Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
связаны правилом левого винта, знак минус в уравнении (7.1)
1
d
N
dt
Φ
−
отсутствовал бы. Поэтому, выбирая (произвольно) направление нормали, определяем как знак потока Φ, так и знак
(а значит, и направление) ЭДС индукции Ɛi. При сделанном
нами выборе положительных направлений – в соответствии
с правилом правого винта – величины Ɛi и dΦ/dt имеют
противоположные знаки.
Единицей магнитного потока является вебер (Вб). При
скорости изменения магнитного потока 1 Вб/с в контуре
индуцируется ЭДС, равная 1 В (7.1).
Полный магнитный поток (потокосцепление). Если
замкнутый контур, в котором индуцируется ЭДС, состоит
не из одного витка, а из N витков (например, катушка), то Ɛi
будет равна сумме ЭДС, индуцируемых в каждом из витков. И если магнитный поток, охватываемый каждым витком, одинаков и равен Φ1, то суммарный поток Φ сквозь поверхность, натянутую на такой сложный контур, можно
представить как
Φ
= NΦ. (7.2)
1
Эту величину называют полным магнитным потоком,
или потокосцеплением. В данном случае соответствующая
ЭДС индукции в контуре определяется, согласно (7.1), формулой
Ɛ
i
=
. (7.3)
7.2. Природа электромагнитной индукции
Теперь необходимо разобраться в тех физических причинах, которые приводят к возникновению ЭДС индукции,
и попытаться вывести закон индукции (7.1) на основании
того, что нам уже известно. Рассмотрим последовательно
два случая.
Контур, движущийся в постоянном магнитном поле.
Прежде всего обратимся к контуру с подвижной перемычкой
121
длиной (рис. 7.3) [5]. Пусть он нахо-
/( ) [ ]e
∗
= −=Е F vB
дится в однородном магнитном поле,
перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. Начнем двигать перемычку
Рис. 7.3
вправо со скоростью v. С такой же
скоростью станут передвигаться и но-
сители тока в перемычке – электроны. В результате на каждый электрон будет воздействовать
вдоль перемычки магнитная сила F = –e[vB ] и электроны
начнут перемещаться по перемычке вниз – потечет ток,
направленный вверх. Это и есть индукционный ток. Перераспределившиеся заряды (на поверхности проводников)
создадут электрическое поле, которое возбудит ток и на
остальных участках контура.
Магнитная сила F играет роль сторонней силы. Ей соот-
ветствует поле
. Заметим, что приведенное выражение можно получить и с помощью формул преобразования полей.
Циркуляция вектора E
∗
по контуру дает, по определе-
нию, величину ЭДС индукции. В нашем случае
Ɛ
где знак минус поставлен в связи с принятым правилом знаков: нормаль n к поверхности, натянутой на наш контур,
выбрана в качестве плоскости (рис. 7.3) (в сторону поля B),
поэтому по правилу правого винта положительное направление обхода контура – по часовой стрелке, как показано на
рисунке. При этом стороннее поле E
противоположное положительному направлению обхода
контура, и Ɛi – величина отрицательная.
Произведение v есть приращение площади, ограни-
ченной контуром, в единицу времени (dS/dt), поэтому
потока сквозь площадь контура (в нашем случае dΦ > 0).
Таким образом,
122
= , (7.4)
i
∗
имеет направление,
, где dΦ – приращение магнитного
Ɛ
/d dt−Φ
d∫E
t
∂Φ
−
∂
i
=
. (7.5)
Можно в общем виде доказать, что закон (7.1) справедлив для любого контура, движущегося произвольным образом в постоянном неоднородном магнитном поле.
Итак, возбуждение ЭДС индукции при движении контура в постоянном магнитном поле объясняется действием
магнитной силы [vB], возникающей при движении проводника. Идея схемы (рис. 7.3) лежит в основе действия всех
индукционных генераторов тока, в которых ротор с обмоткой вращается во внешнем магнитном поле.
Контур, покоящийся в переменном магнитном поле.
Возникновение индукционного тока и в этом случае свидетельствует о появлении в контуре под действием изменяющегося во времени магнитного поля сторонних сил. Но что
это за силы? Какова их природа? Ясно, что это не магнитные
силы [vB]: привести в движение покоившиеся (v = 0) заряды
такие силы не могут. Но других сил, кроме qE и q[vB ], нет!
Остается заключить: индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем E. Именно это поле
и ответственно за появление ЭДС индукции в неподвижном
контуре при изменении во времени магнитного поля.
Дж. Максвелл предположил, что изменяющееся во времени магнитное поле приводит к появлению в пространстве
электрического поля независимо от наличия проводящего
контура. Последний лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существование этого электрического поля.
Таким образом, согласно Дж. Максвеллу, изменяющееся со временем магнитное поле порождает электрическое
поле. Циркуляция вектора E этого поля по любому неподвижному контуру определяется как
=
. (7.6 )
Здесь символ частной производной по времени (∂/∂t) под-
черкивает неподвижность контура и натянутой на него по-
123
верхности. Так как поток
dΦ=∫ВS
dd
tt
∂∂
=
∂∂
∫∫
B
ВS S
dd
t
∂
=−
∂
∫∫
B
ЕS
t∇× =−∂ ∂ЕВ
полняется по произвольной поверхности, натянутой на интересующий нас контур), то
В этом равенстве нами проведен обмен местами операций дифференцирования по времени и интегрирования по
поверхности, поскольку контур и поверхность неподвижны. Тогда уравнение (7.6) можно представить в виде
а затем преобразовать в дифференциальную форму, в результате
Уравнение (7.8) выражает локальную связь между электрическим и магнитными полями: изменение поля B во времени в данной точке определяет ротор поля E в этой же точке.
Отличие ∇ × E от нуля свидетельствует о наличии электрического поля.
Поскольку циркуляция электрического поля, возбуждаемого изменяющимся со временем магнитным полем,
отлична от нуля, то это электрическое поле непотенциально. Как и магнитное поле, оно является вихревым. Таким
образом, электрическое поле может быть потенциальным
(в электростатике) и вихревым.
В общем случае электрическое поле E может слагаться
из электростатического поля и поля, обусловленного изменяющимся во времени магнитным полем. Поскольку циркуляция электростатического поля равна нулю, уравнения
(7.6) – (7.8) оказываются справедливыми и для общего случая, когда поле E представляет собой векторную сумму таких двух полей. Если ∂B/∂t ≠ 0, то электрический вектор E
переменного поля не обладает скалярным потенциалом ϕ.
124
(интегрирование вы-
.
, (7.7)
. (7.8)
В связи с этим введенный нами при изучении обладающего
/d dtΦ
[]dd
t
∂Φ
=− +
∂
∫∫
E vB
/d dtΦ
потенциалом стационарного электрического поля целый
ряд понятий, в частности напряжение, вольт-амперная ха-
рактеристика, теряет в переменном поле непосредственный физический смысл. Недостаточное внимание к отличию переменного поля от стационарного может привести
к грубейшим ошибкам.
Заключение. Итак, закон электромагнитной индукции
(7.1) справедлив, когда магнитный поток сквозь контур меняется за счет движения контура или в результате изменения магнитного поля со временем (или в том и другом случае). Вместе с тем для объяснения закона пришлось использовать два совершенно разных явления: для движущегося
контура – действие магнитной силы [vB], а для меняющего-
ся во времени поля ∂B/∂t – представление о возникающем
вихревом электрическом поле E.
Ввиду того что никакого единого глубокого принципа,
объединяющего оба явления, не прослеживается, необходимо воспринимать закон электромагнитной индукции как
совместный эффект двух совершенно различных явлений.
Эти явления независимы друг от друга, и, что удивительно,
ЭДС индукции в контуре всегда равна скорости изменения
магнитного потока сквозь контур.
Иначе говоря, в тех случаях, когда меняются и поле B
во времени, и конфигурация или расположение контура
в поле, ЭДС индукции следует рассчитывать по формуле
(7.1), где справа расположена полная производная
времени, автоматически учитывающая оба фактора. В связи с этим запишем закон (7.1):
по
Здесь
вой части этого равенства связано с изменением магнитного поля во времени, второе – с движением контура.
– полная производная. Первое слагаемое в пра-
. (7.9)
125
Возможные затруднения.
t∇× =−∂ ∂ЕВ
Иногда приходится сталкиваться с ситуациями, когда закон электромагнитной индук-
Рис. 7.4
ции в форме (7.1) оказывается
неприменимым (в основном из-
за трудностей, связанных с выбором самого контура). В таких случаях необходимо обращаться к основным законам – силе Лоренца qE + q[vB ] и закону
. Именно они во всех случаях выражают
физическое содержание закона электромагнитной индукции.
Приведем два характерных примера.
Пример 1. Проводящую ленту перемещают со скоро-
стью v через область с магнитным полем B (рис. 7.4) [5].
Этой областью на рисунке является отмеченный точками
кружок, где поле B направлено на нас. Гальванометр Г подключен к неподвижным контактам (стрелкам), с которыми
соприкасается движущаяся лента. Будет ли гальванометр
показывать наличие тока?
Вопрос, на первый взгляд, не простой, поскольку затруднительно выбрать сам контур: не ясно, где его «замкнуть» в ленте и как этот участок контура должен вести
себя при движении ленты. Однако если обратится к силе
Лоренца, станет понятно, что электроны в движущейся ленте будут смещаться вверх и по цепи пойдет ток, направленный по часовой стрелке.
Идея такого опыта легла в основу создания магнитогидродинамического генератора (МГДГ), в котором используется метод прямого превращения внутренней (тепловой)
энергии в электрическую: вместо проводящей ленты с большой скоростью продувается плазма (электроны и положительные ионы). В остальном все обстоит так же, как и для
проводящей ленты.
Пример 2. На рис. 7.5 [5] отмеченный точками кружок
показывает область локализации постоянного магнитного
поля B, направленного перпендикулярно плоскости рисун-
126
ка. Эта область охватывается непод-
/d dtΦ
А
А Jdδ=Φ
i
Аδ
вижным металлическим кольцом.
Переместив скользящие контакты
на другую сторону кольца, введем
магнитный поток Φ в замкнутый
контур, содержащий гальванометр
Г (1 – исходное положение, 2 – ко-
нечное). Покажет ли при этом гальванометр импульс тока?
Рис. 7.5
Применяя формально закон (7.1),
приходим к заключению: индукционный ток будет. Однако тока нет, так как здесь и
и сила Лоренца равны нулю: поле B постоянное, и замкнутый контур перемещается в области, где нет магнитного
поля. Таким образом, здесь нет ни одной из двух физических причин, лежащих в основе закона электромагнитной
индукции.
О кажущемся парадоксе. Как известно, сила, испытываемая электрическим зарядом в магнитном поле, перпендикулярна его скорости, поэтому никакой работы не совершает. Между тем при движении проводника с током (движущиеся заряды) силы Ампера, несомненно, совершают
работу (электромотор). В чем здесь дело?
Это кажущееся противоречие исчезает, поскольку движение проводника в магнитном поле неизбежно сопровождается явлением электромагнитной индукции. И именно
потому, что в проводнике индуцируется ЭДС, совершающая работу над зарядами, полная работа сил магнитного
поля (работа силы Ампера и работа ЭДС индукции) равна
нулю. В самом деле, при элементарном перемещении контура с током в магнитном поле силы Ампера совершают работу
, (7.10)
а ЭДС индукции за это же время выполняет работу
,
= Ɛi Jdt = JdΦ, (7.11)
127
где учтено Ɛi = –
d /dtΦ
0
Аi
ААδ +δ =
доп
Аδ
шем полную работу:
. Из последних двух формул запи-
. (7.12)
Таким образом, в работу сил магнитного поля входит не
только механическая работа, обусловленная силами Ампера, но и работа ЭДС, индуцируемой при движении контура.
Обе работы равны по модулю и противоположны по знаку,
поэтому их сумма и равна нулю.
Работа сил Ампера совершается не за счет энергии
внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего ток в контуре. При этом источник совершает
дополнительную работу против ЭДС индукции
Jdt = JdΦ, которая оказывается одинаковой с работой
– Ɛ
i
=
δАА сил Ампера.
Работа δА, совершаемая при перемещении контура против тормозящих амперовых сил (возникают благодаря появлению индукционного тока в соответствии с правилом
Ленца), преобразуется в работу ЭДС индукции:
δА = – δА
= δАi. (7.13)
А
С энергетической точки зрения в этом заключается сущность действия всех индукционных генераторов тока.
Глава 8
t∂∂B
t∂∂Е
∫
Н
d=∫jS
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕК-
ТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
8.1. Ток смещения
Открытие Максвелла. Теория электромагнитного
поля, начало которой положил М. Фарадей, математически
была завершена Дж. Максвеллом. При этом одной из важнейших новых идей, выдвинутых Дж. Максвеллом, была
мысль о симметрии во взаимозависимости электрического
и магнитного полей: поскольку меняющееся во времени
магнитное поле (
ет ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (
нового явления индукции можно прийти путем, например,
следующих рассуждений. Согласно теореме о циркуляции
вектора H,
) создает магнитное поле.
К этой идее о необходимости существования, по сути,
) создает электрическое поле, следу-
заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис. 8.1, а) [5].
провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности,
например S и S′. Обе поверхности имеют «равные права», однако через
поверхность S течет ток
I, а через поверхность S′
не течет никакого тока!
d
Применим эту теорему к случаю, когда предварительно
В качестве контура Г возьмем кривую, охватывающую
. (8.1)
Рис. 8.1
129
Получается, что циркуляция вектора H зависит от того,
dq=
∫
DS
q
d
tt
∂∂
=
∂∂
∫
D
S
q
d
t
∂
=−
∂
∫
jS
0d
t
∂
+=
∂
∫
D
jS
t∂∂D
см
t=∂ ∂jD
полн
t
∂
=+
∂
D
jj
какую поверхность натягиваем на данный контур (?!), что
явно не подтверждается (в случае постоянных токов этого
и не происходило).
А нельзя ли изменить правую часть (8.1), чтобы избежать этой двузначности?
Вначале было замечено: поверхность S′ «пронизывает»
только электрическое поле. По теореме Гаусса поток вектора D сквозь замкнутую поверхность
, откуда
С другой стороны, согласно уравнению непрерывности,
Сложив отдельно левые и правые части уравнений (8.2)
и (8.3), получим
Это уравнение аналогично уравнению непрерывности для
постоянного тока. Видно, что кроме плотности тока проводимости j имеется еще одно слагаемое –
мерность которого равна размерности плотности тока.
Дж. Максвелл назвал это слагаемое плотностью тока смещения:
Сумма тока проводимости и тока смещения является
полным током, его плотность
Согласно (8.4), линии полного тока непрерывны в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если
они не замкнуты, замыкаются токами смещения.
130
. (8.2)
. (8.3)
. (8.4)
. (8.5)
. (8.6)
, раз-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]