Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 12. Задача управления составом организационной системы
121
конечного множества Агентов, они считают данную задачу решенной.
Фактически говорить о решении еще рано. Несмотря на то, что множество
вариантов конечно, число этих вариантов достаточно велико для того,
чтобы считать, что решение задачи найдено. Если претендуют на работу
всего 10 Агентов, каждого из них можно включить или не включить в состав, то уже нужно перебрать 2
10
= 1024 вариантов. Если же претендентов
100, то нужно перебрать 2
100
= 1024
10
вариантов. Среднестатистические
ЭВМ такой перебор не потянут. Возможно, смогут помочь некоторые суперкомпьютеры, но они есть не везде. И пока прикладной математик будет
пробиваться сквозь бюрократическую лестницу с заявлением о разрешении использовать суперкомпьютер, который находится в одном из соседних городов, после чего месяц ждать очереди, чтобы запустить программу
с перебором такого количества вариантов, чистый математик спокойно будет считать, что задача решена.
2. Использование методов локальной оптимизации. Задается определен-
ный состав, в окрестности которого производится перебор возможных составов. Недостаток данного подхода – нет гарантии, что полученное решение является глобальным максимумом. Тем не менее содержательно – это
один из хороших подходов, когда одно решение предлагается экспертами
как одно из разумных, и в его окрестности ищется решение, которое может
дать еще лучший результат.
3. Исключение заведомо неэффективных составов на основе специ-
фики задачи. А в оставшемся множестве произвести перебор вариантов. Его
можно считать противоположным методу 2. Недостаток – данный метод
применим не всегда. Объединяет эти методы только то, что они сокращают
количество вариантов при переборе.
Опишем модель управления составом организационной системы, а также
проведем классификацию соответствующих задач.
В общем виде задача управления составом выглядит так:
′
,
где I – конечный состав организации;
I’ – множество потенциальных работников: I I’;
(I) – функционал, ставящий в соответствие начальному и конечному
составу действительное число – эффективность управления составом, выражаемая в виде дохода или прибыли организации.
Модуль 3. Модели стимулирования в организационных системах
122
Требуется найти конечное множество I, при котором функционал Ф(I)
достигает максимального значения. Множество I’ содержит и претендентов на работу, и уже работающих в организации работников. Также Ф может зависеть не только от найденного состава, но и от начального состава,
т. е. иметь зависимость Ф(I, I0).
С учетом этого введем еще несколько обозначений:
I0 = {1, 2, …, n} – начальный состав организационной системы, n = |I0|;
D+(I, I0) = I \ I0 – множество Агентов, принятых на работу;
D–(I, I0) = I0 \ I – множество Агентов, уволенных с работы.
На рис. 12.1 изображена схема, отражающая классификацию задач
управления организационной системой.
Рис. 12.1. Задачи управления составом организационной системы
Рассмотрим каждую из приведенных на рис. 12.1 задач подробно.
Задача управления составом организационной системы, как уже упомина-
лось, формулируется как задача поиска состава, эффективность которого максимальна. Этот принцип распространяется на все приведенные на рисунке задачи.
Но при этом в случае формирования состава считается, что организация
формируется заново, т. е. начальное множество I0 пусто, I
0
= и задача при-
обретает вид
.
В случае постановки задачи оптимизации состава существующей орга-
низации происходит переход от фиксированного состава I0 к составу I,
критерий эффективности управления зависит при этом и от начального,
и от конечного состава, т. е.
.
Управление составом
организационной системы
Задача формирования
состава ОС
Задача оптимизации
состава ОС
Задача о приеме
на работу
Задача замены
состава ОС
Задача об увольнении
Глава 12. Задача управления составом организационной системы
123
Зависимость от начального состава может выражаться в том, что увольняемых
работников необходимо трудоустраивать либо обеспечивать их пособиями и т. д.
В задаче о приеме на работу |I| > |I
0
|, а значит, . Возможен вари-
ант формулировки, при котором ограничено (сверху или снизу) число принимаемых на работу Агентов. Пример постановки такой задачи:
В задаче об увольнении предполагается |I| < |I0|, т. е. необходимо найти
множество
, максимизирующее эффективность. Пример постановки:
.
Задача замены состава заключается в поиске множеств увольняемых и нанимаемых сотрудников, максимизирующих эффективность.
В случае |I| = |I0|, I ≠ I0 задача примет вид
.
Несмотря на то, что задачи, приведенные на рис. 12.1, достаточно интересны и не сложны в решении, они редко используются на практике. Основная причина этого – лежащая в основе их формулировки гипотеза
о полной взаимозаменяемости Агентов. Но «любому менеджеру-практику
известно, что замена одного работника на другого (даже той же самой квалификации) всегда оборачивается определенными потерями для фирмы.
Это связано с тем, что существуют несколько ступеней адаптации работника к ОС, в составе которой он функционирует» [Новиков, 2007].
В [Нижегородцев, 2002] предложена зависимость максимально возможного действия y
max
работника в единицу времени от продолжительно-
сти t его пребывания в составе данной фирмы (рис. 12.2).
Рис. 12.2. Процесс адаптации
Модуль 3. Модели стимулирования в организационных системах
124
Если внимательно посмотреть на рисунок, то можно заметить, что график
y
max
(t) состоит из соединенных между собой обобщенных логистических кри-
вых, а сам процесс адаптации «можно представить как процесс обучения сотрудника очередным институциональным нормам (как формальным, так
и неформальным), существующим в данной ОС» [Нижегородцев, 2002].
На рис. 12.2 имеется участок убывания функции y
max
(t), но в [Нижего-
родцев, 2002] отмечено, что его наличие не обязательно. Если же он имеется, то снижение эффективности труда работника объясняется как возрастными причинами, так и количеством возложенных на работника обязанностей.
Учет адаптации в данный момент является лишь перспективным направ-
лением.
Далее разберем некоторые примеры решения задач управления соста-
вом организационной системы [Новиков, 1999].
Сначала рассмотрим решение простых задач формирования оптималь-
ного состава с однородными Агентами. В этом случае предполагается, что
все работники выбирают одно и то же действие yi = y, yi 0, i = 1, … n,
причем и квалификация, и стимулирование всех Агентов одинаковы. Эта
задача сводится к задаче нахождения оптимального числа работников организационной системы.
Пример 1. Имеется фонд заработной платы (ФЗП) R, который требу-
ется распределить между n однородными. Будем считать, что функция
затрат каждого Агента пропорциональна квадрату действия Агента, т. е.
c(y) = y2/2b, а доход Центра пропорционален сумме действий Агентов (что
в случае однородных Агентов выражается как H(n, y) = ny).
Найдем зависимость эффективности управления составом Агентов от
их числа n.
Так как целевая функция Центра представляет собой разность между
доходом и затратами на стимулирование, то Ф . Воспользу-
емся тем, что доказано, что самой эффективной системой является компенсаторная, значит, оплата труда каждому Агенту производится в количестве
s(y) = c(y) = y2/2b. Следовательно, затраты на стимулирование всех Агентов
составят nc(y) = ny2/2b = R. Отсюда выразим y:
.
Глава 12. Задача управления составом организационной системы
125
Подставив полученное выражение в Ф , получим
Ф
.
То есть при постоянном фонде заработной платы зависимость эффек-
тивности стимулирования от числа Агентов имеет вид
Φ
.
Так как функция Ф возрастает по n, то Центру выгодно задействовать
как можно большее число Агентов, каждому из которых достается вознаграждение R/n, которое стремится к нулю при возрастании n. Следовательно, каждый Агент будет выбирать минимально допустимое действие
для получения малого вознаграждения. То есть в этом случае организации
выгодно, чтобы работники работали мало, платя при этом им мало (чуть
больше нуля). Тем не менее такая ситуация для фирмы оптимальна, так как
доход достигает максимума за счет количества работников.
Найдем оптимальный фонд заработной платы в этом случае (ФЗП).
Условие первого порядка даст
Φ
,
откуда
, т. е. оптимальный ФЗП пропорционален числу Агентов
в ОС. При данном ФЗП Центр заинтересован в неограниченном увеличении числа Агентов, т. е. оптимальным является максимальный состав.
Каждому Агенту при этом достается стимулирование, равное
.
Пример 2. Ситуация меняется, если управляющие возможности (возможности по переработке информации) Центра ограничены. В большинстве
работ используется следующая оценка числа связей между n подчиненными Агентами, контролируемыми одним Центром: ≈ 2n. Содержательно эта оценка соответствует числу возможных коалиций и, следовательно, числу связей между n Агентами.
Учтем информационные ограничения, умножив Ф
*
(n) на
, где ≥ 0,
т. е. Φ
ξ
.
Условие первого порядка дает
Φ
′
ξ
.
Модуль 3. Модели стимулирования в организационных системах
126
Решим это уравнение эквивалентными преобразованиями:
,
,
= 0.
Откуда, путем замены переменных , приходим к квадратному
уравнению, один из корней которых положителен:
.
Предлагается самостоятельно проверить, что полученная точка явля-
ется точкой максимума и что второй корень квадратного уравнения отрицательный и не годится в качестве решения данной задачи.
Пример 3. Предположим теперь, что Центр обязан гарантировать каж-
дому Агенту, включенному в ОС, некоторый минимальный уровень полез-
ности .
Тогда, решая задачу определения оптимального размера возна-
граждений Агентов, получаем, что при постоянном фонде заработной
платы R зависимость эффективности стимулирования от числа Агентов имеет вид
Φ
.
Аналогично из условия первого порядка Φ
′
,
откуда
, т. е. ограничение резервной заработной платы опре-
деляет оптимальный состав (в случае однородных Агентов – оптимальный размер) организационной системы, а оптимальное стимули-
рование в данном случае равно . Итак, если за величину
взять
пособие по безработице, то в случае, когда оно равно минимальному
окладу, оптимально стимулирование равно удвоенному минимальному окладу.
Глава 12. Задача управления составом организационной системы
127
В 2021 г. минимальный размер оплаты труда в России равен 12 792 руб.,
и действительно в 90 % всех объявлений, в которых требуется работник,
предлагают оклад 25–27 тыс. руб.
Рассмотрим теперь ряд примеров, в которых существенной является
резервная полезность Агентов, причем Агентов будем считать неоднородными.
Пример 4. Так как каждая организация стремится увеличить свою при-
быль, то в качестве функционала (I) возьмем
Φ
′
, (12.1)
Из (12.1) следует, что j-го Агента следует включить в состав, если приращение дохода при включении его в состав I больше, чем величина его
стимулирования, т. е. если выполняется условие
. (12.2)
Для облегчения проверки условий (12.2) представим, что функция
дохода Центра аддитивна, т. е. доход Центра есть сумма доходов, по-
лученных от вклада каждого Агента (т. е.
, где –
вклад каждого Агента в производство, причем он не зависит от действий
других Агентов). Задача принимает вид Φ
′
.
Используя условие (12.2), получаем следующий оптимальный состав:
I = {i | Hi(yi) – si(y
i
) >
} .
Пример 5. Конкретизируем пример 4. Возьмем конкретный вид функ-
ции дохода Центра и конкретные числовые параметры модели.
Пусть Φ
и для шести Агентов пара-
метры приведены в табл. 12.1.
Таблица 12.1
i 1 2 3 4 5 6
ri 12
10 8 6 4 2
4 4 3 1 2
2
1 1 1 1 1
1
Модуль 3. Модели стимулирования в организационных системах
128
Дополним данную таблицу строкой, в которой для каждого Агента под-
считан доход, который Агент приносит Центру,
(табл. 12.2).
Таблица 12.2
i 1 2 3 4 5 6
ri 12
10 8 6 4 2
4 4 3 1 2
2
1 1 1 1 1
1
Фi
2 1 1 2 0
–1
Рассчитаем значения целевых функций Центра при различных соста-
вах ОС (понятно, что при одинаковых U
i
min
включать Агентов в ОС следует
в порядке убывания):
Ф({1}) = 2 – (1 + 1 + 1 + 1 + 1) = –3,
Ф({1,4}) = 2 + 2 – (1 + 1 + 1 + 1) = 0,
Ф({1,2,4}) = 2 + 2 + 1 – (1 + 1 + 1) = 2,
Ф({1,2,3,4}) = 2 + 2 + 1 + 1 – (1 + 1) = 4,
Ф({1,2,3,4,5}) = 2 + 2 + 1 + 1 + 0 – 1 = 5,
Ф({1,2,3,4,5,6}) = 2 + 2 + 1 + 1 + 0 – 1 = 5.
Таким образом, оптимальным является либо максимальный состав ОС,
либо включение первых пяти Агентов. При этом Центр безразличен по отношению к включению или не включению в состав ОС шестого Агента,
так как для него имеет место соотношение Ф
6
= –U
6
min
– потери от его уча-
стия в ОС в точности равны той компенсации, которую Центру пришлось
бы выплачивать ему, не включая в состав ОС.
Пример 6. Предположим теперь, что величины U
i
min
стали равны 4
(табл. 12.3), а размер стимулирования U
i
max
равен 1.
Таблица 12.3
i 1 2 3 4 5 6
ri 12
10 8 6 4 2
1 1 1 1 1
1
4 4 4 4 4
4
Фi
5 4 3 2 1
0
Глава 12. Задача управления составом организационной системы
129
Тогда
Ф({1}) = 5 – (4 + 4 + 4 + 4 + 4) = –15,
Ф({1,2}) = 5 + 4 – (4 + 4 + 4) = –3,
Ф({1,2,3}) = 5 + 4 + 3 – (4 + 4 + 4) = 0,
Ф({1,2,3,4}) = 5 + 4 + 3 + 2 – (4 + 4) = 6,
Ф({1,2,3,4,5}) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 – 4 = 11,
Ф({1,2,3,4,5,6}) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15.
Теперь Центру выгодно включать в состав все шесть Агентов.
Зад а ния
I. Найти оптимальное количество однородных Агентов в ОС, если за-
дан функционал эффективности работы Агентов. Найти стимулирование
Агентов. Если требуется, привести сначала задачу к задаче с однородными
Агентами.
1) ;
2)
3)
;
4) ;
5)
;
6)
;
7) Ф(n) = H(y) – ns → max,
, где –
вклад каждого Агента в производство, причем он не зависит от дей-
ствий других Агентов. Для исследования бралась функция = y
,
0 < 1;
8) Ф(n) = H(y) ‒ ns → max,
,
0 < 1;
9) Ф(n) = H(y) ‒ ns → max,
, 0 < 1;
10) Ф(n) = H(y) ‒ ns → max,
;
11)
;
12)
Модуль 3. Модели стимулирования в организационных системах
130
II. Найти оптимальный состав Агентов в ОС, если задан функционал
эффективности работы Агентов Φ
:
1)
№ 1 2 3 4 5 6
ri 9 13 7 9
11
1
ci 6 6 3 6 5 2
ui 9 8 7 8 8 5
2)
№ 1 2 3 4 5 6
ri 6 7 5 11 8 7
ci 6 6 5 7 7 0
ui 7 7 0 1 5 6
3)
№ 1 2 3 4 5 6
ri
11 2 12 5 5
10
ci 6 1
10 2 2 0 ui 9 7 2 0 5 6
4)
№ 1 2 3 4 5 6
ri 8 15
10
10 5 16
ci 1 15 3 10 0 4
ui 3 0 4 1 2 0
5)
№ 1 2 3 4 5 6
ri 5 2 9 5 5 6
ci 2 0 0 0 0 6
ui 0 7 9 9 4 1
6)
№ 1 2 3 4 5 6
ri
12 1 6
10 7 2
ci
10 1 0 8 5
0
ui 5 7 4 5 9 9
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]