Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 17. Административный механизм управления в СОЧИ-модели
181
Во-первых, возможно, существует Агент, имеющий меньше ресурсов,
чем 100 000 руб. Но даже если все Агенты имеют количество ресурсов,
больших заданного q, то все равно задание единой нижней границы, выраженной в абсолютном количестве, нельзя посчитать справедливой, потому что значимость одной и той же границы для различного количества
ресурсов различна. Допустим, три Агента имеют ресурсы в количествах
r1 = 200 000 руб., r2 = 2 000 000 руб., r3 = 105 000 руб. Понятно, что задание
нижней границы q = 100 000 руб. сильно ударит по третьему Агенту, да
и на первого окажет существенное влияние.
Ограничение снизу можно задать не только в абсолютном выражении,
но и в относительном. Например, Принципал может задать долю qi от имеющегося количества ресурсов ri, меньше которой Агент не может тратить
ресурсы на общие цели. Ограничения на выбор Агента при этом 0 < qi < 1,
а на выбор Агента –
. Здесь уже можно задать единую ниж-
нюю границу в виде доли ресурсов, например q = 0,35, меньше которой все
Агенты не могут потратить ресурсы на общие цели. Задание единой доли
более справедливо для Агентов при различных количествах имеющихся
у них ресурсов, так как имеет одинаковую значимость для каждого из них.
В случае применения административного механизма система имеет
структуру, изображенную на рис. 17.1.
Рис. 17.1. Структура моделируемой системы при административном механизме
управления
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
182
Напомним определение согласованного механизма управления.
Определение 1. Механизм управления называется согласованным по
отношению к индексу системной согласованности, если при его применении ИСС = 1.
То есть механизм управления является согласованным, если в результате оптимальной реакции игроков u(q) на его применение модель оказывается системно согласованной.
Итак, рассматривается модель
(17.1)
,
, (17.2)
в которой Принципал назначает долю ресурсов, меньше которой Агент
не может использовать на частные цели.
Утверждение 1. Административный механизм управления в модели
(17.1) – (17.2) обладает слабой согласованностью, если для любого i выполняется одно из двух условий:
либо
При установке Принципалом нижней границы использования ресурсов на общие цели Агенты делятся на три класса: 1) коллективисты – те Агенты, которые добровольно тратят ресурсы на общие
цели; 2) Агенты, которые тратят на общие цели меньше плана Принципала, который пытается препятствовать такому положению вещей,
но у него не хватает на контроль таких Агентов средств; 3) Агенты,
которые готовы на общие цели потратить меньше плана Принципала,
но последний препятствует этому, имея достаточно средств назначить нижнюю границу, которую Агент нарушить не может. Первая
группа в контроле Принципала не нуждается. Вторая – нуждается, но
Принципал не тянет расходы на контроль ее представителей. Третья
Глава 17. Административный механизм управления в СОЧИ-модели
183
группа – единственная, на которую может воздействовать Принципал. Несмотря на это, добиться системной согласованности Принципалу все равно не удается, так как приходится нести затраты на контроль.
Утверждение 2. Слабо согласованный административный механизм
управления в (17.1) – (17.2) обладает свойством ANO, но не обладает
свойством PM.
В качестве функции затрат рекомендуется рассматривать следующие
функции:
1) линейную
для наглядности;
2) квадратичную
α
, так как большинство затрат выра-
жаются квадратичными функциями [Новиков, 2007];
3) гиперболическую
α
, так как, на наш взгляд, она дает
более реалистичную картину, так как при нулевом контроле затрат нет
( ), затраты при увеличении контроля возрастают, а 100 %-й контроль невозможен, т. е.
∞.
Кроме того, будем считать затраты сепарабельными, т. е. общие затраты на контроль Агентов складываются из затрат на контроль каждого
Агента.
.
Учитывая вышесказанное, рассмотрим примеры исследования некоторых СОЧИ-моделей с введением в них административного механизма
управления.
Пример 1. Рассмотрим случай, когда все три вида функций: функция
затрат, функции дохода общей и частной деятельности – являются линейными.
Оптимальная стратегия Агента
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
184
Найдем оптимальную стратегию Центра. Для этого разобьем множе-
ство Агентов на 2 класса: I = {i | ui = qi} и С ={i | ui = ri}. Тогда целевая
функция Принципала выглядит следующим образом:
Так как доход Принципала не зависит от величины qi Агентов-коллек-
тивистов, то здесь принуждение не нужно, т. е. В случае же Агентаиндивидуалиста
α
α
Следовательно,
α
αили
а стратегия Агента
Доход Агента при этом равен:
,
,
.
Доход же Принципала:
Пример 2. Рассмотрим случай, когда функция затрат и функция дохода
общей деятельности являются линейными, а функция частной деятельности является степенной с показателем, меньшим единицы:
Оптимальная стратегия Агента
α
α
α
α
α
α
Глава 17. Административный механизм управления в СОЧИ-модели
185
Аналогичным образом введем множества I и С', подставим в целевую функцию Принципала оптимальные стратегии Агентов в ответ на
известную его стратегию:
.
Так как доход Принципала не зависит от величины qi, назначаемой
Принципалом Агентам-коллективистам, то здесь в принуждении необходимости нет, поэтому будем считать, что Принципал не назначает
нижнюю границу коллективистам, В случае же Агента-индиви-
дуалиста получаем
Следовательно, учитывая условие
, можно выписать оп-
тимальную стратегию Агента
. В силу громоздкости выражения мы
этого делать не будем, предоставим это сделать читателю.
Пример 3. Рассмотрим случай, когда функция затрат и функция
дохода частной деятельности являются линейными, а функция общей деятельности является степенной с показателем, меньшим единицы:
α
(17.3)
Оптимальная стратегия Агента:
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
186
Конкретное выделение ресурсов каждым Агентом аналогично
примеру 2 главы 15. Для этого следует перенумеровать Агентов по
убыванию величин pi / si. В случае, когда после перенумерации
, все Агенты направляют все свои ресурсы на общие
цели, и необходимости в принуждении нет. В случае, когда
, и все Агенты вынуждены потратить на общие цели
лишь минимально возможное количество ресурсов
. В случаях же
α
α
существует Агент k, для которого выполня-
ется условие
α
α
, то
,
,
α
α
.
Найдем оптимальную стратегию Принципала. Как уже упомина-
лось, в случае
α
α
принуждение не нужно.
В случае же
оптимальная реакция Агентов
и задача Принципала
,
,
имеет решение
Здесь min – номер того Агента, у которого сумма величин α
ми-
нимальна.
Это возможно в случае, если
α
α
α
α
или, что равно-
сильно,
.
Глава 17. Административный механизм управления в СОЧИ-модели
187
Если же
α
α
α
α
, то тогда не все Агенты будут вы-
нуждены потратить лишь минимально возможную долю средств на общие цели.
Рассмотрим случай, когда
α
α
. В этом случае
Агенты выделяют ресурсы в соответствии с приведенным алгоритмом,
причем существует Агент l, на котором алгоритм завершается. Целевая
функция Принципала при этом равна:
.
Поскольку от
зависит только последнее слагаемое, то
В силу линейности функции по
получим
α
α
В этом случае должно выполняться условие
. Если же
, а
, то целе-
вая функция Принципала выглядит следующим образом:
α
α
.
Заметим, что в этом случае
, а условия первого порядка для
остальных Агентов дают
Пример 4. Рассмотрим случай, когда функция затрат является квад-
ратичной, а функции дохода общей и частной деятельности – являются
линейными.
(17.4)
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
188
Оптимальная стратегия Агента
Разобьем Агентов
на два класса, подставим реакцию каждого Агента на стратегию Принципала в его целевую функцию, получим задачу
В случае Агента-коллективиста
В случае же Агента-индивидуалиста оптимальная нижняя граница,
назначаемая Принципалом, равна
α
α
α
Следовательно,
αили
α
α
Пример 5. Рассмотрим случай, когда функция затрат является гипер-
болической, а функции дохода общей и частной деятельности являются
линейными.
(17.5)
Оптимальная стратегия Агента не поменялась по сравнению с предыду-
щим случаем, т. е.
Целевая функция Принципала по
сравнению с предыдущим случаем отличается только видом функции затрат:
В случае индивидуалистов стратегия Принципала
Глава 17. Административный механизм управления в СОЧИ-модели
189
Следовательно,
Пример 6. Рассмотрим модель, когда функция затрат на контроль обратно-пропорциональная, функция доходов от частной деятельности – степенная с показателем, меньшим единицы, функция доходов от общей деятельности – линейная.
α
(17.6)
Оптимальная стратегия Агента
α
α
α
α
α
α
Найдем оптимальную стратегию Принципала. Для этого разобьем мно-
жество Агентов на 2 класса:
,
.
Тогда целевая функция Принципала выглядит следующим образом:
α
α
α
α
.
Для Агентов из множества I
1
функция по переменной убывает, по-
этому .
Для Агентов из множества I2 величина
при этом ищется как решение
следующей оптимизационной задачи:
.
Условия первого порядка дают
.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
190
Данное уравнение аналитически неразрешимо, но к нему можно при-
менить метод дихотомии, так как производная левой части уравнения
,
,
.
Если , то применим метод дихотомии и существует един-
ственное оптимальное решение ; если же , то оптимальное
.
Зад а ния
Для модели задания, приведенного в главе 16, для функций своего ва-
рианта найти согласованный (или слабо согласованный) административный механизм управления. Параметры модели, участвующие в данном задании, оставить теми же, какие были в предыдущем задании. Заметим, что
параметрами не являются величины, значения которых ищутся в модели,
т. е. qi и ui, i = 1, …, 4. Величины же si в данной постановке считаются
параметрами. Их надо выбрать или взять те же, что брались в задании
в конце главы 15. В качестве расходов Центра на контроль взять линей-
ную функцию с заданным заранее параметром .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]