Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 2. Общая задача распределения ресурсов. Эффективное и справедливое…
21
Матричная система состоит из нескольких элементов верхнего уровня
и нескольких элементов нижнего уровня. Каждый подчиненный может
иметь несколько начальников; каждый начальник может иметь несколько
подчиненных элементов (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Матричная система
Некоторые системы являются смешанными, например система на рис. 2.6
является смешанной системой веерного и матричного типов.
Рис. 2.6. Смешанная система
Перейдем к обзору научных трудов и результатов теории справедливого разделения. Основоположниками этой теории стали Эрве Мулен
и Вильям Томсон [Moulin, 2003; Moulin, Thomson, 1988; Thomson, 2005].
В отличие от ученых-экономистов, которые основываются на понятиях полезности и потребностях индивидуума, основоположники справедливого
распределения основывались на вкусах или желаниях участников. В качестве ресурсов или блага понимается общая собственность (найденный
клад, имущество после принятия наследства или развода супругов). Считается, что Агенты имеют одинаковые «права», и никакой индивидуальной
Модуль 1. Элементы теории справедливого и эффективного раздела
22
ответственности за создание ресурсов у них нет, есть только намерение
чистого потребления желаемых товаров в частном порядке, что учитывается в виде индивидуальных предпочтений.
Рассматриваются индивидуальные предпочтения по Эрроу ‒ Дебре
в виде однородных, линейных и дихотомических функций, а также функций Кобба ‒ Дугласа и Леонтьева. Опишем эти предпочтения подробнее.
Пусть имеется n видов ресурсов, причем r1, r2, …, rn – количества ресурсов
каждого вида, распределенных участнику системы.
Предпочтения по Эрроу ‒ Дебре – максимизируется сумма полезностей
от использования каждого ресурса, т. е.
, где
– функция полезности для участника системы от использования i-го
ресурса.
Дихотомические индивидуальные предпочтения – тип предпочтений,
делящих все множество альтернатив на два непересекающихся множества:
«хорошие» и «плохие».
Предпочтения по Коббу ‒ Дугласу выражаются функцией
, причем в случае пред-
почтения называются однородными.
Предпочтения по Леонтьеву – предпочтения в виде функции полезно-
сти, при которой факторы производства использованы в фиксированных
пропорциях, например, при двух видах ресурсов
.
Решением задачи справедливого разделения является разработка одно-
значного, легко применяемого правила разделения, обладающими такими
свойствами, как:
– эффективность (например, оптимальность Парето), обозначается EFF;
− справедливость, которую трудно определить и которая обычно рас-
сматривается в контексте; вариантами справедливости являются равенство
количества распределенных ресурсов участникам системы либо равенство
их функций полезности при распределении ресурсов.
Эти два свойства обязательны для выполнения. Есть еще желательное
для выполнения свойство:
− защищенность от манипулирования (SP), т. е. выражение Агентом
своих истинных предпочтений.
Глава 2. Общая задача распределения ресурсов. Эффективное и справедливое…
23
Это свойство зависит от выполнения следующих двух свойств:
− равное обращение с равными (ETE): при одних и тех же предпочте-
ниях двух Агентов они получают одну и ту же полезность;
– анонимность (ANO): симметричное отношение ко всем игрокам
(имена не имеют значения). На практике имеется в виду, что на разделение
влияют только имеющие отношение к делу параметры. Например, экономические: эластичность выпуска, производственная мощность и т. д.
Для проверки на справедливость используются четыре теста: два однопрофильных и два многопрофильных. Однопрофильный тест требует информацию об одном Агенте. Многопрофильный тест требует информацию
о нескольких Агентах сразу, иногда обо всех.
Два однопрофильных теста:
– тест «Единогласная нижняя граница (ULB)»: полезность Агента
никак не должна быть меньше полезности, которую бы он получил,
если бы все предпочтения были как его собственные при равном отношении. В стандартной модели Эрроу – Дебре единогласная нижняя граница полезности точно соответствует потреблению 1/n-го количества
ресурсов;
− тест «Без зависти (NE)»: Агент не может строго предпочесть долю
другого Агента вместо своей доли.
Доказано, что ETE, ULB и NE не являются логически независимыми:
NE подразумевает ETE, NE подразумевает ULB в модели Эрроу – Дебре
только с двумя Агентами или с линейными предпочтениями при любом
количестве Агентов. Существует также связь между {ETE + SP} и NE.
Два многопрофильных теста включают в себя:
− монотонность по ресурсам (RM): при увеличении размеров дели-
мого блага при прочих равных условиях полезность каждого Агента не
уменьшается;
– монотонность по населению (PM): при добавлении нового Агента при
прочих равных условиях полезность каждого Агента не увеличивается.
Применяется сильная аксиома рациональности:
– согласованность (CSY): когда Агент уходит и забирает свою долю,
назначенную ему, вновь применимое правило назначает одни и те же
доли для задачи с оставшимися Агентами и ресурсами, как и в исходной задаче.
Модуль 1. Элементы теории справедливого и эффективного раздела
24
Следует отметить, что CSY не выражает интуитивную справедли-
вость (в отличие от других свойств и тестов), она просто проверяет, что
«любая часть справедливого разделения справедлива». Это не относится
к ETE, ANO, ULB или NE: каждое свойство из вышеперечисленных само
по себе гарантирует определенный уровень справедливости.
Рассмотрим, какими из данных свойств обладает пропорциональное
распределение ресурсов между n Агентами:
при простейшей функции предпочтения Агентов и количе-
ством распределяемого ресурса в размере R.
Вопросам эффективности мы уделим все оставшиеся главы учебного
пособия, поэтому здесь мы не будем рассматривать вопрос выполнения
этого свойства.
Справедливым данное распределение не является, так как значения
функции полезности при данном распределении у разных Агентов при раз-
личных ai не одинаковы.
Механизм пропорционального распределения не является защищен-
ным от манипулирования, так как участнику системы, у которого коэффициент ai по сравнению с другими участниками достаточно мал, невыгодно
показывать субъекту, распределяющему ресурсы, истинное его значение.
Ему выгодно его завысить.
Свойству ETE данное распределение удовлетворяет, так как при оди-
наковых ai мы получим одинаковые ri. По тем же причинам выполняется
свойство анонимности ANO. В этом случае распределение ресурсов зависит только от его экономической характеристики ai, но не от личных характеристик Агента.
Для проверки выполнения свойства ULB сначала нужно посмотреть,
будут ли все распределения ресурсов одинаковы (т. е. равны R/n), если
у них всех будут одинаковые возможности ai = a. Проверим:
.
Но при различных коэффициентах ai найдутся Агенты с малыми коэффициентами ai, которые получат ресурсов меньше, чем R/n. То есть для
некоторых Агентов не будет выполняться свойство ULB.
Глава 2. Общая задача распределения ресурсов. Эффективное и справедливое…
25
Также не выполняется свойство беззавистности NE, причем для тех же
самых Агентов, так как найдутся Агенты с большим коэффициентом aj, чье
количество ресурсов они предпочтут вместо своего.
Свойство RM выполняется, так как распределение ресурсов, а следовательно, и значение функции полезности возрастают по величине R.
Свойство PM также выполняется, так как чем больше n, тем больше
сумма в знаменателе, тем меньше значение распределения ресурсов,
а значит, и меньше значение функции полезности.
Теперь проверим выполнение свойства CSY. Для этого представим,
что один участник забрал свою часть, проводимую по распределению
. Пусть это – последний по номеру участник. Тогда между
оставшимися n – 1 участниками нужно распределить уже количество ре-
сурсов
, т. е. посмотрим, сколько доста-
нется ресурсов каждому из n – 1 участников, если вместо R единиц ресурса
делится количество
. Применим первоначальное исследуемое пра-
вило пропорциональности для измененных данных, подставляя вместо
R количество
:
,
что совпало с начальным распределением до исключения из него участника с номером n. Следовательно, свойство CSY выполняется.
Кратко приведем результаты исследований представителей теории
справедливого распределения.
Э. Мулен и У. Томсон доказали первый результат невозможности:
справедливость и эффективность компромиссны (невозможны одновременно) [Moulin, 2003; Moulin, Thomson, 1988; Thomson, 2005]).
С. Серисава, Л. Жу доказали второй результат невозможности: справедливость, эффективность и разрешимость в чистых стратегиях компромиссны [Serizava, 2002; Zhou, 1991]. Хотя второй результат следует из первого результата невозможности, он доказывался независимо от первого.
Э. Айзенберг, Чипман и Мур доказали, что «при однородных предпочтениях конкурентное равновесие при равных доходах максимизирует
Модуль 1. Элементы теории справедливого и эффективного раздела
26
функцию полезности Нэша на множестве всех допустимых распределений» [Eisenberg, Gale, 1959].
Также Э. Мулен вместе с А. Богомольной, Е. Яновской и Ф. Сандомир-
ским доказали, что «уравнительный эквивалент ETE исключает свойство
RM при линейных предпочтениях» [Bogomolnaia, Moulin, 2004]. Шуммер
показал, что «при линейных предпочтениях нет защищенного от манипулирования решения» [Shummer, 1997].
Среди прочих работ данного направления можно отметить [Segal-
Halevi, Sziklai, 2015; Li, Xue, 2012; Ghodsi, Zaharia, Hindman, Konwinski,
Shenker, Stoica, 2011].
Зад а ния
Определить, выполняются ли свойства справедливости, ETE, NE, ULB,
SCY, ANO, SM, RM и PM для распределения между n участниками системы
ресурсов ri, если участники системы (Агенты) имеют целевые функции
gi(ri) в соответствии с вариантом. Все параметры (R, ai, α) положительны.
1)
,
.
2)
,
.
3)
,
.
4)
,
.
5)
,
.
6)
,
.
7)
,
.
8)
,
.
9)
,
.
10)
,
.
11)
,
12)
,
.
27
МО Д УЛ Ь 2
МО Д ЕЛ И Р А СП Р ЕД Е Л Е Н И Я Р Е С У Р С О В
В И ЕР А РХ И ЧЕ С КИ Х С И С Т Е М А Х .
ОТ ПР О С Т О Г О К С Л ОЖ Н О М У
Гл а ва 3. За д ач а р а сп р ед е ле н и я р е с у р с о в
в и ер а р х и ч е с к о й с и с те м е у пр а в л ен и я.
Со г ла с о в а н н а я п о с т а но в ка
3.1. Схема распределения ресурсов
Рассмотрим экономическую систему, состоящую из управляющего органа (Центра) и нескольких подчиненных ему предприятий и подразделений (Исполнителей). Центр располагает некоторым ресурсом (например,
деньгами) в количестве R и распределяет его между Исполнителями, каждому из которых достается xi единиц ресурса (i = 1, …, n, где n – число
Исполнителей). Получив свою долю ресурса xi, i-й Исполнитель произво-
дит продукцию в количестве , где
– уже известная нам производ-
ственная функция, связывающая величины затрачиваемых ресурсов и выпускаемой продукции [Курбатов, Угольницкий, 1998]. Структура рассматриваемой системы изображена на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Структура иерархической системы распределения ресурсов
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
28
3.2. Справедливое распределение ресурсов
В качестве производственной функции возьмем
где – параметр, характеризующий производственные возможности
i-го предприятия.
Найдем справедливое распределение ресурсов, при котором значения
целевых функций равны. Для этого нужно решить систему
, i, j = 1, … n,
,
Выразим все
, i = 2, …, n через соответствующую величину любого
Агента, допустим через
.
.
Подставив в последнее уравнение на суммарное количество ресурсов,
получим
,
,
,
.
Соответственно,
. Тогда полезность всех Агентов равна
.
Заметим, что при справедливом разделении ресурсов чем меньше ко-
эффициент производственной мощности Агента, тем больше ресурсов он
получает.
Глава 3. Задача распределения ресурсов в иерархической системе управления…
29
3.3. Эффективное распр еделение ресурсов
Естественно считать, что задачей Центра является максимизация суммарного выпуска продукции
(3.1)
при очевидных ограничениях
, (3.2)
(3.3)
Задача (3.1) – (3.3) представляет собой нелинейную задачу условной
оптимизации и может быть решена методом множителей Лагранжа.
Построим функцию Лагранжа (которая представляет собой сумму целевой функции исходной задачи (3.1) и разности правой и левой части
ограничения (3.2), умноженной на множитель Лагранжа ):
. (3.4)
Метод Лагранжа утверждает, что необходимое условие экстремума
функции (3.1) совпадает с необходимыми условиями экстремума (3.4). Таким образом, нужно решить систему алгебраических уравнений
,
.
Имеем
,
. (3.5)
Откуда
. (3.6)
Подставим полученное в (3.5):
.
Откуда
,
или
.
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
30
Подставим полученное в (3.6), получим
. (3.7)
Это – точка экстремума. Для определения вида точки экстремума
нужно выписать матрицу вторых производных функции L:
.
Полученная матрица отрицательно определена в любой точке x = (x1,
x2, …, xn) с неотрицательными координатами. А следовательно, она отри-
цательно определена и в точке x = (x
1
*
, x
2
*
, …, x
n
*
). Действительно, все
миноры включительно до n-го порядка меняют знак, причем первый минор отрицателен. Следовательно, минор k-го имеет знак (–1)k. Следовательно, полученная точка – точка максимума задачи (3.1) – (3.3).
Это решение допускает естественную экономическую интерпрета-
цию: Центр должен выделять ресурсы пропорционально квадратам пропорциональных мощностей i-го Исполнителя, характеризуемых параметром ri.
Заметим, что при эффективном разделении ресурсов чем больше ко-
эффициент производственной мощности Агента, тем больше ресурсов он
получает, чего нельзя сказать о справедливом распределении. Тогда по-
лезность Агентов равна
.
Ограничение на максимум производства и учет цены
Итак, казалось бы, задача распределения Центром ресурсов для полу-
чения максимального суммарного выпуска продукции решена. Однако более внимательный анализ позволяет обнаружить некоторые тонкости
[Курбатов, Угольницкий, 1998].
Прежде всего напомним, что любая производственная функция
характеризует предельные возможности производства, являясь лишь
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]