Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
( )
полн.
div
.
х
x
zz
τ
=ξ
∂
∂
=−
∂∂
i
j
(2.19)
0
= µµBH
0
x
x
B
t
=ξ
∂
=
∂
[ ]
rot 0
x
x
E
=ξ
=
0
y
z
x
E
E
yz
=ξ
∂
∂
−=
∂∂
0
1
rot
z
y
x
i
E
t
=ξ
∂
=
µµ ∂
0
1
x
zz
x
E
Ei
zxt
=ξ
∂
∂∂
−=
µµ ∂ ∂ ∂
0
1
rot
z
z
x
i
E
t
=ξ
∂
=
µµ ∂
0
1
y
x
z
x
E
E
i
xyt
=ξ
∂
∂
∂
−=
µµ ∂ ∂ ∂
Продифференцируем условия (2.13)–(2.15) для магнитной индукции и напряженности магнитного поля по времени. Принимая
, получаем
,
. (2.20)
,
С учетом уравнения (2.2) выразим (2.20) через проекции
вихря электрического поля
или
или
, (2.21)
, (2.22)
или
. (2.23)
181
Здесь (2.21) – нормальная проекция вихря, (2.22) – танген-
0
y
х
E
y
=ξ
∂
=
∂
0
y
х
E
z
=ξ
∂
=
∂
0
z
х
E
y
=ξ
∂
=
∂
0
z
х
E
z
=ξ
∂
=
∂
zz
х
iE
=ξ
=λ
yy
х
iE
=ξ
=λ
( )
12
1
2
x=ξ
λ= λ+λ
x
Ey∂∂
x
Ez∂∂
x
Ex∂∂
циальная проекция вихря электрического поля по y и (2.23) –
проекция вихря по z.
В предположении, что E
и Ez – непрерывные диффе-
y
ренцируемые функции координат y и z, из условий (2.11),
(2.12) найдем
,
,
, (2.24)
. (2.25)
Вследствие равенства тангенциальных проекций электрического поля по z и y, согласно условиям (2.11), (2.12),
выражения для плотностей поверхностного тока i
и iy име-
z
ют вид
,
, (2.26)
где
(2.27)
– среднее значение электропроводности на границах раздела смежных сред в соответствии с теоремой Дирихле
(1829 г.) для кусочно-гладкой, кусочно-дифференцируемой
функции.
С учетом изложенного выше имеем 12 условий на границе раздела смежных сред, необходимых для решения
полной системы уравнений (2.8):
а) функции Е
, Ez определяются из уравнений (2.11),
y
(2.12);
б) Ех определяется из условия (2.17);
в) величины
,
и
рассчитываются
из соотношений (2.18), (2.19), а также из непрерывности на
182
границе раздела нормальной составляющей полного тока
y
Ey∂∂
y
Ez∂∂
z
Ey∂∂
z
Ez∂∂
y
Ex∂∂
z
Ex∂∂
rot 0
x
E =
y
Ey∂∂
z
Ez∂∂
(2.17) и непрерывности производной полного тока по координате х;
г) значения
,
,
,
опреде-
ляются из условий (2.24), (2.25) как следствие непрерывности тангенциальных компонент электрического поля по y и z;
д) производные
,
находятся из условий
(2.22), (2.23) как следствие равенства тангенциальных компонент вихря электрического поля по у и z.
Отметим, что условие (2.16) использовалось нами в [25]
при численном моделировании импульсных электрохимических процессов для одномерного случая. Условие (2.21)
для нормальной составляющей вихря электрического поля
есть линейная комбинация условий (2.24), (2.25), поэтому
и в его дальнейшем использовании нет необходимости. Специфика выражения общего закона сохранения
электрического заряда на границе раздела заключается
в том, что компоненты
,
находятся из
условий (2.24), (2.25), которые выводятся из равенства
и непрерывности тангенциальных компонент Ey и Еz на
границе S.
Таким образом, на границе раздела смежных сред выполняются следующие условия: равенство нормальных
составляющих полного тока, равенство тангенциальных
проекций вихря электрического поля, закон сохранения
электрического заряда, равенство тангенциальных составляющих электрического поля и их производных в тангенциальном направлении, равенство производных нормальных составляющих полного тока в направлении, касательном к поверхности раздела смежных сред с учетом влияния
поверхностных токов без явного введения поверхностного
заряда σ. Они справедливы в каждом сечении исследуемого
образца.
183
2.2. Взаимодействие нестационарных
электрических и тепловых полей
с учетом релаксационных процессов
Исследуем электрические и тепловые поля, создаваемые
макроскопическими зарядами и токами в сплошных средах.
С практической точки зрения представляет интерес моделирование локальных тепловыделений в средах под действием высокочастотного электромагнитного поля. Следует
учитывать влияние поглощения энергии на распространение электромагнитной волны, так как процессы переноса
взаимосвязаны.
В колебательном контуре с непрерывно распределенными параметрами диссипацию энергии связывают [33] с диэлектрическими потерями вследствие зависимости относительной диэлектрической проницаемости ε (ω) от частоты.
В общем случае ε также комплексна, а связь между векторами электрического смещения и напряженности электрического поля имеет вид D = ε(ω)E, где ε(ω) = ε'(ω) – iε''(ω),
при этом ε' и ε'' определяют экспериментально. В настоящее
время задачи диэлектрического нагрева сплошной среды во
многих случаях сводятся к рассмотрению эквивалентной
схемы замещения на основе использования сосредоточенных параметров, таких как емкость, индуктивность, угол
потерь, фактор относительных диэлектрических потерь [5,
6], устанавливаемых экспериментально.
При таком подходе возникают существенные трудности
в определении температурного поля эквивалентных схем
замещения. Поляризация и возникновение двойного электрического слоя, обладающего заданным электрическим
моментом, имеют место также при контакте сред с различными свойствами. Эквивалентные схемы замещения в слоистых средах дополнительно включают в себя ряд эмпирических «сосредоточенных» параметров: поверхностную
емкость, поверхностное сопротивление [34]. Общий ток
всегда можно разделить на диссипативный, или ток прово-
184
димости, совпадающий по фазе с приложенным напряжением, и ток смещения, который сдвинут по времени относительно напряжения. Точный физический смысл этих составляющих тока в значительной степени зависит от выбора
электрической эквивалентной схемы замещения. Однозначной схемы замещения – последовательного или параллельного соединения емкости, сопротивления, индуктивности –
не существует, она определяется более или менее адекватным соответствием экспериментальным данным.
В случае электролитических конденсаторов роль одной
из обкладок играет двойной электрический слой с удельным сопротивлением, значительно превосходящим сопротивление металлических обкладок. Поэтому для таких конденсаторов снижение емкости с частотой наблюдается уже
в области звуковых частот [34]. Схемы, эквивалентные
электролитическому конденсатору, весьма громоздки, насчитывают до 12 элементов R, L, С, поэтому получить
истинное значение, например, емкости электролита затруднительно. В работе [34] приводятся экспериментальные методы измерения диэлектрических свойств растворов электролитов на различных частотах, определяются ε' и ε''. При
этом зависимости дисперсии и поглощения от частоты
представляют собой, по существу, разные следствия одного
явления – «инерции поляризации диэлектрика» [34]. На самом деле, зависимость ε(ω) может объясняться наличием
сопротивления двойного электрического слоя, а также тем,
что электрохимическая ячейка в электролитическом конденсаторе является системой с непрерывно распределенными параметрами, в которой скорость сигнала – величина
конечная.
Фактически ε' и ε'' есть некоторые интегральные характеристики материала при заданной постоянной температуре, которые определяются геометрией образца и свойствами двойного электрического слоя. Как известно, в случае
поля, произвольным образом зависящего от времени, оказывается невозможным какой-либо достоверный расчет по-
185
глощенной энергии через ε(ω) [32]. Это удается сделать
( ) ( ) ( )
00
1
2
it it
t te te
−ω ∗ ω
=+
EEE
( ) ( ) ( )
00
1
2
it it
t te te
−ω ∗ ω
=+
НН Н
( )
0
tE
( )
0
tH
**
00 00
() 1 ( ( )
E() () () () ()
4 () 2
td
t tt tt
t dt
′ ′′
∂ ωε ω ∂ ωε
= ++
∂ ω∂
D
EE EE
*
*
00
00
() ()
( ()
() (),
4
tt
d
itt
dtt
′′
∂
ωε ω
−
ω∂∂
EE
EE
лишь при конкретной зависимости поля Е от времени.
Для квазимонохроматического поля имеем [32]
, (2.28)
. (2.29)
Значения
и
, согласно [35], должны очень
медленно меняться за время T = 2π/ω. Тогда для поглощенной энергии после усреднения по частоте ω получается выражение [35]
(2.30)
где производные по частоте берутся на «несущей» частоте ω.
Отметим, что при произвольной функции Е(t) представить ее в виде
E(t) = a(t)cosϕ (t) (2 .31)
затруднительно, поскольку нельзя однозначно указать амплитуду a(t) и фазу ϕ (t). Не ясно, как расчленить E(t) на со-
множители а и cos ϕ. Еще большие трудности появляются
в случае перехода к комплексной записи W(t)=U(t)+iV(t) при
дополнении реального колебания E(t) мнимой частью V(t).
Проблемы, возникающие при этом, подробно рассмотрены
в [36]. В указанной работе подчеркивается, что без однозначного определения амплитуды, фазы, частоты становятся бессодержательными некоторые методы, использующие
комплексную запись и претендующие на повышенную точность.
186
Суммируя сказанное, можно утверждать, что расчет ди-
( ) ( )
div grad ,
p
dT
C kT T Q
dt
ρ= +
q
dd
QH
dt dt
=ρ + + Ε
ρρ
DB
EJ
электрических потерь носит в основном эмпирический характер. Построение эквивалентной схемы замещения, учет
влияния двойного электрического слоя, зависимости электрофизических свойств от частоты поля справедливы только для тех условий, при которых они и определялись, поэтому в моделировании распространения и поглощения
электромагнитной энергии имеются принципиальные трудности.
На наш взгляд, выделение тепла в средах под действием
нестационарных электрических полей можно рассчитывать
на основе учета взаимодействия электромагнитных и тепловых полей как системы с непрерывно распределенными
параметрами на основе уравнений поля и уравнения энергии, учитывающих особенности границы раздела смежных
сред. При рассмотрении электрического поля, взаимодействующего с материальной средой, воспользуемся уравнениями Максвелла (2.1) – (2.6). Полагаем, что в начальный
момент времени в сплошной среде отсутствуют объемные
заряды и на протяжении всего процесса они не возникают.
Уравнение энергии представим в виде
(2.32)
где Q – диссипация электромагнитной энергии.
Согласно [37], электромагнитная энергия, которая превращается в теплоту, определяется выражением
. (2.33)
При выводе данной формулы использовалось нерелятивистское приближение теории Минковского. Если ε, μ, ρ =
const, то тепловыделение отсутствует, поэтому собственно
диэлектрические потери связывают с введением ε'(ω) и ε″(ω).
На величину Q оказывает влияние изменение плотности
вещества ρ(Т).
187
Характерной чертой высоких частот является отстава-
0
()
() ( 1) ()
e
dt
tt
dt
+τ =ε− ε
P
PE
0
( )/
0
( 1 )
()
e
t
t
e
t
ed
− −τ τ
ε− ε
=ττ
τ
∫
PE
ние поля поляризации (или поляризованности) по времени
от изменения внешнего поля. Поэтому вектор электрической поляризации целесообразно определять из решения
уравнения Р(t+τ
)=(ε–1)ε0E(t) с учетом времени электриче-
e
ской релаксации диполей τe. Ограничиваясь первым членом
разложения Р(t+τe) в ряд Тейлора, из данного уравнения получаем
. (2.34)
Решение (2.34) при условии, что Р = 0 в начальный момент времени, примет вид
. (2.35)
Отметим, что уравнение (2.34) базируется на классической модели Дебая. Согласно этой модели, частицы веществ
обладают постоянным электрическим дипольным моментом. Указанный механизм поляризации состоит в частичном выстраивании диполей вдоль электрического поля,
которому противостоит процесс дезориентации диполей
из-за тепловых соударений. Возвращающая «сила» в соответст вии с уравнением (2.34) не приводит к колебаниям
электрической поляризации. Она действует так, как если
бы постоянные электрические диполи обладали сильным затуханием.
Релаксационной поляризуемостью Дебая обладают молекулы многих жидкостей и твердых тел. Первоначально
поляризационные скопления дебаевских осцилляторов возвращаются к состоянию равновесия P(t) = Р(0)exp(–t/τ
).
e
Как правило, диэлектрик характеризуется целым набором времен релаксации с характерной функцией распределения, так как потенциальный барьер, ограничивающий
движение слабо связанных ионов, может иметь различные
188
значения [5], поэтому под τe в уравнении (2.34) следует по-
0
t = −∞
( )
0∞=E
( )
0∞=H
( )/
0
( 1)
()
e
t
t
e
e dt
− −τ τ
−∞
ε− ε
=τ
τ
∫
PE
0
sin t=ωEE
( )/
0
0 00
( 1)
( ) sin
e
t
t
e
e dt t
− −τ τ
−∞
ε− ε
=ε + = τ +ε ω =
τ
∫
D EP E E
00
00
2
2
( 1 )
(sin cos ) sin .
1
e
e
ttt
ε− ε
ω −ωτ ω + ε ω
+ω
τ
E
E
2
22
00
22
( 1)
( sin cos sin )
1
e
e
E
d
tt t
dt
ε− ε
= = ω ω ω +ωτ ω
+ω τ
D
QE
нимать среднее время релаксации ансамбля взаимодействующих диполей.
Чтобы исключить влияние начальных условий и переходных процессов, как и обычно, положим
,
. Если граничный режим действует достаточно долго, то благодаря трению, присущему всякой
реальной физической системе, влияние начальных данных
с течением времени ослабевает. Таким образом, естественно приходим к задаче без начальных условий:
,
. (2.36)
Рассмотрим случай гармонического поля
тогда, используя (2.36), имеем для вектора электрической
индукции
(2.37)
Вектор электрической индукции в сущности представляет собой сумму двух совершенно различных физических
величин: напряженности поля и поляризации единицы объема среды.
Если изменение плотности вещества мало, из формулы
(2.33) для локального мгновенного тепловыделения получим за счет действия только электрической составляющей
поля
, (2.38)
,
тогда запишем среднее значение Q за полный период Т:
189
2
22
00
22
( 1)
1
/ 2.
2
1
e
e
ε− ε
= ωτ +λ
+ωτ
E
QE
ω→∞
ì0
()
() ()
dt
tt
dt
+ τ = µµ
I
IH
2
пр 0
2
j
e
tt
t
∂∂ ∂
+ε + +τ =∇×
∂∂
∂
EP P
H
2
0ì
2
tt
t
∂∂∂
µ + + τ = −∇ ×
∂∂
∂
HII
E
()
() , ()
it it
re re
ω ω +Φ
==EE HH
( )/
0
00
0
0
( 1)
()
( 1)
.
1
e
t
t
it
e
e
re e d
i
− −τ τ
ω
−∞
ε− ε
=ε + =ε + τ=
τ
ε− ε
+ε
+ ωτ
∫
D EP E E
EE
(2.39)
При больших частотах (
) тепловыделение перестает зависеть от частоты, что согласуется с формулой
(2.39) и экспериментом [5].
При использовании уравнения релаксации для электрического поля необходимо учитывать и запаздывание магнитного поля, когда магнитная поляризация отстает от изменения напряженности внешнего магнитного поля:
. (2.40)
Для учета релаксационных эффектов с использованием
материальных уравнений (2.34), (2.40) следует в общем случае векторы электрической и магнитной поляризации включать в уравнения поля
, (2.41)
и определять E и H из решения системы уравнений (2.41),
(2.34), (2.40).
Рассмотрим случай, когда электрическое и магнитное
поля имеют вид
, где Ф – про-
извольная фаза. В диссипативной среде, как известно, изменения E и H происходят со сдвигом фазы.
Для вектора электрической индукции имеем
(2.42)
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]