Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 6. Оптимальное распределение ресурсов в условиях создания коалиций…
61
Дальше решение аналогично решению задачи в главе 5 (при имею-
щемся условии ,
):
(6.5)
при
, j ≠ i,
.
Эффект от создания коалиции
Δ
α
β
α
β
γ
β
γ
β
β
α
β
γ
β
β
–
α
β
α
β
γ
β
β
.
Как видим, вертикальная коалиция уже влияет на поведение участни-
ков системы. В частности, Подчиненный, вступивший в коалицию с Центром, больше ресурсов выделяет на производственные интересы, чем
в случае, если бы он не вступил в коалицию. Да и Центр больше ресурсов
выделяет Подчиненному, вступившему в коалицию с ним, чем в случае,
если бы коалиции не было бы. И хотя Агенты, не вступившие в коалицию
с Центром, не поменяли своего поведения, все равно можно сказать, что
им коалиция Центра с Агентом помешала. Центр выделяет меньше ресурсов Подчиненным, не вступившим в коалицию с ним, чем если бы коалиции не было бы вообще.
Рассмотрим влияние комплексных коалиций на поведение участников
системы. Это – коалиции Центра с несколькими Агентами. Пусть K = {0}L.
По аналогии с предыдущим случаем, получим
(6.6)
при
,
,
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
62
,
.
Эффект от создания коалиции:
.
Здесь Центр в качестве производственных мощностей входящих с ним
в одну коалицию Подчиненных принимает удвоенные величины плюс
фактическую величину мощности при нецелевом использовании ресурсов, за счет чего повышает долю ресурсов, выделенных данным Подчиненным.
Как видно, создание комплексных коалиций влияет на поведение и выигрыш участников системы, причем выводы аналогичны случаю вертикальной коалиции.
Рассмотрим максимальную коалицию, состоящую из всех участников системы – Центра и всех Подчиненных, т. е. K = N. Тогда из (6.6)
получаем
(6.7)
при
,
.
Эффект от создания коалиции:
.
Глава 6. Оптимальное распределение ресурсов в условиях создания коалиций…
63
Теорема 1. В кооперативной игре (6.1) – (6.7) при вектор
Шепли имеет вид:
,
,
l = 1, …, n.
Теорема 2. В кооперативной игре (6.1) – (6.7) при вектор
пропорционального распределения имеет вид
,
.
Зад а ния
Найти выигрыши всех возможных коалиций в случае:
1) отсутствия нецелевого использования ресурсов и у Центра, и у Подчиненных
( ,,
, i = 1, …, n);
2) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Центра, и наличия
нецелевого использования ресурсов у Подчиненных в случае степенных
производственных функций Подчиненных
( , ,
, i = 1, …, n);
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
64
3) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных,
и наличия нецелевого использования ресурсов у Центра в случае степенной производственной функции Центра
( ,,
, i = 1, …, n);
4) наличия нецелевого использования ресурсов и у Подчиненных,
и у Центра в случае степенных производственных функций
(,, , i = 1, …, n);
5) отсутствия нецелевого использования ресурсов и у Центра, и у Под-
чиненных
(,,, i = 1, …, n);
6) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Центра, и наличия
нецелевого использования ресурсов у Подчиненных в случае степенных
производственных функций Подчиненных
(,, , i = 1, …, n);
7) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных,
и наличия нецелевого использования ресурсов у Центра в случае степенной производственной функции Центра
(,, i = 1, …, n);
8) наличия нецелевого использования ресурсов и у Подчиненных,
и у Центра в случае степенных производственных функций
(,, , i = 1, …, n);
9) отсутствия нецелевого использования ресурсов и у Центра, и у Под-
чиненных
(,,
, i = 1, …, n);
10) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Центра, и нали-
чия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных в случае степенных производственных функций Подчиненных
(,
,
, i = 1, …, n);
11) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных,
и наличия нецелевого использования ресурсов у Центра в случае степенной производственной функции Центра
(
,
, i = 1, …, n);
12) наличия нецелевого использования ресурсов и у Подчиненных,
и у Центра в случае степенных производственных функций
(
,
,
i = 1, …, n).
Глава 7. Коррупционное распределение ресурсов в иерархических системах…
65
Гл а ва 7. Ко р ру п ц и о н но е р а сп р ед е ле н ие ре с ур с ов
в и ер а рх и че с к и х с и с т е ма х у п ра в ле н ия
В предыдущих главах мы сформулировали модель распределения
ресурсов в иерархических системах, в которой участники системы
наряду с производственными интересами имеют также и непроизводственные интересы. Но надо вспомнить, что мы рассматриваем систему,
элементом которой является человек. Вспомним постулат, на котором
основана теория активных систем, сформулированный в [Бурков, 1989]:
«Человек жаден, лжив, ленив». В системе, элементами которой являются
люди, возможны неформальные отношения, поэтому имеет смысл ввести в модель такие механизмы, как кооперация участников системы
и коррупция.
Что касается механизма коррупции, то для ранее рассматриваемой
модели имеет смысл исследовать ее по двум причинам. Величина контроля над использованием ресурсов может повлиять на решение, поэтому Подчиненный может пытаться ослабить эту величину, чтобы
обеспечить себе возможность часть ресурсов использовать на непроизводственные интересы. Кроме того, Подчиненный может стремиться побудить Центр выделить ему большее количество ресурсов в ущерб другим Подчиненным.
Учитывая вышесказанное, рассмотрим следующие механизмы кор-
рупции [Горбанева, 2011], где bi – величина взятки Подчиненного
Центру:
1) ri = ri(bi) – коррупция при выделении ресурсов;
2) qi = qi(bi) – коррупция при контроле выполнения общесистемных
требований.
При этом математическая модель распределения ресурсов с учетом
частных интересов Подчиненных выглядит следующим образом. Задача
Центра имеет вид
, (7.1)
, (7.2)
, (7.3)
, (7.4)
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
66
а задача Подчиненного:
, (7.5)
, (7.6)
(7.7)
i 1,...,, (7.8)
где bi – доля выделенного ресурса ri, возвращаемая i-м Подчиненным Центру в качестве взятки;
ri(bi) – доля ресурса (от R), выделяемая i-му Подчиненному Центром;
ui – доля выделенного ресурса (от ri), используемая i-м Подчиненным
для решения общесистемных задач;
qi(bi) – нижняя граница значений ui, контролируемая Центром (доля от ri);
gi(uiri) – выигрыш системы от деятельности i-го Подчиненного;
hi((1 – ui – bi)ri) – выигрыш i-го субъекта от его частной деятельности;
– выигрыш Центра от нецелевого использования ресурсов.
Задачи (7.1) – (7.4) и (7.5) – (7.8) – игра (n + 1)-го лица в нормальной
форме. Стратегиями Центра являются распределение ресурсов в количествах ri и назначение контроля над использованием ресурсов в виде величин
qi. Стратегиями Подчиненных являются следующие величины: доля ре-
сурса ui, направленная на реализацию производственных интересов, и доля
ресурсов bi, возвращаемая Центру в качестве взятки. Центр делает ход первым, сообщая свои стратегии Подчиненным. То есть Центр сообщает Подчиненным количество выделяемых ему ресурсов и процент из них, меньше
которого Подчиненный не может потратить на общие производственные
цели. Подчиненный после этого совершает свой ход, выбирая количество
ресурсов, которые нужно потратить на производственные цели, и выбирая
величину взятки, возвращаемую Центру. Центр, используя право первого
хода и предвидя реакцию Подчиненного на свое решение, может подобрать
свои стратегии таким образом, чтобы максимизировать свой выигрыш.
И q-коррупция, и r-коррупция рассматриваются в двух вариантах: мягкой
коррупции (попустительство) и жесткой коррупции (вымогательство) (табл. 7.1).
В первой ячейке таблицы описан случай, когда Центр назначает нижнюю
границу использования ресурсов подчиненным в общих производственных
целях q0, которую может понизить с увеличением взятки, до нуля. То есть
в случае попустительства при контроле над использованием ресурсов теоретически возможен случай, при котором контроля нет.
Глава 7. Коррупционное распределение ресурсов в иерархических системах…
67
Таблица 7.1
Виды коррупции
Во второй ячейке описан случай, когда Центр назначает Подчинен-
ному нижнюю границу использования ресурсов в производственных целях
в размере 100 %, фактически запрещая последнему использовать какую-то
часть ресурсов на свои частные интересы. Но Подчиненный за взятку может понизить этот контроль, но не менее чем на величину q0. Как видно,
это более жесткий вид коррупции, чем предыдущий.
В третьей ячейке описано попустительство при распределении ресур-
сов, при котором Центр Подчиненному назначает определенное количество ресурсов r0, которое последний может увеличить в обмен на взятку.
В четвертой ячейке описано вымогательство при распределении ресур-
сов, при котором в случае отсутствия взятки Подчиненный вообще не
получает ресурсы. Это более жесткий вид коррупции, чем описанный
в предыдущей ячейке.
Попустительство
Вымогательство
q-коррупция
r-коррупция
попустительство уровня k
q 0 b
q
0
1
q
0 b q
0
1
1
r 0 b
r0+(k – 1)/n
1
r0
1/n
0
b
1
r
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
68
Итак, найдем равновесие в игре по Штакельбергу.
Модель 1. Для начала рассмотрим случай с q-коррупцией в виде попу-
стительства
. В этом случае стратегия Центра – за-
дать начальный уровень величины qi0. Модель приобретает следующий
вид игры (n + 1)-го лица:
, (7.1а)
(7.2а)
(7.3а)
, (7.4а)
( ) ( )
max1 →−−+=
iiiiiiii
rbuhrugJ
, (7.5а)
, (7.6а)
, i = 1, …, n. (7.7а)
Для нахождения равновесия по Штакельбергу сначала найдем опти-
мальную реакцию Подчиненного на выбор стратегии Центра. Для этого
максимизируем целевую функцию Подчиненного. Так как целевая функция Подчиненного зависит от двух его управлений, то нужно взять производные по обеим переменным, приравнять к нулю и решить полученную
систему (это условия первого порядка).
Но целевая функция Агента убывает по величине взятки, поэтому оп-
тимальное bi = 0, и далее задача сводится к ранее рассмотренной задаче
распределения ресурсов в случае отсутствия коррупции. Воспользуемся
уже полученными ранее результатами: при β
, , q
i0
= 1,
а при β
, , q
i0
= 1,
β
β
β
,
где x – любая точка из промежутка (0; 1].
Вывод. В случае коррупции при контроле над использованием ресур-
сов Центр способен добиться того, чтобы Подчиненный все ресурсы тратил лишь на производственные цели. Центр просто лишает возможности
Подчиненных тратить ресурсы на непроизводственные цели, если последний не платит взятку. Взятку же платить Подчиненному невыгодно.
Глава 7. Коррупционное распределение ресурсов в иерархических системах…
69
Модель 2. Рассмотрим распределение ресурсов при вымогательстве
(т. е.
).
Найдем равновесие по Штакельбергу в игре:
, (7.1б)
(7.2б)
(7.3б)
, (7.4б)
max
)1(
→
−−
+
=
n
bbu
h
n
bu
gJ
iii
i
ii
ii
, (7.5б)
, (7.6б)
, i = 1, …, n. (7.7б)
Теорема 1. Пусть функции gi(x), h
i
(x),
являются производственными и 0 < β < 1 – коэффициент отдачи от расширения масштабов производства. Тогда оптимальной стратегией Подчиненного в игре (7.1б) –
(7.7б):
β
β
ℎ
β
.
находитсяметодомдихотомии
Докажем случай, когда нецелевого использования ресурсов у Центра
нет, а у Подчиненных есть (, ℎγβ β , i = 1, … , n),
т. е. модель сводится к виду:
α
β
,
,
α
β
β ,
,
, i = 1, …, n.
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
70
Для решения задачи Подчиненного сформулируем условия первого по-
рядка и при 1 (случай = 1 предоставим рассмотреть читателю), полу-
чим критическую точку
,
α
β
α
β
γ
β
.
Заметим, что 0 < ui 1/2. То есть ситуация неутешительная, так как
в случае вымогательства при распределении ресурсов половина ресурсов
возвращается Подчиненным в качестве взятки, и лишь меньше половины
ресурсов идет на реализацию производственных интересов. А ведь у Подчиненного еще есть и непроизводственные интересы!
Но с учетом условия , получаем
α
β
α
β
γ
β
.
В первом случае, когда Центр назначением нижней границы qi не ме-
шает Подчиненному применить свою оптимальную стратегию, оптималь-
ная для Подчиненного величина взятки
, а во втором случае для ее
нахождения необходимо решить следующую задачу:
α
β
β
,
,
которая в общем случае аналитически не разрешима.
Утверждение 1. Решение задачи
α
β
β ,
,
удовлетворяет неравенству
.
Доказательство. Построим условие первого порядка:
αβ
β
γ
β
β
.
После некоторых преобразований получим
αβ
β
γ
β
β
. (7.9)
Выразим частично bi:
α
β
β
γ
.
Из условия
следует неотрицательность обоих слагае-
мых в последнем выражении, а значит
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]