Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
С целью удобства дальнейших выкладок полагаем
0T∇=
0T∇≠
0
полн 0 0
( ) ( 1) ( )nn
t tt
εε
∂ ∂∂
=λ−β∇+ε+ε−ε−β∇=
∂ ∂ λ∂
EE
jE
0
0
( ) ( ).nn
tt
εε
∂∂
λ −β∇ + εε − β ∇
∂λ∂
E
E
0
t
∂
εε
∂
E
0
t
∂ρ
=
∂
0ρ=
полн
div 0j =
div( ) 0.nλ −β∇ =E
0
div 0
t
∂
εε =
∂
E
. Случай
будет рассмотрен нами отдельно.
Следовательно, определим полный ток:
. (1.35)
В настоящее время для проводников второго рода ε находят косвенным методом по отражению и прохождению
электромагнитной волны; прямые методы определения ε
в проводниках отсутствуют. Понятно, что ток смещения
в (1.35) определяется в том числе и поляризованностью диэлектрика, поэтому более удобно (1.35) преобразовать:
(1.36)
Последний член в (1.36) является новым и получен в данной
работе впервые.
Выражение тока смещения в виде
– самый про-
стой, но не единственный способ описания термодинамики
сложных сред при наличии перекрестных эффектов. При
выполнении условия квазинейтральности среды, когда
,
учитывая, что
, выражение (1.35) можно легко получить,
:
(1.37)
Если использовать обычное выражение для тока смещения, то
или
171
div 0.=E
0
cm 0
()n
tt
εε
∂∂
= εε ± β ∇
∂λ∂
E
j
,,,EBnT∇∇
,,,nT
tttt
∂∂∂∂
∇∇
∂∂∂∂
EB
полн
(,, , , , , , )f nT n T
t tt t
∂∂ ∂ ∂
= ∇∇ ∇ ∇
∂ ∂∂ ∂
EB
j EB
. (1.38)
Однако имеет место противоречие формул (1.37) и (1.38),
поэтому целесообразно ток смещения при наличии электродиффузии представлять в виде
. (1.39)
Полный ток определяется не только величиной потенциалов переноса Е и ∇n, но и их производными по времени.
Пренебрежение d/dt(∇n) противоречит незыблемому закону
сохранения электрического заряда.
Исходя из общих представлений об электромагнитных
свойствах среды, получаем выражение для полного тока
при наличии диффузии и потоков тепла,. При формальном
рассмотрении ограничимся лишь одним физическим допущением: если некоторое тело помещено во внешнее электромагнитное поле, то среднее поле в объеме тела мало по
сравнению с внутриатомными полями. Иными словами,
предположим, что средние поля внутри тела слабые.
Аналогично [47] покажем, что полный ток зависит от
векторов
и скорости их изменения во времени
, т. е.
. (1.40)
Поскольку поля слабые, можно разложить функцию
в ряд по степеням переменных и ограничиться пер-
j
полн
выми степенями разложения. По существу, это разложение производится по степеням малого отклонения типа
|E|/|E
мо учитывать, что j
|, где E
вн.ат
Разлагая j
– напряженность внутриатомного поля.
вн.ат
в ряд по степеням переменных, необходи-
полн
является полярным вектором. Поэ-
полн
тому все члены ряда, выражающего искомое разложение,
172
также должны быть полярными (не скалярами, не аксиаль-
T∇
полн
00 0
( grad ) ( ) grad
() .
n TT
n TT
tt t
= λ −β − λα +
∂∂ ∂
εε − εε β ∇ − εε ∇
∂∂ ∂
jE
E
( ) ,( )tntT∂∂∇∂∂∇
0
( ())nTT= εε ± β∇ ± α ∇DE
ными) векторами.
Отметим, что напряженность электрического поля Е –
полярный вектор, полярными векторами являются ∇n
и
. Напротив, напряженность магнитного поля Н, а также В – аксиальные векторы, или псевдовекторы. Это видно
из формулы для силы Лоренца F = [VH]. Действительно,
поведение Н при отражении в начале координат и замене
r → (–r) определяется поведением полярных векторов F и V
и свойствами их векторного произведения. При замене r →
(–r) направления векторов F и V изменяются на обратные;
знак векторного произведения также изменяется на обратный. Следовательно, при замене r → (–r) вектор Н должен
оставаться неизменным. Это свойство считается признаком
аксиального вектора.
В искомом разложении могут фигурировать векторы E,
∂E/∂t, ∇n, ∇T, (∂/∂t)∇n, (∂/∂t)∇T и, таким образом, разлагая
в ряд Тейлора (1.40), имеем
(1.41)
Как отмечено выше, пренебрежение членами вида
трического заряда. Выражение для полного тока (1.41)
с учетом потоков массы и тепла в токе смещения получено
и обосновано нами впервые и с точностью до постоянного
коэффициента совпадает с формулой (1.36).
Выражения для полного тока (1.36) и (1.41) получены
нами независимыми методами. Из данных формул следует,
что поверхностный заряд, или вектор электрической индукции D, при наличии диффузии и потоков тепла должен
иметь вид
противоречит закону сохранения элек-
. (1.42)
173
В полупроводниках и биологических мембранах гради-
2
полн
1
t
∂
=∇
∂µ
j
E
()
m
dn
div
dt
=− I
00
()
T
dT
c div
dt
ρ =− I
енты концентрации примеси значительны, поэтому в общем
случае необходимо учитывать данные поляризационные
эффекты.
1.6. Система уравнений
для описания электродинамических процессов
в проводниках второго рода
Исключая из уравнений Максвелла магнитное поле, получаем
,
,
, (1.43)
где величина полного тока определяется из выражения (1.41),
I
, IT – из формулы (1.26).
m
При использовании классических уравнений электромагнитного поля Максвелла для напряженностей электрического и магнитного полей необходимо учитывать влияние
магнитного поля на процесс диффузии, вследствие чего система взаимосвязанных уравнений для потоков заряда, тепла
и массы (1.26) значительно усложняется, так как требуется
введение дополнительных феноменологических коэффициентов переноса. Именно поэтому сведение уравнений поля
к виду (1.43) является более предпочтительным.
При наличии нормальной составляющей вектора электрического смещения на контакте возникают нескомпенсированные поверхностные заряды. Поверхностный заряд,
как известно, образуется вследствие спонтанного перераспределения ионов или электронов на границе слоистой среды для выравнивания энергетических уровней Ферми.
В результате возникает двойной электрический слой (ДЭС)
и имеет место пространственное распределение электрических зарядов на границе соприкосновения различных фаз.
174
Нестационарные тепловые процессы влияют на структуру ДЭС и распределение зарядов, что еще больше усложняет проблему моделирования электрических полей.
Влияние наведенного поверхностного заряда необходимо учитывать при формулировке краевых условий. В настоящее время отсутствует метод, который бы позволил
корректно учитывать влияние двойного электрического
слоя. Во второй части данной работы будут сформулированы физико-математическую модель взаимодействия электрических, тепловых полей и диффузии в слоистой среде,
а также краевые условия без явного выделения наведенного
поверхностного заряда, приведен пример расчета задачи
импульсного электролиза в частично диссоциированном
электролите [48–55].
Глава 2
полн
=∇×jH
∇⋅=ρD
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ,
ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ И ДИФФУЗИИ
В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ
С УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИИ
Для решения поставленной задачи применимы два подхода. Можно детально изучить воздействие электрического
поля на электрические заряды, существующие самостоятельно или входящие в состав молекул или атомов среды.
Требуемые вычисления в этом случае громоздки из-за необходимости учета воздействия на каждый заряд не только
падающей волны, но и вторичных волн от всех остальных
зарядов [1].
Другой путь решения задачи опирается на феноменологическую электродинамику, положения которой служат
основой исследований настоящей работы. Рассмотрим поверхность раздела S двух сред с различными электрофизическими свойствами. На контакте под действием внешнего
электрического поля возникают наведенные поверхностные
заряды σ и поверхностные токи i (векторы, лежащие в касательной плоскости к поверхности S). По обе стороны от поверхности раздела векторы напряженности магнитного
поля Н и магнитной индукции В, а также векторы электрического поля Е и электрического смещения D конечны и непрерывны, но на границе раздела фаз они могут претерпевать разрыв первого рода (разрыв функций).
При исследовании электрического поля, взаимодействующего с материальной средой, воспользуемся уравнениями
Максвелла [1, 2]:
176
,
, (2.1)
t
∂
− =∇×
∂
В
E
0∇⋅=B
0
= µµBH
12
,
nn
DD− =σ
12
0,EE
ττ
−=
12
0,
nn
BB−=
12
()HH
τττ
−=in
,
, (2.2)
где j
и D определяются из уравнений (1.41), (1.42),
полн
.
На поверхности S система уравнений дополняется из-
вестными условиями [1, 2]:
Индексы n и i
обозначают нормальные и касательные
τ
(2.3)
(2.4)
(2.5)
. (2.6)
составляющие векторов к поверхности S, а индексы 1 и 2 –
смежные среды с различными электрофизическими свойствами. Отметим, что под τ можно понимать любое направление, касательное к поверхности разрыва.
Величина поверхностного заряда и структура ДЭС могут быть обусловлены различными факторами: в случае
контакта электролит–металл – переходом ионов из электрода в раствор, а также специфической адсорбцией на поверхности электрода ионов одного знака и ориентацией полярных молекул у поверхности электрода [3]. Строение ДЭС
при соприкосновении двух твердых проводников или диэлектрика и проводника вызвано другими причинами и имеет свои особенности [4, 5].
Структура ДЭС существенно влияет на электрокинетические явления, скорость электрохимических процессов
и устойчивость коллоидных систем. В силу указанных причин ДЭС вызывает принципиальные трудности при моделировании электрических полей в слоистой среде. Построение эквивалентных схем замещения для учета ДЭС посредством введения поверхностной емкости [6], определенной
177
экспериментально, имеет смысл только для диапазона усло-
( )
2
полн
11
grad div
t
∂
=∇ −
∂µ µ
j
ЕЕ
вий опыта.
В оптике и радиофизике [7–30] для учета особенностей
двойного электрического слоя на границах раздела задают
матрицу импедансов – определяют экспериментально или
в некоторых случаях теоретически на основе квантовых
представлений [13, 17, 28–30]. Согласно [3], поверхностный
заряд не только характеризует свойства поверхности, но
и является функцией процесса, т. е. σ (E(∂E/∂t, H(∂H/∂t)), по-
этому поверхностные импедансы [7–30] верны, справедливы для условий, при которых они и определялись, и не используются в других условиях проведения опыта.
Покажем, что σ можно вычислять из феноменологических макроскопических уравнений электромагнитного поля Максвелла и закона сохранения электрического заряда,
учитывающего специфику границы раздела смежных сред.
Наличие поверхностного заряда при протекании постоянного тока через слоистую среду наглядно было продемонстрировано нами ранее в ч. 1, параграфе 2.5. Отметим, что
в уравнении (2.6) не определены значения для поверхностных токов i
. Для поверхностных токов также отсутствуют
τ
замыкающие соотношения.
Сформулируем физико-математическую модель взаимодействия нестационарных электрических, тепловых полей и диффузии в слоистой среде. Среды, находящиеся в контакте, считаем однородными.
2.1. Взаимодействие нестационарных электрических,
тепловых полей и диффузии в слоистых материалах
Умножим левую и правую части уравнения для полного
тока (2.1) на µ и продифференцируем его по времени; действуем оператором rot на левую и правую части первого
уравнения (2.2) и, полагая µ = const, получаем
178
(2.7)
В декартовых координатах (2.7) будет иметь вид
222
полн.
222
1
1
,
х xxx
y
x
z
EEE
t
xyz
E
E
E
xx y z
∂ ∂∂∂
= ++ −
∂µ
∂∂∂
∂
∂
∂
∂
++
µ∂ ∂ ∂ ∂
j
222
полн. y y y
222
1
1
,
y
y
x
z
EEE
t
xyz
E
E
E
yx y z
∂ ∂∂∂
= ++ −
∂µ
∂∂∂
∂
∂
∂
∂
++
µ∂ ∂ ∂ ∂
j
222
полн.
zzz
222
1
1
.
z
y
x
z
EEE
t
xyz
E
E
E
zx y z
∂
∂∂∂
= ++ −
∂µ
∂∂∂
∂
∂
∂
∂
++
µ∂ ∂ ∂ ∂
j
12
div .
qx qx
iII
t
∂σ
+ − =−
∂
12
xx
DD− =σ
12
0
yy
EE−=
12
0
zz
EE−=
12
0
xx
BB−=
12
yyz
HHi−=
На поверхности раздела справедливо также соотношение [2]
(2.9)
Условия (2.3)–(2.6) запишем в декартовой системе координат:
, (2.10)
(2.8)
, (2.11)
, (2.12)
, (2.13)
, (2.14)
179
12
zzy
HHi−=
y
i
z
i
12
полн. полн.
div ,
xxτ
+=ij j
[ ]
12
00xx
x
fff
=ξ+ =ξ−
=ξ
=−
[ ]
полн.
div 0.
х
xτ=ξ
+=ij
( )
полн.
div
,
х
x
yy
τ
=ξ
∂
∂
=−
∂∂
i
j
i
τ
=
j +
k – плотность поверхностного тока, при этом
, (2.15)
координата х направлена по нормали к границе раздела.
Под плотностью iy, iz поверхностных токов понимаем количество электричества, протекающего в единицу времени
через единицу длины отрезка, расположенного на поверхности, по которой течет ток, и перпендикулярного направлению тока.
Порядок системы дифференциальных уравнений (2.8)
равен 18. Поэтому на границе раздела S необходимо, вообще говоря, задать 9 граничных условий. Кроме того, на этой
границе должны выполняться еще три условия (2.10), (2.14),
(2.15), содержащие неизвестные (до решения) величины.
Следовательно, общее число условий сопряжения на границе S должно равняться 12 для корректного решения задачи.
Дифференцируя выражение (2.10) по времени и учитывая соотношение (2.9), на границе раздела сред получаем
условие для нормальных составляющих полного тока
которое позволяет исключить из рассмотрения поверхностную плотность заряда σ. Для произвольной функции f введем обозначение
ние (2.16) примет вид
Полагаем, что на границе раздела сред E
прерывной функцией y и z. Тогда после дифференцирования (2.16) по y и z имеем
180
. Тогда выраже-
является не-
x
(2.16 )
(2 .17)
(2.18)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]