Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
ются только через значения E′ и B′ в той же пространст-
ΙΙ ΙΙ
′
=EE
ΙΙ ΙΙ
′
=BB
0
[]v
⊥⊥
′
=+EEB
2
0
[ ]/vc
⊥⊥
′
=−BBE
0
[]v
′
=+EEB
2
0
[ ]/vc
′
=−BBE
0
[]q qv=+FEB
q
′′
=FE
венно-временной точке К-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание на следующие особенности законов преобразования полей:
1) в отличие от поперечных составляющих E′ и B′, кото-
рые изменяются при переходе к другой системе отсчета,
продольные составляющие не изменяются – во всех системах отсчета они одинаковы;
2) векторы E′ и B′ связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей степени симметричным образом.
Это особенно заметно в форме записи законов преобразования через проекции полей;
3) для получения формул обратного преобразования (от
К′ к К) достаточно в (6.1) и (6.2) заменить величины со
штрихом на величины без штриха (и наоборот), а также
знак перед v0.
Частный случай преобразования полей (v0 << с). Если
К′-система движется относительно К-системы со скоростью
v0 << с, то после замены корня в знаменателе формул (6.1)
на единицу получим
,
,
(6.3)
.
Отсюда следует
,
Заметим, что первую из формул (6.4) можно вычислить
непосредственно и очень просто. Пусть в К-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость v
него сила Лоренца
. Перейдем в инерциаль-
. Действующая на
0
ную К′-систему, движущуюся относительно К-системы
с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v0. В этот момент заряд q неподвижен в К′-системе,
и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто
электрической:
. При v0 << с, как в нашем случае,
,
. (6.4)
111
сила инвариантна (
′
=FF
[]v′=ΕB
00
ВEv
′
σ=ε =ε
), откуда и следует первая из фор-
мул (6.4).
Формулу же для преобразования магнитного поля можно получить только с помощью теории относительности
в результате довольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример по применению формул
(6.4).
Пример 1. Большая металлическая пластинка движется
с постоянной нерелятивистской скоростью в однородном
магнитном поле B (рис. 6.1) [5]. Найти поверхностную плот-
ность зарядов, возникающих на плоскостях пластинки изза ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой.
Согласно первой из формул (6.4), в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое
поле
. Оно будет направлено к нам. Под действием
этого внешнего поля произойдет смещение зарядов и в результате на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности – отрицательные.
Необходима такая поверхностная плотность σ этих за-
рядов, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле E′, так как при рав-
новесии результирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Значит,
Заметим, что при решении этого вопроса можно рассу-
ждать иначе – с учетом системы отсчета, где пластинка движется со
скоростью v. В этой системе отсчета
внутри пластинки электрическое
поле возникает вследствие действия
магнитной части силы Лоренца, вы-
Рис. 6.1
зывающей смещение всех электро-
112
.
нов в пластинке за плоскость рис. 6.1. В результате перед-
0
Вvσ=ε
няя поверхность пластинки заряжается положительно, задняя – отрицательно, и внутри пластинки появляется
электрическое поле, причем такое, что электрическая сила
qE компенсирует магнитную часть силы Лоренца q[vB], от-
куда E = –[vB]. Это поле связано с поверхностной плотно-
стью заряда тоже формулой
.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково за-
конны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул пре-
образования полей (6.1) и (6.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто
релятивистским эффектом, следствием наличия в природе
предельной скорости с, равной скорости света в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого
бы магнетизма вообще не существовало. Рассмотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета К, где он
покоится, имеется только электрическое поле. А это значит,
согласно (6.1), что в любой другой К′-системе отсчета при
с → ∞ никакого магнитного поля В′ не возникало бы. Оно
появляется только из-за конечности с, т. е. вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
В отличие от большинства релятивистских явлений
магнетизм во многих случаях обнаруживается сравнительно легко, например магнитное поле проводника с током.
Причина подобных благоприятных обстоятельств обусловлена тем, что магнитное поле может создаваться очень
большим числом движущихся зарядов при условии почти
полного исчезновения электрического поля из-за практически идеального баланса числа электронов и протонов в проводниках. В этих случаях магнитное взаимодействие оказывается преобладающим.
113
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить релятивистские эффекты, т. е.
магнетизм. По этой причине после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
Поле не движется, а изменяется. Поскольку электрическое и магнитное поля появляются в разных соотношениях при изменении системы отсчета, следует проявлять
определенную осторожность в обращении с полями E и B.
Скажем, вопрос о силе, действующей на заряд со стороны
движущегося магнитного поля, не имеет сколько-нибудь
точного содержания. Сила определяется значениями величин E и B в точке нахождения заряда. Если в результате
движения источников полей E и B их значения в этой точке
будут изменяться, изменится и сила, в противном случае
движение источников на значении силы не отразится.
Таким образом, при решении вопроса о силе, действующей на заряд, необходимо знать E и B в точке нахождения
заряда и его скорость v, причем все эти величины должны
быть взяты относительно интересующей нас инерциальной
системы отсчета.
Если и говорят о «движущемся» поле, то это нужно понимать просто как краткий и удобный способ словесного
описания изменяющегося поля в определенных условиях
и ничего более.
6.3. Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электро-
магнитное поле, зависят от системы отсчета (в той же самой
пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т. е. не зависящих от системы
отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инвари-
анта, представляющие собой комбинации векторов E и B:
114
EB = inv, E2 – c2B2 = inv. (6.5)
3
0
14q
r
′
=πεEr
′
=rr
′
B
0
2
[]
4
q
r
µ
=
π
vr
B
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является следствием формул преобразования полей (6.1) и (6.2). Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто находить
решение.
Пример 2. Нерелятивистский точечный заряд q дви-
жется с постоянной скоростью v. Найти с помощью формул
преобразования полей магнитное поле B этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется
радиус-вектором r.
Р е ш е н и е. Перейдем в К′-систему отсчета, связан-
ную с зарядом. В этой системе имеется только кулоновское
поле напряженностью
и радиус-вектор
(нерелятивистский случай). Теперь
возвратимся из К′-системы в К-систему, которая движется
относительно К′-системы со скоростью –v. С этой целью
воспользуемся формулой для поля B из (6.2) [5], в которой
роль величин со штрихом будут играть величины без штриха (и наоборот), а скорость v0 надо заменить на –v0 (рис. 6.2).
В нашем случае v
что в К′-системе
= v, поэтому . Учитывая,
0
= 0 и с2 = 1/ε0µ0, находим
.
Полученная нами
формула (4.3) ранее
была постулирована
как результат обобщения опытных фактов.
Рис. 6.2
115
Пример 3. Большая пластинка из
0
′
E
0
[]
′
=E vB
0
1
[]
ε−
=ε
ε
Р vB
0
/
′′
=εEЕ
0
1
Р vB
ε−
′
σ = =ε
ε
однородного диэлектрика с проницаемостью ε движется с постоянной
нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном поле B (рис. 6.3)
[5]. Найти поляризованность P диэ-
Рис. 6.3
лектрика и поверхностную плотность σ′ связанных зарядов.
Р е ш е н и е. В системе отсчета, связанной с пластинкой, кроме магнитного поля имеется электрическое, обозначим его
. В соответствии с формулами преобразова-
ния полей (6.4) [5]
.
Поляризованность диэлектрика
с учетом того, что внутри диэлектрика, согласно (1.29),
. Поверхностная плотность связанных зарядов
,
причем на той поверхности пластинки, которая обращена
к нам (рис. 6.3), σ′ > 0, на противоположной σ′ < 0.
Глава 7
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
7.1. Закон электромагнитной индукции.
Правило Ленца
Нами установлено (см. гл. 6), что существует электромагнитное поле, в котором соотношение между электрическим и магнитным полями в решающей степени зависит от
системы отсчета. Другими словами, оба компонента электромагнитного поля связаны друг с другом. В этой главе
можно убедиться, что существует еще более глубокая связь
между E- и B- полями и прослеживается она в явлениях
электромагнитной индукции.
Открытие Фарадея. В 1831 г. М. Фарадеем было сделано одно из наиболее фундаментальных открытий в электродинамике – явление электромагнитной индукции. Суть его
в том, что в замкнутом проводящем контуре при измене-
нии магнитного потока (потока вектора B), охватываемого
этим контуром, возникает электрический ток – так назы-
ваемый индукционный.
Как обнаружил М. Фарадей в своих ранних опытах, постоянный ток не оказывает влияния на близлежащий контур. Он изготавливал различные проволочные катушки
и наматывал два проводника так, чтобы их витки располагались очень плотно друг к другу, но разделялись изолирующим слоем ткани или бумаги. Один проводник составлял
с гальванометром замкнутую цепь. Через второй проводник шел сильный ток от батареи. К разочарованию Фарадея, стрелка гальванометра не отклонялась. Но в одном из
опытов было замечено очень слабое движение стрелки
гальванометра при включении тока и такое же движение
при его выключении. Продолжая эти опыты, исследователь
117
вскоре установил, что токи в других проводниках образуются при воздействии не постоянного, а изменяющегося
тока. Одна из блестящих экспериментальных находок в опытах М. Фарадея этого периода – замена гальванометра (он
установил, что гальванометр – недостаточно чувствительный прибор для обнаружения кратковременного импульса
тока) простой маленькой катушкой с ненамагниченной
стальной стрелкой. Стрелка намагничивалась импульсом
индуцированного тока при включении первичного тока,
и направление намагничивания оказывалось обратным, если
его причиной было выключение тока в первичном контуре.
Приведем его собственное описание одного из опытов:
«В предыдущих опытах провода были расположены близко
друг от друга и, когда требовалось воспроизвести явление
индукции, индуцирующий провод соединялся с батареей:
но так как это явление возникло только в моменты включения и выключения контакта, индукцию стали получать
другим путем. На одной из поверхностей большой доски
широкими зигзагами в виде буквы W растягивали несколько футов медного провода, второй провод растягивали точно таким же образом на второй доске, так, чтобы при сближении обеих досок провода всюду касались бы друг друга,
если бы между ними не находился лист толстой бумаги.
Один из этих проводов был соединен с гальванометром,
а другой – с гальванической батареей. Затем первый провод
двигали по направлению ко второму и, когда он приближался, стрелка гальванометра отклонялась. При удалении
провода стрелка отклонялась в противоположном направлении. При приближении и удалении проводов друг от друга стрелка начинала колебаться и размах этих колебаний
становился весьма большим; но когда провода переставали
приближать и удалять друг от друга, стрелка быстро занимала свое обычное положение.
При сближении проводов направление индуцированного тока было обратным по отношению к индуцирующему
току. При удалении проводов друг от друга наведенный ток
118
шел в том же направлении, что и наводящий ток. Когда провода оставались неподвижными, индуцированного тока не
было».
С позиций современной науки индукцию можно рассматривать как естественный результат действия силы на
заряд, движущийся в магнитном поле. Закон индукции
можно вывести из того, что нам уже известно.
Появление индукционного тока означает, что при изменении магнитного потока в контуре возникает ЭДС индукции Ɛi. При этом следует отметить, что Ɛi совершенно не
зависит от того, каким образом осуществляется изменение
магнитного потока Φ, и определяется лишь скоростью его
изменения, т. е. величиной dΦ/dt. Кроме того, изменение
знака производной dΦ/dt приводит к изменению знака или
«направления» Ɛi.
Согласно опытам М. Фарадея, индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее поясняет рис. 7.1 [5], где изображены катушка К с током I (она
создает магнитное поле) и рамка Р с гальванометром Г –
индикатором индукционного тока.
1-й способ – перемещение рамки Р (или отдельных ее
частей) в поле неподвижной катушки К.
2-й способ – рамка Р неподвижна, но изменяется магнитное поле (за счет движения катушки К, или вследствие
изменения силы тока I в ней, или в результате того и другого вместе).
Во всех этих случаях гальванометр Г будет показывать нали-
чие индукционного тока в рамке Р.
Правило Ленца. Направление индукционного тока (а значит, и знак ЭДС индукции) определяется правилом Ленца: индук-
ционный ток всегда направлен
так, чтобы противодействовать
причине, его вызывающей. Иначе
Рис. 7.1
119
говоря, индукционный ток создает магнитный поток, пре-
ddtΦ
−
пятствующий изменению магнитного потока, вызывающего ЭДС индукции.
Если, например, рамку Р (рис. 7.1) приближать в катушке К, то магнитный поток сквозь рамку возрастает и в рам-
ке возникает индукционный ток, направленный по часовой
стрелке (если смотреть справа на рамку). Этот ток создает
магнитный поток, «направленный» влево, он и препятствует возрастанию магнитного потока. То же произойдет, если
увеличивать силу тока в катушке К, оставляя катушку
и рамку Р неподвижными. При уменьшении силы тока в катушке К индукционный ток в рамке Р изменит свое направление на противоположное (против часовой стрелки, если
смотреть справа).
Правило Ленца выражает существенный физический
факт – стремление системы противодействовать изменению
ее состояния (электромагнитная инерция).
Закон электромагнитной индукции. Согласно этому
закону, какова бы ни была причина изменения магнитного
потока, охватываемого замкнутым проводящим контуром,
возникающая в контуре ЭДС индукции определяется формулой
Ɛ
i
=
. (7.1)
Знак минус в этом уравнении зависит от определенного правила знаков. Знак магнитного потока Φ связан с выбором нормали к поверхности S, ограниченной рассматриваемым контуром, а знак ЭДС индукции Ɛ
– с выбором
i
положительного направления обхода по
кон ту ру.
Здесь предполагается, как и ранее, что
направление нормали n к поверхности S
и положительное направление обхода контура обусловлены правилом правого винта
Рис. 7.2
(рис. 7.2). Если бы эти направления были
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]