Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
Понимание того, что из диффе-
dW
dP
dt
−=+
∫
SA
ренциальных уравнений (8.18) вытекала возможность существования
электромагнитных волн, позволило
Максвеллу с блестящим успехом
развить электромагнитную теорию
света.
8.4. Энергия и поток энергии.
Вектор Пойнтинга
Теорема Пойнтинга. Исходя из представления о лока-
лизации энергии в самом поле и руководствуясь принципом
сохранения энергии, необходимо заключить: если в какойто определенной области энергия уменьшается, то это может происходить только за счет ее «вытекания» через границы рассматриваемой области (среда предполагается неподвижной).
Вместе с тем имеет место формальная аналогия с законом сохранения заряда – уравнением (3.4). Смысл закона
в том, что убыль заряда в данном объеме за единицу времени равна потоку вектора j сквозь поверхность, охватывающую этот объем.
Если говорить только об энергии электромагнитного
поля, его полная энергия в данном объеме будет изменяться
за счет вытекания ее из объема и за счет передачи энергии
веществу (заряженным частицам), т. е. работы над веществом. Макроскопически это утверждение можно записать
как
Рис. 8.6
где dA – элемент поверхности.
Уравнение (8.21) выражает теорему Пойнтинга: убыль
энергии за единицу времени в данном объеме равна потоку
энергии сквозь поверхность, ограниченную этим объемом,
, (8.21)
141
плюс работа в единицу времени (т. е. мощность Р), которую
dVω
∫
()dV+ω
∫
jE
A q dtδ=Eu
()
∗
=λ+jEE
22
ω= +
ED BH
поле производит над зарядами вещества внутри данного
объема.
В уравнении (8.21) W =
поля, Р =
ность электрического поля. Приведенное выражение для Р
можно получить таким образом. За время dt поле Е совершит
над точечным зарядом q работу
рость заряда. Отсюда мощность Р силы qЕ равна quЕ. Пере-
ходя к распределению зарядов, заменяем q на ρdV, ρ – объ-
емная плотность заряда. Тогда dР = ρuЕdV = jЕdV. Остает-
ся проинтегрировать dP по интересующему нас объему.
Следует отметить, что мощность Р в (8.21) может быть
положительной и отрицательной. Последнее имеет место
в тех случаях, когда положительные заряды в веществе движутся против направления поля Е или отрицательные –
в противоположном направлении. Так обстоит дело, например, в точках среды, где помимо электрического поля Е
действует и поле Е∗ сторонних сил. В этих точках
, и если Е∗ ↓↑ Е и по модулю Е∗ > Е, то jE
в выражении для Р оказывается отрицательным.
Дж. Пойнтинг получил выражения для плотности энергии ω и вектора S, воспользовавшись уравнениями Максвелла (этот вывод не приводится). Если среда не содержит
сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (нет явления гистерезиса), то плотность энергии электромагнитного поля
, j – плотность тока, Е – напряжен-
, ω – плотность энергии
, где u – ско-
Отдельные слагаемые этого выражения получены ранее
(см. (2.10) и (7.32)).
Плотность потока энергии электромагнитного поля
(вектор Пойнтинга) определяется как
S = [EH]. (8.23)
Данная формула для плотности энергии справедлива
в любых переменных электромагнитных полях, в том числе
142
. (8.22)
и при наличии дисперсии. Изменение энергии в единицу
div ( )
W
rot rot
ttt
∂∂∂
= − =− + =−
∂∂∂
DB
SHEEH E H
22
00
/2 /2EHε +µ
22
00
EHε =µ
времени в единице объема тела вычисляется как divS. С помощью уравнений Максвелла это выражение приводится
к виду
в соответствии с выражением dW = ЕdD + HdB.
Строго говоря, для обеих величин, ω и S, из уравнений
Максвелла нельзя получить однозначных выражений; приведенные уравнения являются простейшими из бесконечного числа возможных. В связи с этим следует рассматривать эти выражения как постулаты, справедливость которых должна быть подтверждена согласием выводимых из
них следствий с опытом.
На нескольких примерах проследим за результатами,
полученными с помощью последних двух формул. Иногда они выглядят странными, однако обнаружить какоелибо расхождение с опытом не удается. Таким образом,
оба выражения правильные.
Пример 1. Поток энергии в электромагнитной волне
(в вакууме). Вычислим энергию dW, проходящую за время
dt через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
Если в месте нахождения этой площадки известны значения Е и В, то
dW = ωсdt,
где ω – плотность энергии: ω =
тромагнитной волны в соответствии с (8.20)
.
Это значит, что в электромагнитной волне плотность электрической энергии в любой момент равна плотности магнитной энергии в той же точке и можно записать для плотности энергии
. Для элек-
143
2
0
Eω=ε
22
0 00
/E cdt E dtε=εµ
2
00
/Sdt EHdt E dt==εµ
2
22EH a aHE IU RI⋅π=π ==
Тогда
.
dW =
.
Теперь выясним, каков будет результат, если воспользоваться вектором Пойнтинга. Величину dW можно представить через модуль вектора S:
dW =
.
Таким образом, оба выражения – для ω и S – приводят
к одинаковому результату (последние две формулы).
Пример 2. Выделение теплоты в проводнике. Пусть
по прямому проводу круглого сечения радиусом а течет ток
I (рис. 8.7) [5].
Поскольку провод обладает сопротивлением, вдоль него
действует некоторое электрическое поле Е. Такое же значение Е будет и у поверхности провода в вакууме. Кроме того,
наличие тока порождает и магнитное поле. По теореме
о циркуляции вектора Н вблизи поверхности провода
2πаН = I, Н = I/2πа. Векторы Е и Н расположены так, что
вектор Пойнтинга направлен внутрь провода нормально
к его боковой поверхности (рис. 8.7). Следовательно, электромагнитная энергия втекает внутрь провода из окружающего пространства! Но согласуется ли это с количеством
теплоты, выделяемым в проводнике? Подсчитаем поток
электромагнитной энергии сквозь боковую поверхность
участка провода длиной :
где U – разность потенциалов на концах
данного участка, R – его сопротивление.
Таким образом, поток электромагнитной
энергии поступает в провод извне и целиком превращается в джоулеву теплоту. Со-
Рис. 8.7
гласимся, что вывод неожиданный.
144
,
В источнике тока вектор Е направлен против тока I, поэтому в области источника вектор Пойнтинга направлен
наружу – электромагнитная энергия выходит в окружающее пространство, т. е. энергия от источника тока передается не вдоль проводов, а через окружающее проводник пространство в виде потока электромагнитной энергии – потока вектора S.
8.5. Импульс электромагнитного поля
Давление электромагнитной волны. Дж. Максвелл
теоретически показал: электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление. Это давление возникает в результате
воздействия магнитного поля волны на электрические токи,
возбуждаемые электрическим полем той же волны.
Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной среде, обладающей поглощением. Наличие поглощения означает, что в среде будет выделяться джоулева теплота с объемной плотностью λЕ
2
, поэтому λ ≠ 0, т. е. по-
глощающая среда обладает проводимостью.
Электрическое поле волны в такой среде возбуждает
электрический ток плотностью j = λЕ, а следовательно,
на единицу объема среды действует амперова сила Fед =
j[DB] = λ [EB], направленная в сторону распространения
волны (рис. 8.8). Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны.
При отсутствии поглощения проводимость λ = 0 и Fед =
0, значит, в этом случае электромагнитная волна не оказывает
никакого давления на среду.
Импульс электромагнитной
волны. Поскольку электромагнит-
ная волна оказывает давление на
вещество, последнее приобретает
определенный импульс. Но в замкнутой системе, состоящей из ве-
Рис. 8.8
145
щества и электромагнитной волны, возникло бы нарушение
00
EHε=µ
222
000
/2 /2EHEω=ε +µ =ε
2
00
/S EH E==εµ
00
/S =ωεµ
00
1/cεµ=
00
′
=+ppp
закона сохранения импульса, если бы импульсом обладало
только вещество.
Импульс такой системы может сохраняться лишь при
условии, что электромагнитное поле (волна) также обладает импульсом: вещество приобретает импульс за счет импульса, передаваемого ему электромагнитным полем.
Введем понятие плотности импульса G электромагнитного поля как величину, численно равную импульсу поля
в единице объема. Расчет, который здесь не приводится, показывает, что плотность импульса
G = S/с
2
, (8.24)
где S = [EH] – вектор Пойнтинга. Как и вектор S, плотность
импульса является функцией времени и координат.
Для электромагнитной волны в вакууме, согласно (8.20),
, поэтому плотность энергии ω и модуль S
вектора Пойнтинга равны соответственно
Отсюда
. Так как
,
света в вакууме, то S = ωс и из формулы (8.24) вытекает, что
для электромагнитной волны в вакууме
G = ω/с. (8.25)
Такая же связь между энергией и импульсом присуща (как
показано в теории относительности) частицам с нулевой
массой покоя. Это и естественно, поскольку, согласно квантовым представлениям, электромагнитная волна эквивалентна потоку фотонов – частиц с нулевой массой покоя.
Еще о давлении электромагнитных волн. Вычислим
с помощью формулы (8.25) давление электромагнитной
волны на тело, когда волна падает нормально на его поверхность и частично отражается в противоположном направле-
нии Согласно закону сохранения импульса,
146
.
, где с – скорость
,
где
00
,′pp
00
ppp GcGc
′′
=+=+
иGG
′
– импульсы падающей и от-
раженной волн, р – импульс, переданный телу (рис. 8.9) [5].
Спроектируем это равенство на направление падающей волны и отнесем
все величины к единице времени и к единице площади поперечного сечения, в результате получим
Рис. 8.9
где
– средние значения плотности импульса
,
в падающей и отраженной волнах. Остается учесть связь
(8.25) между 〈G〉 и 〈ω〉 и тот факт, что 〈ω′〉 = ρ〈ω〉, где ρ – коэффициент отражения. После преобразования предыдущее
выражение примет вид
р = (1 + ρ)〈ω〉. (8.26)
Здесь величина р по своему смыслу есть не что иное, как
давление электромагнитной волны на тело. При полном отражении ρ = 1 и давление р = 2〈ω〉, при полном поглощении
ρ = 0 и р = 〈ω〉.
Таким образом, давление электромагнитного излучения
обычно бывает очень малым (исключение составляет давление мощных пучков лазерного излучения, особенно после фокусировки пучка, а также давление излучения внутри горячих звезд). Например, давление солнечного излучения на Земле составляет несколько единиц на 10
-6
Па, что
в 1010 раз меньше атмосферного давления. Несмотря на ничтожные значения этих величин, экспериментальное доказательство существования электромагнитных волн – светового
давления – получено П. Н. Лебедевым. Результаты этих опытов хорошо согласуются с электромагнитной теорией света.
∗ ∗ ∗
1. При формулировке граничных условий в слоистых
материалах не существует единой точки зрения [1–8].
147
2. Уравнения Максвелла в слоистой среде не замкнуты,
так как отсутствуют замыкающие соотношения для поверхностного нескомпенсированного заряда σ.
3. В частных случаях постоянного тока в слоистой сре-
де и движения пластинки с постоянной скоростью в постоянном магнитном поле выражения для σ можно получить
в явном виде (см. параграфы 2.5; 6.3, пример 3).
4. В большинстве работ [1–8] фактически не рассматриваются законы электромагнетизма в проводниках второго
рода, например электролитах, с учетом электродных процессов.
Часть II
НОВЫЕ ЗАМЫКАЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ПОЛЯ МАКСВЕЛЛА В СЛОИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ
Электрический ток во многих жидкостях и плазме осуществляется упорядоченным перемещением ионов и сопровождается явлением электролиза – выделением на электродах составных частей растворенных веществ или других веществ, являющихся результатом вторичных реакций.
Проводники, в которых прохождение электрического тока
сопровождается электролизом, называются, как известно,
электролитами, или проводниками второго рода. В отличие
от металлических проводников (проводников первого рода)
ток в электролитах связан с переносом вещества, поэтому
определение удельной электропроводности с использованием обычного закона Ома затруднительно. На границах
электрод – электролит происходит выделение вещества согласно законам электролиза.
Цель второй части работы – анализ существующих подходов к процессам переноса в проводниках второго рода,
включая приэлектродную зону, формулировка согласованной физико-математической модели взаимодействия электрических, тепловых полей и диффузии в многослойной
электродинамической структуре с учетом поверхностных
явлений и заряда двойного электрического слоя без явного
выделения ионных носителей.
149
Глава 1
*
ii
ze=γuE
*
i
γ
*
i
i
DF
RT
γ=
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В ПРОВОДНИКАХ ВТОРОГО РОДА
1.1. Предыдущие исследования
и современное состояние теории прохождения тока
через растворы электролитов
Исследуемая нами среда предположительно состоит из
неионизированного растворителя, электролита в виде ионов и незаряженных компонентов. Вначале рассмотрим бесконечно разбавленные электролиты, молекулы которых
полностью диссоциированы на катионы и анионы.
Перенос ионов в растворе осуществляется конвекцией,
диффузией ионов к электродам (биологическим мембранам)
и миграцией ионов в электрическом поле. При выводе уравнения миграции ионов обычно используют следующие рассуждения. Пусть в растворе имеется ион с зарядом z
эффициентом диффузии Di, концентрация ионов равна n.
Если E – напряженность электрического поля в растворе, то
со стороны этого поля на ион действует сила zieЕ. Под воздействием этой силы ион приходит в движение. Скорость
движения иона связана с действующей на него силой соотношением для движения частиц в вязкой среде
и ко-
i
где
– подвижность иона, выраженная через коэффициент
, (1.1)
диффузии с помощью известного соотношения Эйнштейна:
, (1.2)
где F – постоянная Фарадея.
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]