Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 8. Распределение нескольких видов ресурсов в иерархической системе
81
Второй шаг делают Подчиненные, выбирая возможный потенциал ti
ресурсов, требуемых для максимизации их целевых функций, т. е. решают
задачу:
ti [0; Di*].
Здесь ti = Di*, так как Ji(ti) пропорционально ti и все bi неотрицательны.
Итак, Di* – равновесие по Нэшу.
По данному вектору находится количество ресурсов, необходимое i-му
Подчиненному.
, i = 1, … , n; j = 1, …, m,
что и является оптимальным распределением. Выигрыш i-го Подчинен-
ного:
, а выигрыш Центра равен:
.
2. «Контрактная» постановка.
Будем считать, что Центр не только распределяет ресурсы между Агентами, но и продает их им, получая с продажи ресурсов прибыль. Тогда требуется найти равновесие по Нэшу в игре:
, (8.7)
(8.8)
, (8.9)
Здесь
– цена за единицу j-го ресурса, назначенная i-му Подчинен-
ному. Центр делает первый ход, выбирая величины индивидуальных ограничений Di и сообщая их Подчиненным. При выборе ограничивающих величин Центр решает следующую задачу линейного программирования:
,
, D
i
0.
Пусть Di* – решение Центра об ограничениях потенциала i-му Подчиненному, которое находится в результате решения задачи линейного программирования.
Второй шаг делают Подчиненные, выбирая возможный потенциал ti ресурсов, требуемых для максимизации их целевых функций, т. е. решают
задачу:
t
i
[0; Di*].
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
82
Здесь
противнослучае
Иначе говоря, чтобы i-й Подчиненный приобрел за плату желаемое
Центром количество ресурсов, нужно, чтобы цены на ресурсы удовлетворяли соотношению
, иначе он ресурсы приобретать не
будет.
По данному вектору находится количество ресурсов, необходимое i-му
Подчиненному:
, i = 1, …, n; j = 1, …, m,
что и является оптимальным распределением ресурсов в данной постановке.
Выигрыш i-го Подчиненного:
, а выигрыш
Центра:
.
3. «Корыстная постановка».
Будем считать, что в данной постановке Центр часть ресурсов остав-
ляет себе на собственные нужды. Задача имеет следующий вид:
,
,
, .
В данном случае сначала задача сводится к задаче с (n + 1)-м Под-
чиненным. Для этого введем фиктивного Подчиненного, которым яв-
ляется Центр, введя соответствующие обозначения: ,
,
, j = 1, …, m. В этом случае задача распределения ре-
сурсов имеет вид:
,
,
, .
Глава 8. Распределение нескольких видов ресурсов в иерархической системе
83
Центр делает первый ход, выбирая величины Di и сообщая их Подчиненным. При выборе ограничивающих величин Центр решает следующую
задачу:
,
, D
i
0.
Пусть Di* – решение Центра об ограничениях потенциала i-му Подчиненному.
Второй шаг делают Подчиненные, выбирая возможный потенциал ti ресурсов, требуемых для максимизации их целевых функций, т. е. решают задачу:
ti [0; Di*].
Здесь ti = Di*, так как Ji(ti) пропорционально ti и все bi неотрицательны.
Итак, Di * – равновесие по Нэшу.
По данному вектору находится количество ресурсов, необходимое i-му
Подчиненному.
, i = 0, … , n; j = 1, …, m,
что и является оптимальным распределением.
Выигрыш i-го Подчиненного:
, а выигрыш Центра равен
.
В моделях с несколькими ресурсами по найденному Потенциалу ti по
формулам
находится оптимальное количество j-го ресурса
для i-го Подчиненного. Но это соотношение должно выполняться только
для дефицитных ресурсов, для недефицитных ресурсов соотношение
необязательно должно обращаться в равенство, хотя с точки
зрения экономики невыгодно давать i-му Подчиненному количество не-
дефицитных ресурсов больше величины так как прибыль от этого
не увеличится. Прибыль зависит только от величины
. А одна из задач
экономики – экономия количества ресурсов. Хотя, чтобы остаться верными условию
, можно остаток k-го недефицитного ресурса
распределить между всеми Подчиненными, напри-
мер, поровну:
, но это никак не отразится ни на выигрыше
Центра, ни на выигрышах Подчиненных. Поэтому лучше избыток этого
ресурса оставить до следующего распределения ресурсов в следующем
производственном цикле.
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
84
Рассмотрим пример. Пусть Центр распределяет три ресурса
между двумя Подчиненными. Запасы первого вида ресурса: R1 = 80,
R2 = 40, R3 = 70. Цена на продукцию первого Подчиненного равна 8 усл.
ден. ед. за единицу продукции, а цена на продукцию второго Подчиненного равна 4 усл. ден. ед. за единицу продукции. Затраты ресурсов
первого Подчиненного на выпуск единицы продукции: a
11
= 1, a
12
= 5,
a
13
= 8, затраты ресурсов второго Подчиненного соответственно равны
a
21
= 5, a
22
= 1, a
23
= 1. Найти оптимальное распределение каждого
ресурса между двумя подчиненными в согласованной постановке, если
производственная функция является функцией с постоянными пропорциями.
Задача выглядит следующим образом:
,
при
,
,
.
Введем обозначения
,
. Это
количество единиц продукции, выпущенной соответствующим Подчи-
ненным. Тогда , , , , ,
.
Отсюда задача сводится к задаче линейного программирования:
, (8.10)
при
, (8.11)
, (8.12)
. (8.13)
(8.14)
Решить ее можно симплекс-методом, но можно и графически, так как
у нас имеется всего двое Подчиненных. Начертим область (8.11) – (8.14),
обозначим ее штриховкой на рис. 8.1, из которого видно, что третий ресурс
является избыточным. Нанесем вектор-градиент целевой функции (для
удобства нанесения умножим его предварительно на 10). И проведем линии, перпендикулярные ему (линии уровня) в его направлении до тех пор,
пока мы не определим линию, последний раз пересекающую область. Она
Глава 8. Распределение нескольких видов ресурсов в иерархической системе
85
обозначена пунктиром с точкой. Далее следует определить точку пересечения этой линии с жирной границей области, которая и будет решением
задачи (8.10) – (8.14).
Рис. 8.1. Графическое решение задачи (8.10) – (8.14)
Найдем эту точку. Она лежит на пересечении первой и второй прямых,
поэтому найдем ее из системы:
,
.
Решением этой системы будет точка:
, .
То есть Центру в данных условиях выгодно, чтобы первый Подчинен-
ный произвел 5 единиц продукции (и получил доход 40 усл. ден. ед .),
а второй – 15 единиц продукции (и получил доход 60 усл. ден. ед.). Таким
образом, суммарный производственный эффект – 100 усл. ден. ед., и он
является максимальным. При этом первый и второй ресурсы являются дефицитными, именно они определяют количество произведенной продукции и расходуются полностью. Проверим это. Найдем величины ресурсов
по формулам: , , , , ,
.
Первый ресурс распределяется между подчиненными следующим об-
разом: , , т. е. первый ресурс действительно
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
86
расходуется полностью. Аналогично распределяется второй ресурс:
, , он также распределяется полностью. Третий же ресурс распределяется в количествах , ,
т. е. 70 – 40 – 15 = 15 единиц остаются в избытке.
Зад а ния
Найти оптимальное распределение ресурсов, выигрыши участников
и излишки недефицитных ресурсов в условиях своего варианта:
Количество Подчиненных n = 2;
Количество видов ресурсов m = 3.
Вариант
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
Запасы ресурсов:
R1
R2
R3
80
10
90
40
70
60
80
50
70
20
50
50
10
40
30
80
60
80
40
70
40
90
40
70
60
80
50
70
20
50
50
10
40
30
80
60
Цена продукции:
b1
b2
4
8
5
5
5
7
8
8
7
10
9
6
9
1
7
8
8
7
10
9
6
9
1
7
Потребности
в ресурсах
на единицу
продукции
первого
Подчиненного:
a11
a12
a13
второго
Подчиненного:
a21
a22
a23
8
5
2
4
10
6
9
8
9
4
2
6
4
1
4
2
2
8
7
4
2
10
6
7
7
3
9
2
9
3
6
1
5
1
5
1
8
1
2
1
7
8
5
2
9
6
4
2
8
9
4
8
10
6
1
4
7
7
2
9
4
2
7
3
1
5
3
9
6
1
1
7
87
МО Д УЛ Ь 3
МО Д ЕЛ И С Т ИМ У ЛИ Р ОВ А Н И Я
В О РГ А НИ З АЦ И ОН Н ЫХ СИ С Т Е М А Х
В модуле 2 мы исследовали модели распределения ресурсов типа
«энергия», которые являются однородными, тратятся в процессе производственного цикла, не возобновляются. Примером такого вида ресурсов
являются финансы. В этом модуле мы рассмотрим распределение ресурсов
между работодателем и работником, а также задачу формирования и оптимизации состава организационных систем, т. е. опишем проблемы организации трудовых ресурсов, представителем которых является человек. Материал данного модуля подробно освещен в научных монографиях представителей теории организационных систем [Новиков, 2007], которая
основывается на результатах теории активных систем [Бурков, Кондратьев,
1981]. Напомним, что вся эта теория основывается на принципе «Человек
жаден, лжив, ленив» [Бурков, 1989].
Прокомментируем данный принцип. Представители данного направле-
ния считают и обосновывают, что если бы человек не был бы жаден и ленив, то прогресс бы остановился, так как человека бы устраивала текущая
ситуация. Иными словами, не было бы технического прогресса, облегчающего физический труд человека, не развилась бы экономика, так как люди
бы не стремились к повышению уровня и качества жизни. То есть лень
и жадность – двигатели прогресса человека, без этих двух качеств человечество бы в своем нынешнем виде не сформировалось бы. К сожалению, следствием лени и жадности является ложь. Проявляется она в том,
что человеку для получения прибыли приходится либо много и усердно
трудиться (но тогда нужно побороть лень), либо притвориться много
и усердно работающим. И если лень и жадность способствуют развитию
общества, то ложь тормозит развитие общества. Одним из направлений
теории активных систем является теория неманипулируемых механизмов,
которая занимается построением таких механизмов управления, при которых субъекту «врать» невыгодно. С примером одного из таких механизмов
мы познакомились в главе 4.
Здесь же мы рассмотрим основные результаты теории управления ор-
ганизационными системами (ТУОС).
Модуль 3. Модели стимулирования в организационных системах
88
Гл а ва 9. За д ач а с т и му л ир о ва н ия
в о рг а ни з ац и о н н ы х с ис т ем а х
9.1. Задача стимулирования в теории управления
Организация (организационная система) – это «объединение людей,
совместно реализующих некоторую программу или цель и действующих
на основе определенных процедур и правил» [Новиков, 2007]. Механизм
функционирования организационной системы – «совокупность процедур,
правил и т. д., регламентирующих взаимодействие участников организационной системы (ОС)» [Там же]. На деятельность каждого субъекта оказывают влияние условия, в которых он находится. Что касается трудовой
деятельности, условия участника трудовых отношений делятся на ограничивающие и побуждающие. Ограничивать условия деятельности субъекта
могут государство, пол, религия, нация, здоровье, физические характеристики, сословие, организация. Ограничивающие условия могут быть выражены в виде официальных документов (закон, устав), а могут быть негласными (принято или не принято, осуждается или не осуждается, приветствуется или не приветствуется в определенной среде, куда входит
субъект). Ограничивающие условия носят всеобщий для данной группы
субъектов характер, чего нельзя сказать о побуждающих условиях, которые невозможно распространить на всех участников трудовых отношений, потому как различные субъекты имеют различные цели, приоритеты
и ценности.
Цель побуждающих условий – целенаправленное побуждение субъекта
к совершению определенных действий. И каждый субъект стремится выбрать действие, максимально соответствующее его целям, но непротиворечащее его ограничивающим условиям.
Мы в данном модуле рассмотрим только модели индивидуального
стимулирования, т. е. при стимулировании субъекта во внимание берутся
только показатели труда, зависящие только от субъекта (индивидуальным
называется стимулирование Агента за показатели, зависящие лишь от
него самого). Конечно, теория управления организационными системами
рассматривает не только модели индивидуального стимулирования, но
и модели стимулирования за результаты коллективной деятельности или
модели стимулирования за действия всех Агентов.
Глава 9. Задача стимулирования в организационных системах
89
Рассмотрим базовую модель стимулирования, описанную и исследо-
ванную представителями теории управления [Новиков, 2007]. Так как мы
рассматриваем индивидуальное стимулирование, то будем считать, что организационная система состоит из одного управляющего органа на верхнем уровне – Центра и одного управляемого субъекта на нижнем уровне –
Агента. Оба участника считаются активными, т. е. они сами принимают
решение. Что это означает? Они сами формулируют свои цели, сами определяют действие, которое наиболее подходит для реализации их действий,
сами его (действие) выбирают и реализуют. Предположение активности
в данном случае – важный фактор. Приведем примеры неактивных систем.
Техническая система – не активная. Машины и оборудование не ставят
собственные цели, за них это делает человек. Ребенок до определенного
возраста не ставит собственные цели, за него это делают родители. Ребенок постарше (до 18 лет) может ставить себе цели, но не всегда может
определить и реализовать действие в соответствии с этой целью. Животные… Свободные животные сами выбирают действие и даже реализуют
его. Но цели они также не формулируют, а действуют инстинктивно. За
них это делает природа. В случае же физически и психически здорового
свободного человека можно говорить о том, что он сам может выбирать,
что и как ему делать и в каких случаях.
Стратегией Агента является выбор действия y, принадлежащего мно-
жеству допустимых действий A. Примеры действий Агента: количество
отрабатываемых часов, отрабатываемых смен, объем произведенной
продукции, количество обслуженных клиентов и др. Множество допустимых действий Агента включает все возможные варианты, из которых
он производит свой выбор. Например, диапазон возможной продолжительности рабочего времени, неотрицательный и не превышающий технологические ограничения объем производства, уровень качества продукции и т. д.
Центр выбирает механизм стимулирования Агента s(y) – правило принятия решений о стимулировании Агента. Выбранный механизм стимулирования является стратегией Центра. Функция s: A → R+ ставит в соответствие каждому действию Агента неотрицательное вознаграждение. Выполнение действия y € A требует от Агента затрат c(y) и приносит Центру
доход H(y). Затраты в данном случае могут представлять выраженные
Модуль 3. Модели стимулирования в организационных системах
90
в денежном эквиваленте расходы на проезд, затраты энергии, компенсация
за уменьшение свободного времени, питание (рацион физически работающего человека отличается от рациона неработающего), одежду (дресс-код,
деловой стиль), наем вспомогательного персонала (няня, домработница,
сиделка), моральные затраты (удовлетворенность работой) и т. д. Функцию затрат Агента c(y) и функцию дохода Центра H(y) будем считать известными.
Интересы Агента выражены целевой функцией, представляющую собой разность между стимулированием (вспомним про «жадность») и затратами («лень»):
f(y) = s(y) – c(y).
Из целевой функции Агента видно, что вознаграждение со стороны
Центра должно как минимум компенсировать затраты Агента.
Интересы Центра выражены разностью между доходом («жадность»)
и затратами Центра на стимулирование («жадность») – вознаграждением,
выплачиваемым Агенту:
F(y) = H(y) – s(y).
Данная модель является иерархической игрой двух лиц в нормальной
форме.
Введем следующие предположения.
Во-первых, множество возможных действий Агента составляет положительную полуось, где нулевое действие соответствует отказу Агента от
работы.
Во-вторых, функция затрат Агента не убывает (выбор больших действий
требует от Агента не меньших затрат), непрерывна, затраты от выбора нулевого действия равны нулю.
В-третьих, функция дохода Центра непрерывна, неотрицательна, и доход Центра в случае отказа Агента от участия в ОС (выборе последним
нулевого действия) равен нулю.
Примем гипотезу рационального поведения участников ОС [Бурков,
Кондратьев, 1981], т. е. субъект с учетом доступной ему информации максимизации выбирает свою стратегию таким образом, чтобы его целевая
функция достигла максимума.
Будем считать, что рассматриваемая модель – игра с полной информацией, т. е. на момент принятия решения (выбора стратегии) участникам ОС
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]