Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 5. Модель распределения ресурсов с учетом частных интересов участников…
51
при , qi = 1,
.
Доказательство. Исследуем 2 случая:
1. Эластичность производственной функции = 1. Рассмотрим задачу
Подчиненного:
Это – задача максимизации функции одной переменной ui на отрезке
(5.6). Эта функция возрастает по u
i
при и убывает при
. То есть в этом случае
Теперь рассмотрим задачу Центра:
,
, .
Обозначив g0 = H, r
0
=
, I = {i | ui = 1}, мы перейдем к следу-
ющей задаче:
,
,
, . (5.7)
Поскольку J0 – функция возрастающая по qi, то все qi = 1. Следова-
тельно, осталось решить следующую задачу:
,
, .
Так как эластичность производства = 1, то
.
Это – задача линейного программирования. Решив ее симплекс-мето-
дом (предоставим это читателю), получим
То есть здесь все ресурсы достаются тому Подчиненному, у которого
производственная мощность максимальна. В случае = 1 все ресурсы выгодно отдать одному Подчиненному – тому, у которого производственная
мощность максимальна (кто лучше работает, кто больше может произвести при одном и том же количестве вложенных в дело ресурсов).
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
52
2. 1. Это – задача нелинейного программирования.
Решим задачу Подчиненного:
Это – задача максимизации функции одной переменной ui на отрезке
(5.6). Условие первого порядка имеет вид
′
β
β
β
β
отсюда
β
β
β
,
откуда видно, что 0 < ui 1.
Теперь рассмотрим задачу Центра:
,
, .
Обозначив g0 = H, r
0
=
, I = {i | ui = 1} мы перейдем к следу-
ющей задаче:
,
, .
Так как J0 – функция возрастающая по qi, то все qi = 1. Следовательно,
осталось решить следующую задачу:
,
, .
Это – задача нелинейного программирования с условием типа равен-
ства. То есть задача Центра – классическая задача нелинейного программирования, которую можно решить методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
.
Приравняем производные функции Лагранжа по всем переменным ri
и к нулю (условие первого порядка) и решим полученную систему:
,
Глава 5. Модель распределения ресурсов с учетом частных интересов участников…
53
,
,
откуда видно, что > 0. Выразим ri через :
, i = 0, …, n. (5.8)
Чтобы найти , подставим (5.8) в (5.7):
,
.
Следовательно, так как > 0, то
. (5.9)
Тогда
. (5.10)
То есть точка (5.9) – (5.10) – экстремум. Предоставим читателю возможность убедиться, что данная точка – точка максимум. Теорема доказана.
Лемма 1. Функции
и
постоянны.
Следствие 1. Оптимальные стратегии Подчиненного и Центра можно
выразить следующим образом:
в случае = 1
qi = 1, ui = 1;
в случае 1
, qi = 1,
,
где x – любая точка из промежутка (0; 1].
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
54
Следствие 2. Доля Центра:
.
Выигрыш i-го Подчиненного:
.
Общий выигрыш Центра:
.
Зад а ния
Найти равновесие по Штакельбергу в игре (5.1) – (5.6) и выигрыши
участников системы в случае:
1) отсутствия нецелевого использования ресурсов и у Центра, и у Под-
чиненных
( ,,
, i = 1, …, n);
2) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Центра, и наличия
нецелевого использования ресурсов у Подчиненных в случае степенных
производственных функций Подчиненных
( , ,
, i = 1, …, n);
3) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных,
и наличия нецелевого использования ресурсов у Центра в случае степенной производственной функции Центра
( ,,
, i = 1, …, n);
4) наличия нецелевого использования ресурсов и у Подчиненных,
и у Центра в случае степенных производственных функций
( ,,
, i = 1, …, n);
5) отсутствия нецелевого использования ресурсов и у Центра, и у Подчиненных
( ,,, i = 1, …, n);
6) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Центра, и наличия
нецелевого использования ресурсов у Подчиненных в случае степенных
производственных функций Подчиненных
( ,, , i = 1, …, n);
Глава 6. Оптимальное распределение ресурсов в условиях создания коалиций…
55
7) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных,
и наличия нецелевого использования ресурсов у Центра в случае степенной производственной функции Центра
( ,, i = 1, …, n);
8) наличия нецелевого использования ресурсов и у Подчиненных,
и у Центра в случае степенных производственных функций
( ,, , i = 1, …, n);
9) отсутствия нецелевого использования ресурсов и у Центра, и у Под-
чиненных
( ,,
, i = 1, …, n);
10) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Центра, и нали-
чия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных в случае степенных производственных функций Подчиненных
( ,
,
, i = 1, …, n);
11) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных,
и наличия нецелевого использования ресурсов у Центра в случае степенной производственной функции Центра
(
,
, i = 1, …, n);
12) наличия нецелевого использования ресурсов и у Подчиненных,
и у Центра в случае степенных производственных функций
(
,
,
i = 1, …, n).
Гл а ва 6. Оп т и м а л ьн о е р а с п ре д ел е ни е р е су р со в
в у сл о ви я х с о з д а н и я к о а л иц и й
ме ж д у у ч а с т н и к а ми си с те м ы
В главе 5 мы начали рассматривать модель распределения ресурсов
в иерархической системе управления, в которой участники системы имеют
не только производственные интересы. В частности, мы исследовали случай, когда каждый участник системы действует независимо друг от друга
и действует исключительно в своих интересах.
Но помимо иерархических отношений в экономической системе управ-
ления возможны, а иногда и целесообразны кооперативные отношения, объ-
единяющие различные элементы системы. Возможность объединения Аген-
тов в коалиции может повлиять и на поведение, и на выигрыши участников
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
56
системы как входящих в коалицию, так и не входящих в нее. Причем объединение элементов системы может происходить как на уровне вертикальных, так и на уровне горизонтальных связей. Для моделирования подобных отношений в экономической системе применяется теория кооперативных игр.
Приведем некоторые основные понятия этой теории [Нейман, Моргенштерн, 1970]. Пусть N = {0, 1, 2, …, n} – множество участников
экономической системы, из них M = {1, 2, …, n} – множество Подчиненных, а {0} – Центр. Будем рассматривать все возможные подмножества K N, представляющие собой коалицию входящих в него участников.
Определим функцию v: 2N → R. Если она удовлетворяет свойствам:
1. v() = 0 (дохода у пустой коалиции нет);
2. K, L N (K L = ) v(K) + v(L) v(K L) (супераддитивность,
означающая, что объединяться в большую коалицию выгодно), то функция называется характеристической и порождает кооперативную игру
Гv = < N, v >.
Значение функции v(K) интерпретируется как доход коалиции K. Основной задачей теории кооперативных игр является распределение дохода максимальной коалиции v(N) между всеми игроками. Если распределение x = (x0, x1, …, xn) удовлетворяет свойствам:
1. i N xi v( i ) (индивидуальная рациональность, означающая,
что участник коалиции должен получить выигрыш не меньший, чем если
бы он в коалицию не вступал бы);
2.
(оптимальность по Парето, между участниками
системы должен распределиться весь доход максимальной коалиции, остатков быть не должно, а избытков и не может), то x называется дележом. Обычно множество дележей оказывается достаточно
широким.
Говорят, что дележ x доминирует дележ y по коалиции K, если вы-
полняются следующие свойства:
1. i K xi yi (при дележе x ни один участник не получит выигрыш,
меньший, чем при дележе y);
2.
(оптимальность по Парето, дохода всей коалиции
хватает на всех участников).
Глава 6. Оптимальное распределение ресурсов в условиях создания коалиций…
57
Множество всех недоминируемых дележей C(v) игры Гv называется ее
С-ядром – это один из самых распространенных принципов оптимальности для кооперативных игр. Известна теорема:
.
Руководствуясь этой теоремой, найти С-ядро достаточно затруднительно, поэтому наряду с этим принципом часто рассматривают другие,
более удобные для нахождения. Рассмотрим два из них.
Вектор Шепли удовлетворяет ряду
аксиом. Компоненты вектора Шепли вычисляются по формуле
,
где
, k = |K|, n + 1 = |N|.
Применяют также вектор пропорционального распределения, который
вычисляется по формуле
, .
Доказано, что если
, то вектор является дележом.
В общем случае вектор Шепли и вектор пропорционального распределения не совпадают и не обязаны принадлежать С-ядру.
В двухуровневой иерархической системе управления возможны следующие основные типы коалиций:
1) вертикальная коалиция – коалиция Центра и Подчиненного;
2) горизонтальная коалиция – двух или нескольких Подчиненных;
3) комплексная кооперация – коалиция Центра с несколькими Подчи-
ненными.
Цель данной главы – выяснить, как возможные коалиции, включая вертикальные, горизонтальные и комплексные, в модели распределения ресурсов в иерархической системе управления могут повлиять на готовность
Подчиненных выделять ресурсы на производственные цели, на готовность
Центра выделять ресурсы Подчиненным, как входящим в коалицию с ним,
так и не входящим в коалицию с ним, а также на готовность Центра ограничивать деятельность Подчиненных. Кроме того, выясним влияние создания коалиций на выигрыши участников системы. Помогает ли участникам системы объединение их в коалиции, и не мешают ли эти объединения
другим участникам системы.
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
58
Найдем вектор Шепли, вектор пропорционального распределения для
задачи распределения ресурсов с учетом частных интересов Подчиненных
[Горбанева, 2011]. С этой целью для каждой коалиции вычисляется кооперативный эффект, т. е. величина
.
Величина
дает количественную характеристику выгодности объ-
единения в коалицию К.
Выигрыш каждой коалиции находится по формуле
,
где
,
.
Рассмотрим случай наличия нецелевого потребления ресурсов как
у Подчиненных, так и у Центра со степенными производственными функ-
циями, , ,
, i = 1, …, n.
И соответственно, имеется следующая игра:
,
,
,
,
, i = 1, …, n.
Вычислим значения выигрышей всех возможных коалиций.
Начнем с одноэлементных коалиций.
Из следствия 2 и теоремы 1 предыдущей главы видно, что
, (6.1)
(6.2)
(кооперативные эффекты от данных коалиций равны 0), при следующих
стратегиях Центра и Подчиненных:
qi = 1,
ui = 1,
.
=
Ki
niKNKK
uuuJuuJ ),...,,(),(
10\
Глава 6. Оптимальное распределение ресурсов в условиях создания коалиций…
59
Далее рассмотрим случаи объединения нескольких Подчиненных в ко-
алицию (горизонтальная кооперация). В случае K = L M
. (6.3)
Если же все Подчиненные объединяются в коалицию (L = M), то
. (6.4)
Как видим, в случае всех горизонтальных коалиций, включая одноэлементные и максимальную, кооперативные эффекты равны нулю, что
говорит о том, что объединяться Подчиненным между собой невыгодно,
никак не влияет на поведение участников и на их выигрыши. Правда,
нельзя сказать, что объединение участников в горизонтальные коалиции
вредит как самим участникам коалиции, так и элементам системы, не
вступившим в нее.
Перейдем к рассмотрению вертикальной коалиции, при которой в коалицию вступают один Подчиненный и Центр (K = {0}{i}).
γ
β
α
β
αβ
γ
β
γ
β
α
β
αβ
γ
β
.
Чтобы найти оптимальное Rj, надо заметить, что величина выигрыша
коалиции, состоящей из всех участников, не вошедших в К, вычисляется
по формуле
, который
достигается при
.
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
60
Следовательно,
R
j
=
при j ≠ i. Значит,
α
α
β
α
β
γ
β
β
+
αβ γ
β
γ
β
.
Теперь найдем стратегию Подчиненного, входящего в коалицию с Центром. Приняв во внимание то, что его слагаемое в задаче отличается от
задач других Подчиненных только удвоенным коэффициентом перед ко-
эффициентом
i
, получим, что
, а так как это
еще и в интересах Центра (целевая функция общая), то
.
Следовательно,
α
α
β
α
β
γ
β
β
+
α
α
β
α
β
γ
β
β
γ
γ
β
α
β
γ
β
β
γ
β
α
α
β
α
β
γ
β
β
+
α
β
γ
β
β
β
γ
β
.
Заметим, что
– доля ресурсов, ис-
пользуемых на общесистемные цели, которую бы выбрал Подчиненный,
не вступая в коалицию с Центром. При j ≠ i получим, что целевая функция
тем больше, чем больше qi. Следовательно, qi = 1. Поэтому
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]