Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
Рис. 2.5. Зависимость безразмерной амплитуды электрического поля
( )
/ExA
от глубины проникновения электромагнитной волны (ω = 109)
в двухслойной среде: ε1 = 15, τp1 = 0, μ1 = 1, λ1 = 0; ε2 = 20, τр2 = 10
μ2 = 10 (кривая 1); 100 (2), 1000 (3); λ2 = 10 (а), 100 (б); 1000 (в)
–10
Отметим, что времена релаксации также могут оказать
существенное влияние на распространение электромагнитной волны (данные не приводятся).
Пример 3. Численное моделирование электрохимических систем. Нагрев
электрохимической ячейки при
постоянном и импульсном электролизе. В электрохи-
мических системах, как правило, электроды являются металлами. Электропроводность металлов в сотни раз выше
удельной электропроводности электролитов, поэтому можно
не учитывать падение напряжения на электродах и в проводящих проводах. В хорошо проводящих металлах можно
пренебречь также токами смещения, коэффициентами амбиполярной диффузии и термодиффузии и ограничиться
анализом системы уравнений (1.26), (1.43) только в самом
электролите.
201
,
Рассмотрим процесс нагрева электрохимической среды
( )
q
It
42
CuSO 5H O⋅
6
э
0.6588 10k−=⋅
( )
nλ
λ
4
CuSO
10
5 10
M
D−=⋅
11
10
A
D
∗−
=λ
4
10
A
∗−
λ=λ
70ε=
1µ=
0,05L =
при прохождении электрического тока плотностью
через раствор сульфата меди
. В качестве
анода используется медь (99,78%). Выделение меди из раствора происходит на катоде. Коэффициенты выходов по
току для меди полагаем равными 100%, электрохимический эквивалент
ной электрической проводимости
кг/Кл. Зависимость удель-
электролита медне-
ния от концентрации сульфата меди в воде приведена в работе
[11], зависимость
щественной. В расчетах для
м2/с,
и k от температуры будем считать несу-
полагаем
,
,
,
, эффекты термо-
диффузии не учитываем. Расстояние между катодом и анодом
м. Теплоемкость, плотность и коэффициент тепло-
проводности электролита принимаем соответственно рав-
3
ными 4,2⋅10
Дж /(кг∙К л); 103 кг/м3; 0,6 В/(м∙К). Заметим, что
режимы импульсного воздействия рассматривались в [41]
применительно к процессам электроосаждения сплавов. Это
исследование проведено на основе отдельного описания
транспорта ионов и использования закона Кирхгофа для квазистационарных токов в ячейке. При таком подходе токи смещения учитываются косвенно через введение емкостного тока
электрода и определение экспериментальной зависимости поляризационной емкости электрода от характера импульсного
воздействия. Пренебрежение емкостным током при импульсном электролизе влечет за собой значительные погрешности
[42]. Использование системы (1.42), (1.43) для моделирования
процесса меднения позволяет решать полученную нелинейную систему уравнений методом конечных разностей [44, 46]
без введения понятий индуктивности и емкости.
Нами проведено численное моделирование процесса
меднения для постоянного и импульсного токов. Плотность
постоянного тока равна 300 А/м
2
. Максимальная плотность
импульсного тока также 300 А/м2, а период протекания
тока и пауза 0,01 с.
202
4
CuSO
Рис. 2.6. Распределение нормированной концентрации
4
CuSO
пературы (б) в электрохимической ячейке через 60 с после включения
тока: 1 – постоянный ток; 2 – импульсный
(а) и тем-
На рис. 2.6 приведены результаты моделирования рас-
пределений концентрации
и температуры для различных режимов электролиза. Измерения выполнялись через 60 с после включения тока. Видно, что градиенты концентрации у поверхности катода (х = 1) различны и зависят
от режима меднения. При нестационарном воздействии они
существенно меньше, чем при электролизе в режиме постоянного тока. Данная тенденция сохраняется и в том случае,
когда через электрохимическую ячейку проходит один
и тот же суммарный заряд [53].
Анализ температурного поля (рис. 2.6, б) показывает,
что температуры в окрестности анода и катода существенно различаются. Происходит несимметричный разогрев
электрохимической ячейки, обусловленный амбиполярной
диффузией и электрической амбиполярной проводимостью.
Результаты моделирования согласуются с данными [43].
С целью измерения температуры в приповерхностном
слое раствора электролита у катода, сравнения с расчетными данными была разработана и изготовлена экспериментальная установка. В гальваническую ванну с сернокислым
электролитом меднения помещались медные анод и катод.
В катоде толщиной 1 мм выполнялось отверстие, в которое
вставлялся термодатчик. В качестве последнего использо-
203
Рис. 2.7. Нагрев электролита в прикатодной области в зависимости от
величины и вида поляризующего тока: 1 – постоянный ток; 2 – импульсный ток; 3 – эксперимент для постоянного тока; 4 – эксперимент
для импульсного тока
вался терморезистор. Сила тока в ванне задавалась переменным терморезистором.
На рис. 2.7 приведены результаты численного моделирования и экспериментальные данные нагрева прикатодной
области в зависимости от режима тока. Видно, что увеличение плотности тока, как постоянного, так и импульсного,
приводит к повышению температуры у поверхности катода. У анода повышение температуры не наблюдалось ни
в расчетах, ни в эксперименте, что согласуется с данными
[49]. Приповерхностная температура, полученная при решении уравнений с использованием данных при постоянном токе, на 10–15% выше температуры, зафиксированной
в экспериментах.
Более сложная картина наблюдается при сравнении экспериментальных данных и результатов численного моделирования в режиме импульсного электролиза. Результаты
экспериментов свидетельствуют о том, что при импульсном токе возрастание температуры электролита в прикатодной области больше, чем в режиме постоянного тока.
Как показывают численные расчеты импульсного электролиза, нагрев прикатодной области здесь меньше по сравнению с режимом постоянного тока. Различие, по-видимому,
204
обусловлено концентрационной конвекцией [43], влияние
которой существенно при больших плотностях тока для
импульсного электролиза.
В перспективе необходимо учитывать естественную
и концентрационную конвекцию, теплообмен с окружающей средой. Несмотря на погрешности в определении коэффициентов и сделанные в модели допущения, результаты
расчетов согласуются в качественном плане с экспериментальными данными, что в определенных случаях позволяет
использовать предлагаемый подход для моделирования нестационарных процессов.
2.3. Особенности вычисления распространения
электромагнитных волн в слоистых средах.
Схемы сквозного счета
с учетом поверхностных токов
Электромагнитные явления, возникающие при падении
плоских электромагнитных волн на поверхность раздела
различных сред, играют важную роль в технике, поскольку
все реальные устройства ограничены поверхностями и являются неоднородными в пространстве. В то же время исследования распространения волн в слоистой проводящей
среде, согласно [50, с. 687–689], в тонких пленках ограничиваются вычислением коэффициентов отражения и пропускания; зависимостью Е(x) по толщине пленки пренебрега-
ют, т. е. используют приближение геометрической оптики.
При рассмотрении прохождения ЭМВ через границу
раздела двух сред в примере 2 в условии (2.54) мы пренебрегали величиной i
для поверхностного тока, что не всег-
z
да оправдано.
С помощью предложенной физико-математической модели можно исследовать прохождение электромагнитной
волны через слоистую среду без допущений, принимаемых
в [3, 7–31, 50–52].
205
В связи с тем что в каждом сечении слоистой среды
i
x
E
12
xx
EE≠
( )
x
Ex
x =ξ
( )
x
Ex
( )
x
Ex
+
′
( )
x
Ex
−
′
( )
( ) ( )
0
0
lim
i
iii
i
x
i
Ex x Ex
Ex
x
+
∆ →+
+∆ − +
′
=
∆
( )
( ) ( )
0
0
lim
i
iii
i
x
i
Ex x Ex
Ex
x
−
∆ →−
+∆ − −
′
=
∆
( ) ( )
1
00
2
x
EEE
=ξ
= ξ− + ξ+
справедливы условия (2.16)–(2.25), используем схемы сквозного счета без явного выделения границы раздела смежных
сред. При этом вычисление
на границе раздела предла-
гается осуществлять следующим образом.
Согласно (2.10),
, т. е.
испытывает раз-
рыв функции первого рода. Определим значение напряженности электрического поля в точке разрыва при
условии, что
является кусочно-гладкой, кусочно-
при
дифференцируемой функцией, т. е. имеет конечные односторонние производные
ках разрыва x
i
и
. При этом в точ-
В этом случае, согласно теореме Дирихле [51, c. 255–
256], ряд Фурье функции Е(x) в каждой точке x, включая
точку разрыва ξ, сходится и его сумма равна
Условие Дирихле (2.61) имеет и физическое истолкование. При соприкосновении двух твердых проводников, диэлектриков, электролитов в разных комбинациях (металл –
электролит, диэлектрик – электролит, металл – вакуум и т. д.)
на границе раздела смежных сред всегда образуется двойной электрический слой (ДЭС), структура которого, как
правило, неизвестна, но она существенно влияет на электрокинетические явления, скорость электрохимических
процессов и т. д. Важно отметить, что в реальности электрофизические характеристики λ, ε, Е(x) в ДЭС изменяются
непрерывно, поэтому (2.61) справедливо для случая, когда
206
, (2.59)
. (2.60)
. (2.61)
толщина ДЭС, т. е. толщина межфазной границы, много
меньше характерного размера однородной среды. В случае
композита, например металла с вкраплениями из шариков
диэлектрика, при достаточно большой концентрации обоих
компонент и малости их характерных размеров будет происходить перекрытие межфазных границ и условие (2.61)
может нарушиться.
Если же толщина ДЭС много меньше характерных размеров L исследуемых объектов, то (2.61) следует также из
условия линейного изменения Е(x) в области ДЭС. В реальности толщина ДЭС зависит от рода контактирующих веществ и может составлять десятки ангстрем [3, с. 239]. Согласно современным представлениям, внешняя обкладка
ДЭС состоит из двух частей: первая образована ионами,
вплотную притянутыми к поверхности металла («плотный», или «гельмгольцевский», слой толщиной h), а вторая –
ионами, находящимися на расстояниях от поверхности,
превышающих радиус иона, причем число этих ионов убывает по мере удаления от границы раздела («диффузный
слой»). Распределение потенциала в плотной и диффузной
частях ДЭС на самом деле является экспоненциальным [3],
т. е. условие линейного характера изменения Е(x) нарушается, при этом сумма зарядов плотной и диффузной частей
внешней обкладки ДЭС равна заряду внутренней обкладки
ДЭС поверхности металла. Однако если толщина h ДЭС
много меньше характерного размера объекта, то справедливо разложение Е(x) в степенной ряд и можно ограничить-
ся линейным приближением. Согласно более общей теореме Дирихле (1829 г.), физическая трактовка, а также знание
зависимостей Е(x) в области ДЭС не требуются в обоснова-
нии (2.61). Тем не менее указанные выше известные физические особенности ДЭС подтверждают справедливость
выполнения условия (2.61).
Условие на границах раздела, аналогичное (2.61), для
потенциального поля (когда rotE = 0) было ранее получено
в [52, c. 353] на основе введения поверхностного потенциа-
207
ла, использования формулы Грина и рассмотрения разрыва
1hL<<
потенциала двойного слоя. В работе [29, с. 356] подчеркивается также, что учет толщины двойного слоя, изменения
потенциала в пределах двойного слоя при
говоря, не имеет смысла, поэтому целесообразно вместо
объемного потенциала рассматривать поверхностный потенциал с некоторой поверхностной плотностью. Условие
(2.61), как показано в [51], может быть получено из более общей теоремы Дирихле и для вихревого, непотенциального
поля [52].
Таким образом, с учетом изложенного выше и справедливости условий (2.10) – (2.12) и (2.18) – (2.25) в каждом сечении слоистой среды для численного решения целесообразно использовать схемы сквозного счета и при этом
дискретизацию среды осуществлять так, чтобы границы
слоев имели общие узлы.
Для численного моделирования распространения электромагнитных волн в слоистой среде нами использовался
метод конечных элементов для системы уравнений (2.6)–
(2.8) [44]. При этом разбитие среды на конечные элементы осуществлялось таким образом, чтобы узлы конечноэлементной сетки, лежащие на границе раздела, одновременно принадлежали средам с разными электрофизическими
свойствами. В этом случае на границе раздела должно выполняться условие равенства полных токов или равенство
потоков заряда при использовании условия Дирихле (2.61).
, вообще
2.4. Результаты численного моделирования
распространения электромагнитных волн
в слоистых средах
с использованием схем сквозного счета
Проанализируем распространение электромагнитной
волны через слоистую среду, которая состоит из нескольких слоев с различными электрофизическими свойствами,
208
когда на ее верхней поверхно-
0
х
E =
( )
sin
у
Ea t=ω
0
уz
EE==
12
1ε=ε=
1
100λ=
2
1000λ=
12
1µ=µ=
2/Тω= π
14
10ω=
9
10ω=
сти находится источник электромагнитного излучения. При
этом нормальная составляющая вектора напряженности
электрического поля
, а
тангенциальная
здесь а – амплитуда электро-
магнитной волны (рис. 2.8).
Следует отметить, что в данном примере с целью корректного задания граничных усло-
Рис. 2.8. Схема слоистой среды:
слои 1, 3, 5 имеют электрофизические свойства ε1, λ1, µ1; слои 2,
4, 6 – ε2, λ2, µ
2
вий на нижней границе среды
при решении задачи после слоя
6 вводился дополнительный
слой с большой электропроводимостью, в котором происхо-
дит быстрое затухание электромагнитной волны. Тогда на
нижней границе среды можно задать граничное условие
вида
. Изложенное выше проделано с той целью,
чтобы ограничить размер моделируемой среды, поскольку
в общем случае полное затухание электромагнитной волны
будет происходить на бесконечном удалении от источника
электромагнитного излучения.
Численные расчеты распространения электромагнитной волны в слоистой среде проводились со следующими
электрофизическими свойствами:
,
ческой частоты
. Использовались два значения цикли-
: в первом случае частота электро-
магнитной волны задавалась равной
,
Гц (инфракрасное излучение), а во втором циклическая частота задавалась равной
Гц (высокочастотное радиоизлу-
чение).
В результате численного решения системы уравнений
(2.6) – (2.8) с условиями на границах раздела S (2.17) – (2.27)
,
,
209
14
10ω=
9
10
Рис. 2.9. Изменение тангенциальной компоненты напряженности электрического поля во времени на различном расстоянии от поверхности:
1 – 1 мкм; 2 – 5; 3 – 10 мкм при ε1 = ε2 = 1, λ1 = 100, λ2 = 1000, μ1 = μ2 = 1
и ω = 1014 Гц
Рис. 2.10. Распределение амплитуды напряженности электрического
поля в сечении слоистой среды: 1 –
Гц; 2 –
210
Гц
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]