Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 264 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

проводника нормальная составляющая поля Еn ≠ 0, а каса-

qS∆ = = σ∆FEE

/2Eσ=σε

тельная составляющая поля Еτ = 0. В заряженном проводнике нескомпенсированные электрические заряды располагаются только на его поверхности. Внутри проводника избыточных свободных зарядов нет. Внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника, не создают в полости внутри проводника никакого электрического поля.

1.12. Силы, действующие

на поверхность проводника

Пусть заряженный участок поверхности проводника граничит с вакуумом. На малый элемент ∆S поверхности проводника действует сила

где σ – поверхностный заряд; E

, (1.31)

– результирующая напряженность поля, обусловленная зарядами поверхности, которая не совпадает с напряженностью E поля вблизи данного элемента поверхности. E в месте расположения σ∆S. Выразим E

определяется всеми зарядами

через E. Пусть Еσ –

напряженность поля, создаваемого зарядом на площадке ∆S, в точках, очень близких к этой площадке. В этом случае площадка ∆S может рассматриваться как бесконечная равномерно заряженная плоскость, так что

. Результирующее поле E как внутри, так и вне проводника является суперпозицией E

и Eσ: E = E0 + Eσ.

По разные стороны площадки ∆S

поле E

практически одинаково, поле

же Еσ имеет противоположные направления (рис. 1.5).

Из условия E = 0 в проводнике

следует, что Еσ = Ео, тогда снаружи

Рис. 1.5

проводника у его поверхности Е = Е0 + Еσ = 2Е0. Итак, Е0 =

1 2

S∆ = σ∆FE

1 2

=σFE

Eε

Fnn

Е/2, и уравнение (1.31) примет вид

(1.32)

как сила, действующая на единицу поверхности:

. (1.33)

Выражая σ через Е с помощью известных формул, по-

лучаем

, (1.34)

где n – внешняя нормаль к элементу поверхности в данной точке проводника. Величину F

называют поверхностной

плотностью сил. Из выражения (1.34) следует, что независимо от знака σ сила FS всегда направлена в окружающее пространство.

Пример. Незаряженный металлический шар радиусом

R поместили во внешнее однородное электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью σ = σ0 cos θ, где

σ0 – положительная постоянная, θ – полярный угол. Найти

модуль результирующей электрической силы, которая действует на заряд одного знака.

Решение. Как следует из сим-

метрии, искомая результирующая сила F направлена по оси Z (рис.

1.6) [1], и поэтому ее можно представить как сумму проекций элементарных сил на ось Z:

= dF cos θ. (1.35)

В качестве площадки dS целесо-

Рис. 1.6

образно сразу же взять элемен-

тарный пояс, для которого dS = 2πR sin θRdθ. Учитывая,

22 3 00

( / )sin cos

( / ) cos (cos )

dF R d

= πσ ε θ θ θ =

− πσ ε θ θ

22 00

/4FR= πσ ε

СU==

ϕ −ϕ

кроме того, что Е = σ/ε0, преобразуем (1.35):

(1.36)

Проинтегрировав это выражение по полусфере (по cos θ

от 1 до 0), получим

. (1.37)

1.13. Электрическая емкость

Электроемкостью двух проводников называется величина, численно равная заряду q, который нужно перенести с одного проводника на другой, чтобы изменить разность потенциалов между ними (ϕ

– ϕ2) на единицу:

. (1.38)

Электроемкость зависит от формы, размеров и взаимного расположения проводников, а также от относительной диэлектрической проницаемости среды. Пусть С

– емкость

конденсатора в вакууме, С – емкость того же конденсатора, если пространство между обкладками заполнено другим однородным диэлектриком. Отношение С/С

= ε называют

относительной диэлектрической проницаемостью. В табл.

1.1 приведены значения ε для некоторых веществ.

Вещество ε

Вакуум 1 Воздух 1,000591 Эбонит 2,7–2,9 Стекло 5–10 Спирт этиловый 27 Вода 81

Таблица 1.1

1.14. Емкость простых конденсаторов

Uab

πεε

−

ln( )Cba

πε ε

Емкость конденсаторов простой формы можно вычислить. Для этого предполагают, что на каждой из обкладок находится некоторый заряд q, и вычисляют потенциал в электрическом поле рассматриваемого конденсатора U(x, y, z). Ранее нами проведены вычисления U для тел про- стейшей формы. Используя (1.38), получаем значения емкости. Приведем выражения емкости для конденсаторов простой формы.

Плоский конденсатор. Положим, что зазор между пластинами мал по сравнению с их размерами, а пространство между пластинами заполнено веществом с диэлектрической проницаемостью ε. Тогда

С = εε

S/d, (1.39)

где S – площадь обкладок; d – величина зазора между пластинами.

Шаровой конденсатор:

, (1.40)

где а и b – радиусы внутренней и внешней обкладок.

Цилиндрический конденсатор:

где а, b – внутренний и внешний радиусы коаксиальных цилиндров.

Двухпроводная линия:

С = πεε

/ln(d/a). (1.41)

Здесь d >> а; d – расстояние между осями проводов; а – ра- диус провода.

1.15. Диэлектрики

Диэлектриками (изоляторами) называются вещества, практически не проводящие электрического тока. В диэлектриках мало зарядов, способных перемещаться на значительные расстояния. При внесении даже нейтрального диэлектрика во внешнее электрическое поле обнаруживаются существенные изменения как в поле, так и в самом диэлектрике.

1.15.1. Поляризация диэлектриков

Влияние рода диэлектрика на величину емкости конденсатора обусловлено различной интенсивностью явления поляризации в различных диэлектриках. Поляризация диэлектрика объясняется тем, что в диэлектрике при создании электрического поля происходит смещение зарядов по направлению к металлическим обкладкам, наложенным на диэлектрик для создания поля. В соответствии с характером поляризации различают следующие ее основные типы.

1. Деформационная поляризация определяется упругим смещением зарядов в диэлектрике, не связанным с затратами энергии; эта поляризация может быть как электронной, так и ионной.

2. Релаксационная поляризация связана с потерями энер- гии в диэлектрике и требует некоторого времени для ее исчезновения после удаления поля; она может быть также электронной или ионной и, кроме того, дипольной.

2.1. Электронно-деформационная поляризация представляет собой смещение электронов в атомах диэлектрика в сторону положительной обкладки. Твердые и жидкие диэлектрики, обладающие только этим видом поляризации (неполярные), обычно имеют ε ≈ 2−2,5. Время установления электронно-деформационной поляризации составляет около

–15

с. Диэлектрические потери в таких диэлектриках не

10 связаны с процессом поляризации и обычно малы (tg δ ≈ 10–4). Для конденсаторостроения неполярные вещества не очень

удобны вследствие малого значения ε, но все же применяются достаточно широко, когда требуются малые потери, высокое удельное сопротивление и стабильность ε.

2.2. Ионно-деформационная поляризация – смещение ионов в узлах кристаллической решетки под действием электрического поля – проявляется в твердых кристаллических диэлектриках, кристаллы в них построены не из атомов, а из ионов. Время установления данного вида поляри-

–12

зации – 10

–13

–10

с. Величина ε возрастает и составляет

10−30. Данный вид поляризации характерен для многих ке- рамических материалов и слюды.

2.3. Ионно-релаксационная поляризация имеет место для стекол и некоторых видов керамики, содержащих значительное количество стекловидной фазы, а также для аморфных оксидных пленок в электролитических конденсаторах. В этих материалах воздействие электрического поля вызывает определенную ориентацию в перемещениях ионов, находящихся в хаотическом тепловом движении, что создает эффект поляризации. Стекло было первым диэлектриком, использованным для изготовления конденсаторов. В виде стеклопленок, стеклоэмалей и стеклокерамики его по-прежнему применяют в конденсаторостроении.

2.4. Дипольно-релаксационная поляризация (или просто дипольная) характерна для полярных жидкостей и представляет собой поворот дипольных молекул (диполей) под воздействием электрического поля, создающего определенный момент сил. Время установления дипольной поляризации составляет 10–5–10–7 с. Дипольная поляризация связана с повышенными потерями, обусловленными трением молекул при вращении (tg δ ≈ 10–3–10–2). Указанным механизмом поляризации обладают касторовое масло, хлорированные и фторированные жидкости.

2.5. Дипольно-радикальная поляризация характерна для твердых веществ с относительно большими молекулами, содержащими полярные группы – дипольные радикалы, способные поворачиваться относительно основной молеку-

лы под действием электрического поля. К этой группе от-

∑

носятся конденсаторная бумага, лавсан, а также различные воскообразующие материалы: галовакс, олевакс и др.

2.6. Спонтанной (самопроизвольной) поляризацией об- ладают вещества, называемые сегнетоэлектриками и имеющие области самопроизвольной поляризации – домены, в которых диполи (ионные пары) ориентированы в одном направлении еще до воздействия внешнего электрического поля. При этом в отдельных доменах направления ориентации не совпадают. Воздействие внешнего поля приводит к тому, что во всех доменах происходит переориентация диполей в направлении поля, что дает очень сильную поляризацию и весьма высокие значения ε – 100 – 10 000. Этот вид поляризации определяет сильная зависимость ε от температуры с прохождени- ем через максимум в точке Кюри. При температурах ниже точки Кюри наблюдается зависимость ε от напряженности электрического поля, характерная именно для сегнетоэлектриков. Спонтанная поляризация связана с большими потерями – tg δ ≈ 10–2−10–1. В конденсаторостроении применяются сегнетокерамические низкочастотные материалы на основе титанита бария и других соединений.

1.15.2. Поляризованность

При поляризации диэлектрика часть его молекул пре-

вращается в электрический диполь и, следовательно, приобретает электрический момент Р = q  , при этом  направлен от отрицательного заряда к положительному. Для количественной характеристики поляризации диэлектрика служит специальная физическая величина – поляризованность, или электрический момент единицы объема диэлектрика. Поляризованность равна векторной сумме электрических моментов всех молекул, заключенных в единице объема:

Покажем, что поверх-

ностная плотность поляризационных зарядов σ равна нормальной составляющей поляризованности в данной точке по-

Рис. 1.7

верхности. Считаем поляризацию однородной.

Рассмотрим кусок диэлектрика в виде наклонной призмы с основанием S и ребром L (рис. 1.7).

Ребро L параллельно Р. В одном из оснований призмы

появятся отрицательные поляризационные заряды с поверхностной плотностью –σ , а на другом – +σ, и призма приобретет электрический момент Р = σSL или Pn = σV. Тогда электрический момент единицы объема Pn = σ, где Pn – нормальная проекция вектора P к поверхности при- змы. Таким образом, поверхностная плотность поляризационных зарядов равна нормальной составляющей поляризованности в данной точке поверхности.

1.15.3. Напряженность электрического поля внутри диэлектрика

Ранее нами определена напряженность электрического поля в вакууме как сила, действующая на единичный положительный пробный заряд. Уточним данное определение для диэлектрика.

Представим себе, что размеры пробного заряда малы по сравнению с расстояниями между молекулами диэлектрика, поэтому электрическое поле внутри диэлектрика весьма различно в разных точках. Эти изменения поля происходят лишь в микроскопических масштабах. Определенное подобным образом поле носит название микроскопического. На практике часто приходится иметь дело с телами, размеры которых велики по сравнению с межатомными расстоя-

ниями, и для нас представляет интерес усредненное по

E dV

=∫E

′

=−

объему значение микроскопического поля, т. е. макроскопическое поле

Объем V в этой формуле должен быть велик микроскопически, т. е. в нем должно содержаться большое число молекул. Однако объем должен быть и достаточно мал макроскопически, т. е. на протяжении его размеров микроскопическое значение поля должно оставаться неизменным. Подобные малые объемы считаются физически бесконечно малыми (в отличие от бесконечно малых). Под потенциалом внутри диэлектрика будем понимать макроскопический потенциал, т. е. среднее значение по физически малому объему.

Рассмотрим плоский конденсатор (однородное поле), целиком заполненный однородным диэлектриком. Напряженность поля Е внутри диэлектрика есть сумма двух полей: Е

, создаваемого зарядами на металлических обклад-

ках, и Е′, образованного поляризованным диэлектриком (рис. 1.8) [1].

Поле Е

равно σ/εо, где σ – поверхностная плотность за-

ряда на металлических обкладках. Действие же поляризованного диэлектрика можно выразить через поляризационные заряды, возникающие на его поверх нос-

ти, поэтому

где σ′ – поверхностная плотность поляризационных зарядов. Следовательно, результирую-

Рис. 1.8

щая напряженность поля внутри диэлектрика Е = (σ – σ′)/

′

′′

σ−σ

ε0. Напряженность поля внутри диэлектрика совпадает

с напряженностью поля в вакууме, когда поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора равна σ – σ′. Эту разность между зарядом обкладок и поляризационным зарядом часто называют свободным зарядом.

1.15.4. Электрическое смещение

в слоистом диэлектрике и поверхностная дивергенция

Рассмотрим плоский конденсатор, заполненный целиком двумя различными диэлектриками (рис. 1.9) [1].

Напряженность поля внутри диэлектриков Е1 и Е2 есть сумма двух полей: поля Е0, создаваемого зарядами на ме-

таллических обкладках, и

, вызванного поляризацией

диэлектрика. Поле

словлены поляризационными зарядами, которые возника-

и поле

ют на границах раздела АА′. Обозначим напряженности, результирующие в каждом из диэлектриков, Е ложим каждое из этих полей на две составляющие: касательную к границе раздела Еτ1 и Еτ2 и нормальную к границе Еn1 и Еn2. Электрическое поле зарядов поверхности раз-

Рис. 1.9. Поле в слоистом диэлек-

трике

и Е2 и раз-

обу-

дела АА′ перпендикулярно этой поверхности, поэтому касательные составляющие поля не изменятся и их значения в обоих диэлектриках будут одинаковы:

= Еτ2. (1.42)

τ1

Напротив, нормальные составляющие поля будут различны; представим их разность:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 264 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]