Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
Простейшая замкнутая электрическая цепь, состоящая
1 2 12
ТТ Т
ba b
Т
ТТ Т
аb а
dT dT dTε =− α − α = α
∫∫ ∫
из двух разнородных проводников (или полупроводников)
1 и 2, является термоэлементом, или термопарой. Если Та
и Т
– температуры спаев а и b термоэлемента, то ЭДС
b
, (3.5)
где α
– удельная дифференциальная термоэлектродвижу-
12
щая сила, α12 = dεт/dТ. Если интервал Тb – Та невелик, то
α12 – постоянная величина и
ε
Отметим, что α
= α12(Тb – Та). (3.6)
т
может быть разного знака. Если в раз-
12
рыв одной из ветвей термоэлемента включить последовательно любое число проводников другого состава, все спаи
которых термостатированы, то термоЭДС в такой цепи будет равна термоЭДС исходного термоэлемента.
Явление Зеебека обусловлено тремя причинами:
а) преимущественной диффузией носителей тока в проводнике или полупроводнике от нагретого конца к холодному;
б) зависимостью контактной разности потенциалов от
температуры, связанной с зависимостью химического потенциала µ от температуры;
в) увлечением электронов фононами, которые преимущественно перемещаются от горячего конца проводника
к холодному и взаимодействуют с электронами (фононная
составляющая термоЭДС).
В металлах механизмом теплопроводности является передача энергии электронами проводимости. В кристаллических диэлектриках основную роль играет передача энергии
связанных колебаний узлов решетки. В первом приближении этот процесс можно представить в виде распространения в кристалле набора гармонических упругих волн с различными частотами νi. В квантовой теории этим волнам
сопоставляются квазичастицы (фононы) с энергиями hνi.
71
В полупроводниках концентрация носителей тока (электронов проводимости и дырок) значительно меньше, чем
в металлах, но с повышением температуры полупроводника
увеличивается концентрация носителей тока и, что особенно
существенно, возрастает их скорость теплового движения и,
следовательно, удельная термоЭДС α12.
Полупроводниковые термоэлементы используют для
прямого преобразования внутренней энергии в электрическую.
Явлением Пельтье называют выделение или поглощение (в зависимости от направления тока) теплоты, избыточной по сравнению с джоулевой и называемой теплотой
Пельтье, возникающее в спае разнородных материалов при
прохождении через спай постоянного электрического тока.
На поверхности контакта двух проводников электрохимический потенциал (µ – еϕ), температура Т и нормальные
составляющие плотности потока энергии и плотности тока j
постоянны. Поэтому при прохождении постоянного тока I из
первого проводника во второй на поверхности контакта за
промежуток времени t выделяется (или поглощается) теплота
Пельтье: Q
= П12It = П12q, где П2 = П1 – П2 = –α12Т и q = It.
Π
В отличие от джоулевой теплоты, пропорциональной квадрату силы тока и всегда выделяющейся в проводнике, теплота Пельтье пропорциональна первой степени силы тока, а ее
знак зависит от направления тока в спае. Если ток в спае идет
из проводника с бóльшим значением коэффициента Пельтье
в проводник с меньшим значением коэффициента Пельтье
> П2 и П12 > 0), то QΠ > 0, т. е. теплота Пельтье выделяется
(П
1
в спае. При противоположном направлении тока через спай
Q
< 0, таким образом, теплота Пельтье поглощается в спае.
Π
Явление Пельтье обусловлено тем, что в разнородных
проводниках или полупроводниках, находящихся в контакте, значения ω
и ω2 средней энергии подвижных заря-
1
дов, участвующих в образовании тока, не равны друг другу. Пусть, например, ω
> ω2 и ток имеет такое направле-
1
ние, что носители тока переходят через поверхность
72
контакта из 1-го проводника во 2-й. Во 2-м проводнике но-
2
Т
1
div div ( grad ) ( , grad )KT j Tω =− = + +τ
γ
uj
сители тока, перешедшие из 1-го проводника, имеют энергию, превышающую ту, которая соответствует термодинамическому равновесию между носителями тока и узлами
кристаллической решетки. Поэтому, сталкиваясь с узлами
кристаллической решетки 2-го проводника, носители тока
передают им избыток своей энергии, вызывая нагревание
проводника. Этот процесс происходит в очень тонком слое
2-го проводника, прилегающем к поверхности контакта,
т. е. проявляется в нагревании спая. Если при тех же условиях ток в спае имеет противоположное направление, то носители тока переходят из 2-го проводника в 1-й, имея энергию,
меньшую равновесной в 1-м проводнике. Сталкиваясь с узлами кристаллической решетки 1-го проводника, носители
тока получают энергию, недостающую им до равновесной.
Следовательно, в этом случае спай должен охлаждаться.
Явление Пельтье обратно явлению Зеебека. При прохождении термотока в цепи термоэлемента в горячем спае
теплота Пельтье поглощается, а в холодном выделяется.
Поэтому в полном согласии со вторым началом термодинамики для поддержания постоянного термотока необходимо
к горячему спаю термоэлемента непрерывно подводить извне теплоту, а от холодного спая непрерывно отводить теплоту. Явление Пельтье в полупроводниках используют
для создания достаточно экономичных и производительных холодильных установок.
Явлением Томсона называют выделение (или поглощение) теплоты, избыточной по сравнению с джоулевой, при
прохождении постоянного тока по неравномерно нагретому однородному проводнику или полупроводнику. Из выражений для плотности потока энергии и плотности тока j
следует, что за единицу времени в единице объема проводника выделяется количество теплоты
,
73
где τ – коэффициент Томсона, связанный с удельной термо-
d du
T
dT dT
Π
τ=− −α=−
Т
( , grad )Tω =τj
т
dT dT
dQ It d q d
dd
=τ =τ
ЭДС α проводника и коэффициентом Пельтье Π первым
соотношением Томсона:
.
За единицу времени в единице объема проводника выделяется теплота Томсона:
Знак ω
зависит от направления тока: при τ > 0 значение
Т
.
ωТ > 0, если ток в проводнике идет от холодного его конца
к нагретому, и ωТ < 0 при обратном направлении тока.
В участке проводника длиной d за промежуток времени t выделяется теплота Томсона:
,
где q = It – заряд, проходящий за время t через поперечное
сечение проводника, а производная dT/d > 0, если ток идет
в направлении возрастания температуры проводника.
Явление Томсона связано с тем, что в более нагретой
части проводника средняя энергия носителей тока больше,
чем в менее нагретой. В случае перемещения носителей
тока в направлении убывания температуры они отдают избыток своей энергии кристаллической решетке проводника, т. е. теплота Томсона выделяется: dQ
> 0. Если носите-
Т
ли тока движутся в противоположном направлении, свою
энергию они пополняют за счет энергии кристаллической
решетки, т. е. теплота Томсона поглощается: dQТ < 0. Таким образом, для проводников и полупроводников, обладающих электронной проводимостью, коэффициент Томсона
τ > 0, а для проводников и полупроводников, обладающих
дырочной проводимостью, τ < 0.
74
Глава 4
[]
ì
q=F vB
[ ]
ì
qq=+F E vB
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
4.1. Сила Лоренца
Из опыта известно, что сила F, действующая на точеч-
ный заряд q, зависит не только от его положения, но и от
скорости v, поэтому силу F разделяют на электрическую F
и магнитную Fм составляющие. Свойства магнитной силы
можно описать, если ввести понятие магнитного поля.
Магнитным полем называют одну из форм проявления
электромагнитного поля, особенность которой состоит в том,
что это поле действует только на движущиеся частицы
и тела, обладающие электрическим зарядом, а также на намагниченные тела. Характеризуя это поле вектором B, запишем выражение для магнитной силы:
e
тогда полная электромагнитная сила примет вид
Сила F
Лоренца не совершает работы, так как она перпендикулярна вектору v. Вектор B характеризует силовое действие маг-
нитного поля на движущийся заряд и, следовательно, является в этом отношении аналогом вектора E.
Разработан ряд способов измерения В, большинство из
которых базируется именно на уравнении (4.2). Магнитная
составляющая силы Лоренца зависит от системы координат. В системе координат, расположенной на движущемся
заряде (система отсчета Лагранжа), Fм = 0, так как v = 0.
; (4.1)
. (4.2)
и есть сила Лоренца; если v = 0, то Fм = 0. Сила
м
75
В однородном магнитном поле, перпендикулярном к на-
m
rq=
v
B
2 m
Т
q
π
=
В
sin
2
, cos
mm
rh
q Bq
α
π
==α
v
v
B
0
3
[]
4
q
r
µ
=
π
vr
В
/ сr
правлению скорости движущейся заряженной частицы, последняя под действием силы Лоренца движется по окружности с постоянным радиусом r в плоскости, перпендикулярной к вектору В:
. (4.3)
Период обращения заряженной частицы
. (4.4)
Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле и вектор v ее скорости составляет угол α с
вектором В, то траектория такой частицы – винтовая линия
с радиусом витков r и шагом винта h:
. (4.5)
4.2. Магнитное поле
равномерно движущегося заряда
В результате обобщения экспериментальных данных
установлен закон, согласно которому
, (4.6)
– магнитная постоянная: µ0 = 4π⋅10-7 Гн/м; r – радиус-
где µ
0
вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения, которая неподвижна.
Формула (4.6) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, малым настолько, что за время
скорость v заряда заметно не меняется. Величина B – магнитная индукция, единица измерения – тесла (Тл) – названа
76
в честь уроженца Черногории Николы Теслы, который внес
[ ] [ ]
2
00
/с=ε µ =В vЕ vЕ
00
1/с = εµ
0
3
[]4dV
d
r
µ
=
π
jr
В
выдающийся вклад в развитие электротехники − создание
двигателей переменного тока. Учитывая тот факт, что электрическое поле точечного заряда, движущегося с нерелятивистской скоростью, обратно пропорционально квадрату
расстояния, получаем
, (4.7)
где с – электродинамическая постоянная (скорость света
в вакууме):
.
4.3. Закон Био – Савара для постоянных токов
Принцип суперпозиции. Для магнитного поля, как
и для электрического, справедлив принцип суперпозиции:
магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися
зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных
полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности.
Закон Био – Савара – Лапласа. Рассмотрим вопрос
о нахождении магнитного поля, образуемого постоянными
электрическими токами. Закон Био – Савара – Лапласа
устанавливает величину и направление вектора магнитной
индукции dB в произвольной точке С магнитного поля, создаваемого в вакууме элементом проводника d с током I.
Этот вопрос будем решать исходя из закона (4.6), определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (4.6) вместо q заряд ρdV, где dV –
элементарный объем, ρ – объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, но ρv = j, следовательно, (4.6)
имеет вид
. (4.8)
77
Для тонкого провода с сечением ∆S получим
0
3
[ ,]
4
d
d
r
µ
=
π
Ir
В
0
3
[]4dV
r
µ
=
π
∫
jr
В
0
3
[ ,]
4
d
r
µ
=
π
∫
Ir
В
0d =
∫
ВS
jdV = j∆Sd = Id ,
где d – элемент длины провода (вектор в направлении
тока); векторы jdV и Id – объемный и линейный элементы
тока. Для линейного элемента тока, согласно (4.8),
. (4.9)
Формулы (4.8), (4.9) и выражают закон Био – Савара –
Лапласа.
Полное поле В в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений
(4.8) и (4.9) по всем элементам тока:
,
Вектор dВ перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы d и r, и направлен таким образом, чтобы из
его конца кратчайшее вращение вектора d до совмещения
с вектором r казалось происходящим против часовой стрелки.
4.4. Основные законы магнитного поля
4.4.1. Теорема Гаусса для поля B. Магнитный поток
Поток вектора B сквозь любую замкнутую поверхность
равен нулю:
.
(4.11)
Данная теория является обобщением опыта. Она отражает
экспериментальный факт, что линии B не имеют ни начала,
ни конца, поэтому число линий вектора B, выходящих из
любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S,
всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
78
. (4.10)
cosnBSΦ= α=BS
Рис. 4.1
Эту теорему можно представить в более удобном виде,
если ввести понятие магнитного потока.
Рассмотрим сначала плоскую площадку S (рис. 4.1) [1],
находящуюся в однородном магнитном поле с индукцией
B. Магнитным потоком, или потоком вектора магнитной
индукции сквозь площадку, называют величину
. (4.12)
Здесь α – угол между направлением нормали n к площадке
и направлением индукции B; В
– проекция вектора B на
n
нормаль n. Скалярный магнитный поток Φ равен полному
числу линий магнитной индукции, проходящих через данную поверхность. Если выражать В в Тл, а S в м2, то Φ из-
меряется в веберах (Вб).
Из теоремы Гаусса вытекает важное следствие: поток
вектора B сквозь поверхность S, ограниченную некоторым
замкнутым контуром (замкнутая поверхность), не зависит
от формы поверхности S. Согласно закону Гаусса, в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы и заканчивались линии вектора B, т. е. магнитное поле не имеет
источников в отличие от электрического поля.
Теорема Гаусса для поля B в дифференциальной форме
имеет вид
, (4.13)
т. е. дивергенция поля B везде равна нулю, а значит, магнитное поле не имеет источников. Магнитное поле порождает не магнитные заряды, а электрические токи.
79
Закон (4.13) является фундаментальным: он спра-
∫
В
Id=∫jS
∫
В
0 n
j dSµ
∫
ведлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.
4.4.2. Теорема о циркуляции вектора B
Циркуляция вектора B по произвольному контуру
Г равна произведению µ
на алгебраическую сумму
0
токов, охватываемых контуром Г:
где I = ΣI
тается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Теорема о циркуляции может быть доказана исходя из
закона Био–Савара–Лапласа, однако приводить его не будем, а рассмотрим (4.14) как постулат, подтвержденный экспериментально.
Если ток I распределен по объему, где расположен контур Г неравномерно, то его можно представить как
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S,
натянутой на контур Г. Плотность тока j под интегралом
соответствует точке, где расположена площадка dS, причем
вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему
Если циркуляция вектора B не равна нулю, то поле B не
потенциально и называется вихревым, или соленоидальным, и для него в общем случае нельзя приписать скалярный потенциал, так как при каждом обходе по контуру он
получал бы приращение µ
, причем Iк – величины алгебраические. Ток счи-
к
d = µ0I, (4.14)
. (4.15)
d =
I.
0
. (4.16)
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]