кристалла было выделенное направление, и притом
единственное; рассматриваемая поляризация фактически
не изменяется внешним электрическим полем.
Вследствие компенсации поляризационных зарядов изза проводимости кристалла, а также в результате оседания
47
ионов из воздуха постоянная спонтанная поляризация не
наблюдается. Однако она проявляется в случае нагревания
кристалла. При тепловом расширении изменяется расположение ионов в электрической ячейке, а следовательно, и ее
дипольный момент, и поляризованность кристалла. Это изменение и вызывает возникновение поляризационных зарядов на гранях кристалла. Электризация при нагревании
кристаллов получила название пироэлектрического эффекта. Классический пример пироэлектрика – кристаллы турмалина. Из 32 кристаллографических классов симметрии
только 10 являются пироэлектрическими.
1.15.9. Пьезоэлектрический эффект
В некоторых кристаллах поляризация может возникнуть и без внешнего поля, если кристалл подвергается механическим деформациям. Это явление, открытое в 1880 г.
П. Кюри, получило название пьезоэлектрического эффекта.
Чтобы обнаружить пьезоэлектрические заряды, на грани
кристаллической пластинки накладывают металлические
обкладки. При деформации между обкладками обнаруживается разность потенциалов, при этом в кристалле имеется
одно или несколько направлений, где пьезоэлектрический
эффект выражен наиболее сильно. В различных кристаллах
пьезоэлектрический эффект может возникнуть не только
под действием нормальных сил давления или натяжения,
но и под действием касательных сил. Внутреннее состояние
упругих натяжений кристалла характеризуется тензором
упругих натяжений:
τ
, τyy, τzz, τyz = τzy, τzx = τxz, τxy = τyx,
xx
где первый индекс указывает направление внешней нормали площадки, к которой приложена сила натяжения, а второй – направление координатной оси, на которую проецируется эта сила. Для сокращения записи компоненты симметричного тензора натяжений принято нумеровать одним
индексом:
48
τ1 ≡ τxx, τ2 ≡ τyy, τ3 ≡ τzz,
τ
≡ τyz ≡ τzy, τ5 ≡ τzx ≡ τxz, τ6 ≡ τxy ≡ τyx.
4
В случае малых деформаций между компонентами вектора поляризации Р и компонентами тензора натяжений существует линейная связь:
P
P
P
= d11τ1 + d12τ2 + … d16τ6,
x
= d21τ1 + d22τ2 + … d26τ6,
y
= d31τ1 + d32τ2 + … d36τ6.
z
Отсюда видно, что в общем случае пьезоэлектрические
свойства кристалла характеризуются 18 постоянными –
пьезоэлектрическими модулями, впрочем, из-за симметрии
число модулей часто уменьшается. Для кварца d
= –d11,
12
d25 = –d14, d26 = –2d11, а все остальные модули обращаются
в нуль, поэтому для кварца имеется только два модуля – d11
и d14. Тогда
P
P
= d11τ1 – d11τ2 + d14τ4,
x
= –d14τ5 – 2d11τ6,
y
P
= 0.
z
Известны сотни веществ, которые в принципе могли бы
быть использованы для практического применения, однако
требование к величине пьезоэффекта, механическая и электрическая прочность, устойчивость к влаге резко ограничивают список кристаллов. Из них на первом месте стоит
кварц. Области применения пьезоэлектрического эффекта
(прямого и обратного) весьма многочисленны и разнообразны: стабилизаторы и фильтры в радиотехнике, пьезодатчики в автоматике и телемеханике, микрофоны, телефоны
и т. д. Если частота электрического поля и собственная ча-
49
стота механических колебаний кварцевой пластинки совпа-
2
i
hn
λ
=
дают, то пластинка становится мощным излучателем звука.
Собственные частоты кварца определяются соотношением
,
где λ – длина волны в кварце, а n – целое число. При n = 1
получается основное колебание пластинки, при n = 2, 3, 4 –
соответствующие ему обертоны. Кварцевые излучатели
звука предложены французским физиком П. Ланжевеном
в Первую мировую войну.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]