Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 4. Неполная информированность Центра при распределении ресурсов
41
По смыслу величина M имеет значение штрафа, причем настолько
большого, что все остальные выигрыши становятся неважными на его
фоне, допустим, крах системы, экологическая катастрофа, уголовное наказание, увольнение с должности и т. д. То есть условие (4.1) выполнить нужно
в любом случае. Принцип гарантированного результата состоит в дан-
ном случае в выборе такого распределения ресурсов
, при котором до-
стигается
.
Исполнитель расходует ресурсы эффективно, следовательно, он вы-
пускает продукт в количестве
. Значит, гарантированный выпуск
продукции i-м Исполнителем равен
. Поэтому гарантированный
выпуск продукции всеми Исполнителями равен
. Центру необ-
ходимо выполнить условие
. При этом значение критерия
его целевой функции будет равно
. Так как этот критерий
нужно минимизировать, то достаточно выполнить упомянутое условие
в виде равенства, т. е.
.
Таким образом, задача поиска наилучшего гарантированного резуль-
тата свелась к нахождению распределения ресурсов
(i = 1, …, n), при
котором достигается
.
Так как выражение в скобках не зависит от
, последнее выражение
сводится к
,
что повторяет задачу (4.1) – (4.3), с той лишь разницей, что коэффициенты
заменены их «пессимистичными» оценками
. Следовательно, можно
воспользоваться оптимальным распределением для задачи (4.1) – (4.3):
.
Суммарные затраты ресурсов при этом равны
.
Заметим, что в случае, когда
, максимальный гарантированный
результат может отличаться от такого же результата в условиях полной
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
42
информированности Центра. В частности, если Центр ошибся в своих
оценках в два раза, т. е.
, то
.
Следовательно, в этом случае Центр, ошибаясь в два раза, увеличивает
расходы ресурсов в 4 раза, что не способствует экономии ресурсов. Видно,
что недостаточная информированность Центра приводит к значительному
перерасходу ресурсов.
Использование информации, полученной от Исполнителей
Для того чтобы снизить неопределенность, Центр может запросить
у Исполнителя информацию о значении параметра . Если величины ,
сообщаемые Исполнителем Центру, совпадают с истинным их значением
, то Центр находит оптимальное распределение ресурсов
, как если бы он действовал в условиях полной информации.
Но не воспользуются ли Исполнители неполной информированностью
Центра для достижения своих личных интересов? Если цена на ресурсы
задана заранее, то Исполнителю выгодно получить от Центра количество
ресурсов в размере
. В таком случае Исполнителю выгодно до-
биться того, чтобы количество ресурсов
, выделенных ему Центром по
формуле (4.5), совпало с
. Посмотрим, при каких значениях выпол-
нится соотношение
, i = 1, …, n. (4.6)
Решим каждое из этих уравнений:
, i = 1, …, n. (4.7)
Отсюда
.
Просуммировав это выражение по всем Исполнителям, получим
.
Откуда
.
Глава 4. Неполная информированность Центра при распределении ресурсов
43
С учетом этого, Исполнителю выгодно сообщить Центру следующее
значение параметра, характеризующего его производственную мощность:
. (4.8)
Таким образом, существует единственное решение системы (4.6), а тем
самым единственный вариант действий Исполнителя, приводящий к его
максимальной прибыли. Но при осуществлении этого действия могут возникнуть две проблемы.
Первая проблема связана с Центром [Лотов, 1984]. Дело в том, что зна-
чения
, вычисленные по формуле (4.8), могут не входить в интервал
(4.4), и тогда Центр может уличить Исполнителя в обмане.
Вторая проблема связана с другими Исполнителями. Как видим, вели-
чина искажения коэффициента
зависит не только от цены на ресурс c, но
и от суммарного требуемого объема выпуска Y и, что немаловажно, от про-
изводственных мощностей всех остальных участников, а точнее сказать,
от их суммарного эффекта
. Но дело в том, что Центр, считая вели-
чину
по формуле (4.5), смотрит на сообщенные значения
всех Ис-
полнителей, а не только конкретного Исполнителя. Значит, Исполнителю
выгодно, чтобы другие Исполнители искажали свои производственные
мощности по этому же правилу. Но как можно быть уверенным в том, что
другие Исполнители согласованно выберут значения
?
Однако можно отметить следующий интересный факт: как только век-
тор
найден и известен всем Исполнителям, каждому Ис-
полнителю в отдельности невыгодно отступать от него, т. е. данный вектор
является равновесием по Нэшу.
Докажем это. Пусть i-й Исполнитель знает о том, что все оставшиеся
участники собираются осуществить действие
, . Тогда найдем
действие данного Исполнителя , при котором значение его целевой функ-
ции максимально.
Выпишем условие первого порядка, заметив при этом, что величина
является функцией от :
.
То есть либо
, либо
.
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
44
Заметим, что
.
Следовательно,
при
, что маловероятно. Значит,
максимум целевой функции может достигаться только при
.
Это возможно, если
решение которого и есть
. Следовательно, если все Исполнители, кроме
i-го, выбрали действие , , то и
-му Исполнителю выгодно вы-
брать
.
В этом случае суммарное потребление
.
Суммарный же выпуск продукции
в общем случае
может не совпадать с планом Центра Y. Здесь может быть как недовыполнение, так и перевыполнение плана. Исполнители, конечно, найдут
«объективные» причины, которые привели к отклонению коэффициентов эффективности от обещанных значений; аналогичные доводы будет
приводить и Центр, отчитываясь перед вышестоящей организацией. Действительная причина состоит в том, что задача Центра не согласована
с системой стимулирования, основывающейся на прибыли Исполнителей
при заранее заданных ценах c.
Принцип открытого управления
Согласовать цели Центра и Исполнителей мы уже пробовали на основе
изменения цен. В частности, мы выяснили, что при установке цены
(4.9)
суммарный выпуск продукции станет равным Y. При этом затраты ресурса
будут равны оптимальным
.
То есть Центру целесообразно воспользоваться механизмом изменения цены (4.9), так как это может привести к преследуемым им целям:
Глава 4. Неполная информированность Центра при распределении ресурсов
45
обеспечению требуемого выпуска продукции и минимизации расходов
ресурсов.
Но чтобы использовать механизм (4.9), Центр должен знать значения
коэффициентов
[Лотов, 1984]. Но он знает только их возможно искажен-
ные значения , на основе которых он может назначить цены
.
Найдем равновесие по Нэшу. В этом случае выигрыш Исполнителя:
(4.10)
Необходимое условие равновесия по Нэшу:
, i = 1, 2, …, n.
Если количество Исполнителей очень большое, то слагаемое
, соот-
ветствующее конкретному Исполнителю, незначительно влияет на значение суммы
(а следовательно, и на цену товара). Поэтому в данном
случае необходимое условие можно записать в виде
,
откуда следует, что
, т. е. при слабом влиянии Исполнителя незави-
симо от того, какое действие выберут другие Исполнители, ему выгодно
сообщить истинное значение коэффициента своей производственной мощности. При этом значение его целевой функции будет
.
Все существенным образом меняется, если число исполнителей
мало или если в системе имеется достаточно сильный Исполнитель
с большой производственной мощностью. В этом случае имеется
большое влияние производственной мощности
на
, и производная в необходимом условии уже считается по правилу частного.
Предоставим поиск оптимальной стратегии Исполнителя в этом случае читателю.
Поиск экономических механизмов стимулирования, при которых
Агентам выгодно сообщать истинную информацию о своих возможностях, отвечает так называемому «принципу открытого управления», который развивается в рамках информационной теории иерархических
систем.
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
46
Зад а ния
В рамках условий своего варианта предыдущего задания решить сле-
дующие задачи:
1) задачу экономного распределения ресурсов при помощи гарантиро-
ванного результата. Оценить перерасход ресурсов в этом случае;
2) задачу экономного распределения ресурсов, запрашивая информа-
цию об экономических параметрах Исполнителей. Убедиться, что никому
из Исполнителей невыгодно отступать от найденных оптимальных сообщаемых значений запрашиваемых параметров. Оценить ущерб выпуску продукции;
3) задачу экономного распределения ресурсов при помощи механизма
назначения цен. Убедиться, что найденный механизм отвечает принципу
открытого управления.
Гл а ва 5. Мо д ел ь ра с п р ед е ле н ия ре с ур с ов
с у че т ом ч а с т ны х и н те р ес о в у ча с тн и ко в си с т е м ы
В предыдущих двух главах мы рассматривали иерархическую мо-
дель распределения ресурсов, в которых все участники системы, как
Центр, так и Подчиненные, имели лишь производственные интересы.
Конечно, при таком подходе интересы участников системы очень
сильно упрощаются. Например, человек приходит работать на предприятие не только ради интересов предприятия. Он, в первую очередь, приходит работать, чтобы получить заработную плату, которая обеспечит
ему и его семье определенный уровень жизни. И только после этого он
думает об интересах предприятия. Кроме того, что касается использования ресурсов, то субъект может не все полученные ресурсы пустить на
производственные цели. К сожалению, нередки случаи хищения или
нецелевого использования ресурсов должностными лицами, что очевидным образом говорит о наличии не только производственных интересов
у участников системы.
На первый взгляд может показаться, что подобное касается только
субъекта в виде человека. А если, допустим, в качестве субъекта рассматривать обезличенное предприятие или его отделы, то здесь такой проблемы нет и можно говорить о наличии у субъекта лишь производственных
Глава 5. Модель распределения ресурсов с учетом частных интересов участников…
47
интересов. Но и в данном случае это не всегда верно. Приведем примеры.
Если в качестве иерархической системы взять завод строительных ма-
териалов, а в качестве элементов системы – его подразделения, например
асфальтовый, бетонный и газобетонный заводы, то понятно, что у каждого из этих подразделений есть производственные интересы – производство соответствующего вида материала, закупка нового и более усовершенствования оборудования и т. д. Но у каждого из этих подразделений
есть и непроизводственные интересы. Например, улучшение условий работы сотрудников в виде оборудования мест отдыха и приема пищи, что
может проявляться в виде покупки новой мебели для работников, микроволновых печей и электрических чайников, кулеров, холодильников
и т. д. Также к непроизводственным интересам можно отнести повышение качества обслуживания клиентов, что требует дополнительного вложения ресурсов.
Теперь в качестве иерархической системы рассмотрим университет,
элементами которого будут факультеты и прочие подразделения. Также
у каждого факультета (или института) есть производственные интересы –
подготовка специалистов определенного уровня, повышение уровня преподавания профессорско-преподавательским составом, ведение научной
работы сотрудников и студентов, закупка определенного оборудования
для ведения образовательной и научной деятельности. Но у каждого факультета (института) есть и непроизводственные интересы. Например, ремонт корпуса факультета, развитие столовой факультета, обновление мебели в учебных классах и на кафедрах, ограда территории факультета
и подведение к корпусу автомобильных дорог и тротуаров определенного
качества. Все эти интересы факультета, как производственные, так и непроизводственные, требуют вложения средств, поэтому можно предположить, что не все средства, имеющиеся у факультета, будут направлены
только на производственные интересы.
Примеры, которые мы привели, касаются нижних элементов системы,
т. е. Подчиненных в иерархической системе. Но и Центр может иметь
непроизводственные интересы. Если это – человек, распределяющий
ресурсы между другими участниками, то в его интересах может быть
оставить часть распределяемых ресурсов себе на свои собственные
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
48
нужды. Если Центр – руководство завода строительных материалов, то
его непроизводственными интересами могут быть обустройство территории завода, к примеру, создание экологического уголка на территории завода.
Итак, перейдем к построению модели распределения ресурсов в иерархической системе, участники которой имеют как производственные, так
и непроизводственные интересы.
Для этого рассмотрим двухуровневую древовидную модель управления, состоящую из одного Центра и n Подчиненных ему подразделений
(рис. 5.1). Центр имеет некоторое количество ресурсов R, которое необходимо распределить между Подчиненными [Горбанева, 2011]. Не исключено, что Центр оставляет часть ресурсов на собственные цели и что Подчиненные, в свою очередь, могут распределить доставшееся им количество
ресурсов как на общесистемные (производственные) цели, так и на свои
частные (непроизводственные) цели. И Центр, и Подчиненные стремятся
максимизировать свои целевые функции от использования ресурсов J0 и Ji,
i = 1, …, n соответственно. Без ограничения общности, примем все количество ресурсов за единицу, R = 1 (т. е. 100 %).
Рис. 5.1. Двухуровневая иерархическая система управления
с учетом непроизводственных интересов участников системы
Глава 5. Модель распределения ресурсов с учетом частных интересов участников…
49
В целевую функцию Центра включаются средства, полученные от использования ресурсов Подчиненными в производственных целях, и средства, полученные от использования оставшихся ресурсов в непроизводственных интересах.
Целевая функция Подчиненного состоит из дохода от его деятельности, направленной на общесистемные цели, и от деятельности, направленной на свои частные цели. Так как Подчиненный направляет на общие
цели только часть средств, Центр имеет право установить контроль над
использованием ресурсов Подчиненным, т. е. может задать минимальную
долю ресурсов, которую Подчиненный должен потратить на общесистемные цели.
Итак, математическая модель состоит из (n + 1)-й задач: задачи Центра
и n задач Подчиненных.
В этом случае задача Центра выглядит так:
, (5.1)
, (5.2)
, (5.3)
, (5.4)
а задача Подчиненного – следующим образом:
, (5.5)
, i = 1, …, n. (5.6)
где ri – доля ресурса, выделяемая i-му Подчиненному Центром (от R);
ui – доля выделенного от ri ресурса, используемая i-м Подчиненным для
решения общесистемных задач;
qi – нижняя граница значений ui, контролируемая Центром (доля от ri);
gi(uiri) – выигрыш системы и i-го Подчиненного от его производствен-
ной деятельности;
hi((1 – ui)ri) – выигрыш i-го субъекта от его непроизводственной дея-
тельности;
– выигрыш Центра от нецелевого использования ре-
сурсов.
Задачи (5.1) – (5.4) и (5.5) – (5.6) – игра двух лиц в нормальной
форме. Стратегиями Центра являются распределение ресурсов ri и назначение контроля над использованием ресурсов qi. Стратегией Подчиненного является доля ресурса ui, выделенного ему Центром, используемая
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
50
на производственные цели. Центр имеет право первого хода. Найдем равновесие в игре по Штакельбергу. То есть Центр, используя право первого хода и предвидя реакцию Подчиненного на свое решение, максимизирует величину своего выигрыша.
Предположим, что функции gi(x), h
i
(x),
являются производственными.
Остановимся на понятии и свойствах производственной функции.
В общем случае производственная функция имеет вид
где x1, …, xn – производственные ресурсы; y – производимая продукция.
Обычно предполагается, что производственная функция должна обла-
дать следующими свойствами:
1. Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса:
если существует xi = 0, то y = 0.
2. При увеличении затрат ресурсов выпуск продукции не убывает. Так
как функция считается дифференцируемой, то это свойство можно записать следующим образом:
Величина
называется предельной эффективностью использова-
ния i-го ресурса и показывает, на сколько увеличится выпуск продукции
при малом увеличении xi, т. е. характеризует чувствительность выпуска
продукции к затратам i-го ресурса.
3. По мере увеличения затрат одного ресурса и постоянных количе-
ствах других предельная эффективность использования этого ресурса не
возрастает:
4. Производственная функция характеризуется определенной отдачей
от расширения масштабов производства:
.
Теорема 1. Пусть функции gi(x), h
i
(x),
являются производствен-
ными и β – коэффициент отдачи от расширения производства. Тогда равновесием игры по Штакельбергу (5.1) – (5.6) является следующий набор
стратегий участников системы:
при , qi = 1,
где gim(1) gi(1),
i = 0, …, n (т. е. в im достигается
);
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]