Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 7. Коррупционное распределение ресурсов в иерархических системах…
71
Отсюда можно сделать вывод, что при вымогательстве не меньше по-
ловины ресурсов, не использованных Подчиненным на общие цели, идет
на взятку.
Если сравнить случаи, когда Центр смог помешать Подчиненному приме-
нить свою оптимальную стратегию
α
β
α
β
γ
β
, то все-таки в случае,
когда Центр мешает Подчиненному и последнему приходится применить
стратегию ui = qi, есть возможность уменьшить взятку, в противном случае она
составляет половину от имеющегося количества ресурсов у Подчиненного.
Утверждение 2. Для численного решения уравнения (7.9) применим
метод половинного деления.
Доказательство. Рассмотрим поведение функции f(bi) на концах про-
межутка [0; 1 – qi].
αβ
β
γ
β
β
,
α
β
β
γ
β
β
αβ
β
γ
β
β
αβ
β
γ
β
β
∞
Так как выражение α
β
β
γ
β
β
непрерывно на [0; 1 – q
i
) и принимает на и
значения раз-
ных знаков, для численного решения данного уравнения применим метод
половинного деления. Сформулировав условия второго порядка, можем
убедиться, что решение данной задачи единственно. Утверждение доказано.
Далее перейдем к исследованию задачи Центра. Для этого разделим мно-
жество Подчиненных на два класса. Пусть
α
β
α
β
γ
β
–
множество Подчиненных, которым Центр не смог помешать применить
свою стратегию, т. е.
.
Таким образом, задача Центра сводится к следующей:
α
α
β
α
β
γ
β
β
α
β
,
,
которая решается лишь численными методами, в частности методом итераций.
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
72
Модель 3. Рассмотрим случай введения механизма коррупции (попу-
стительства)
при контроле над использованием ре-
сурсов в случае, если в системе уже применяется механизм вымогательства при распределении ресурсов:
α
β
,
,
,
,
α
β
β ,
,
, i = 1, …, n.
Заметим, что условие
выполняется при .
В этом случае первоначальная стратегия Подчиненного
α
β
α
β
γ
β
, удовлетворяет условию
, если выполняется
α
β
α
β
γ
β
. Следовательно,
α
β
α
β
γ
β
.
Все q
i0
= 1,
,
α
β
,
α
β
.
Заметим, что Центр здесь не оставляет Подчиненным возможности
использовать ресурсы на свои частные цели, так как все ресурсы, не пошедшие на общесистемные цели, Центр забирает себе в качестве взятки.
Кроме того, взятка составляет 50 % и уменьшить ее никакой возможности нет.
Модель 4. Теперь рассмотрим распределение ресурсов при попусти-
тельстве (
).
Данная задача является обобщением двух ранее рассмотренных задач:
задачи с отсутствием коррупции (см. главу 5) и задачи с вымогательством
Глава 7. Коррупционное распределение ресурсов в иерархических системах…
73
при распределении ресурсов (модели 2–3 этой главы): если оптимальная стратегия Подчиненного по величине взятки bi = 0, то задача сводится к задаче с отсутствием механизма коррупции, а если оптимальная стратегия Центра на начальное распределение ресурсов r
i0
= 0 при
k = 2, то задача сводится к задаче распределения ресурсов при вымо-
гательстве.
Преимущества данной модели, по сравнению с ранее рассмотренными,
очевидны. Поскольку такая постановка задачи включает в себя ранее рассмотренные, то она должна дать более полное решение задачи распределения ресурсов, охватив более широкое множество стратегий участников.
В частности, именно в результате исследования данной модели мы можем
сразу определить, какой механизм коррупции выгоден участникам, и выгоден ли вообще. Но зачем мы тогда исследовали отдельно случаи с отсутствием коррупции или случаи вымогательства при распределении ресурсов, если можно было решить одну задачу, которая одновременно и оптимальный для участников механизм коррупции определит, и оптимальный
размер взятки?
Но при попытке решить данную задачу сразу выявляется ее недоста-
ток: эта задача в общем случае аналитически неразрешима. Тем не менее
некоторые выводы при ее исследовании сделать удается.
В этом случае модель попустительства при распределении ресурсов в иерархической системе управления с наличием у участников непроизводственных интересов выглядит следующим образом:
, (7.1в)
, (7.2в)
, (7.3в)
, (7.4в)
ℎ
, (7.5в)
, (7.6в)
, i = 1, …, n. (7.7в)
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
74
Теорема 2. Пусть функции gi(x), h
i
(x),
являются степенными производственными и 0 < β < 1 – коэффициент отдачи от расширения производства. Тогда оптимальной стратегией Подчиненного в игре (7.1в) –
(7.7в) является следующая:
α
β
α
β
γ
β
,
находитсяметодомдихотомии
Доказательство данной теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
Предоставим читателю доказать теорему, сформулировать утверждения и доказать их. А мы рассмотрим случай введения в систему механизма
одновременной коррупции при контроле над использованием ресурсов
и попустительства при их распределении.
Представим, что нецелевого использования ресурсов ни у Центра, ни
у Подчиненных нет ( ,ℎ, i = 1, …, n).
Рассмотрим задачу Центра, которая в этом случае сводится к следу-
ющей:
α
β
,
,
,
,
а задача Подчиненного к следующей:
α
β ,
,
, i = 1, …, n.
Условия первого порядка дадут следующую оптимальную стратегию
Подчиненного:
.
Глава 7. Коррупционное распределение ресурсов в иерархических системах…
75
Исходя из этого,
Отсюда видно, что
, а
, что говорит о том, что больше по-
ловины ресурсов расходуется на общесистемные цели, а оставшуюся часть
(меньше) половины присваивает Центр.
Если сравнивать случаи попустительства и вымогательства при распре-
делении ресурсов, отметим, что в случае вымогательства оптимальная для
Подчиненного величина взятки – половина имеющихся у него ресурсов, а в случае попустительства – все-таки меньше (!) половины ресурсов
идет в качестве взятки Центру. Поэтому попустительство для системы
предпочтительнее, чем вымогательство.
Рассмотрим задачу Центра, которая в этом случае сводится к сле-
дующей:
α
β
,
,
,
,
а задача Подчиненного к следующей:
α
β ,
,
, i = 1, …, n.
Условие выполняется при . В этом слу-
чае стратегия Подчиненного
,
удовлетво-
ряет условию
,
какое бы ни было q
i0
. Следовательно,
.
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
76
Зад а ния
1. Найти равновесие по Штакельбергу в случае попустительства при
контроле над использованием ресурсов (в игре (7.1а) – (7.7а)) и выигрыши
участников системы.
2. Найти оптимальные стратегии Подчиненного в случае вымогательства
при распределении ресурсов (в игре (7.1б) – (7.7б)). Если же аналитически
решить не удается, то остановить вычисления на этапе, когда это удается
определить. В этом случае предложить численный метод решения задачи.
3. Найти оптимальные стратегии Подчиненного в случае одновремен-
ного вымогательства при распределении ресурсов и попустительства при
контроле над использованием ресурсов.
4. Найти оптимальные стратегии Подчиненного в случае одновремен-
ного попустительства при распределении ресурсов и попустительства при
контроле над использованием ресурсов (в игре (7.1в) – (7.7в)). Если же аналитически решить не удается, то остановить вычисления на этапе, когда
это удается определить. В этом случае предложить численный метод решения задачи.
Решить перечисленные выше задачи в случае:
1) отсутствия нецелевого использования ресурсов и у Центра, и у Под-
чиненных
(,,
, i = 1, …, n);
2) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Центра, и наличия
нецелевого использования ресурсов у Подчиненных в случае степенных
производственных функций Подчиненных
(, ,
, i = 1, …, n);
3) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных,
и наличия нецелевого использования ресурсов у Центра в случае степенной производственной функции Центра
(,, , i = 1, …, n);
4) наличия нецелевого использования ресурсов и у Подчиненных,
и у Центра в случае степенных производственных функций
(,,
, i = 1, …, n);
5) отсутствия нецелевого использования ресурсов и у Центра, и у Под-
чиненных
(,,, i = 1, …, n);
Глава 8. Распределение нескольких видов ресурсов в иерархической системе
77
6) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Центра, и наличия
нецелевого использования ресурсов у Подчиненных в случае степенных
производственных функций Подчиненных
(,, , i = 1, …, n);
7) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных,
и наличия нецелевого использования ресурсов у Центра в случае степенной производственной функции Центра
(,, i = 1, …, n);
8) наличия нецелевого использования ресурсов и у Подчинен-
ных, и у Центра в случае степенных производственных функций
(,, , i = 1, …, n);
9) отсутствия нецелевого использования ресурсов и у Центра, и у Под-
чиненных
(,,
, i = 1, …, n);
10) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Центра, и нали-
чия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных в случае степенных производственных функций Подчиненных
(,
,
, i = 1, …, n);
11) отсутствия нецелевого использования ресурсов у Подчиненных, и наличия нецелевого использования ресурсов у Центра в случае степенной производственной функции Центра
(
,
, i = 1, …, n);
12) наличия нецелевого использования ресурсов и у Подчиненных, и у Центра в случае степенных производственных функций
(
,
,
i = 1, …, n).
Гл а ва 8. Ра с пр е д е л е н и е н е ск о ль к их ви д ов р ес у рс о в
в и ер а р х и ч е с к о й с и с те м е
Пусть имеется n Агентов, между которыми Центр распределяет m
видов ресурсов. Будем считать, что Центр имеет R1, R2, … Rm единиц
ресурсов соответствующего вида. Также будем считать, что Агенты
тратят ресурсы на производственные цели, доход от реализации которых выражается в виде производственной функции gi(xi1, xi2, …,
xim), где xi1, xi2, …, xim – количество каждого из ресурсов, полученных
i-м Агентом от Центра. Центр же распределяет ресурсы так, чтобы
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
78
суммарный эффект от использования ресурсов Агентами был максимальный.
Предположим, что доход от реализации производстве нных инте-
ресов имеет вид производственной функции с постоянными пропорциями:
, (8.1)
где b, , … ,
– положительные параметры.
Приведем несложный пример использования этой функции. Допу-
стим, для приготовления 1 кг печенья нам понадобится г масла,
600 г муки, 2 яйца, г сахара. То есть коэффициенты
, … , – затраты ресурсов , … ,
соответственно для производ-
ства условного количества (в данном случае 1 кг) продукта (печенья).
Допустим, имеется г масла, г муки, шт.
яиц, г сахара. Сколько кг печенья можно приготовить с задан-
ным количеством ресурсов?
Масла хватает на приготовление
кг печенья. Муки хва-
тит на приготовление
кг печенья. Яиц хватает на приго-
товление
кг печенья. Сахара достаточно на приготовление
кг печенья. Значит, всех ресурсов нам хватает на приго-
товление
Таким образом, несмотря на то что каких-то видов ресурсов нам хватает на приготовление 5 кг печенья, мы сможем изготовить лишь 2 кг.
В данном случае дефицитным ресурсом в этих условиях оказалась мука.
Назовем дефицитным тот ресурс, в котором достигается минимум
в правой части выражения (8.1).
Проверим выполнение всех предположений, введенных для всех производственных функций.
Видно, что если какое-то , то
, т. е.
первое свойство выполняется, что интерпретируется как «если хотя бы одного ресурса не хватает, то производства нет».
Глава 8. Распределение нескольких видов ресурсов в иерархической системе
79
Проверим выполнение второго предложения. Для этого найдем пре-
дельную эффективность j-го ресурса. Для этого нужно взять производную.
Представим функцию (8.1) в виде
Тогда производная функции y будет равна
т. е. второе предположение для производственных функций выполня-
ется.
Заметим, что предельная эффективность j-го ресурса не зависит от количества используемых ресурсов, а зависит только от затрат на единицу
продукции дефицитного ресурса.
Отметим также, что увеличение недефицитного ресурса на выпуске
продукта не сказывается.
Проверим выполнение третьего предположения:
,
а также четвертого:
.
То есть эластичность выпуска равна . Как видно, четвертое свой-
ство выполняется, при этом отдача постоянная.
Итак, все четыре указанных выше предположения выполнены для
функции с постоянными пропорциями.
Рассмотрим три постановки распределения Центром нескольких видов
ресурсов в иерархической системе: согласованную, контрактную и корыстную [Горбанева, 2013].
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
80
1. «Согласованная» постановка.
Будем считать, что интересы Центра и Агентов полностью согласованны. А именно: и Центр, и Подчиненные максимизируют производственный доход. Следовательно, требуется найти равновесие по Нэшу
в игре:
, (8.2)
(8.3)
, (8.4)
при условиях
Пусть
. Назовем ti – потенциалом i-го Подчи-
ненного, так как именно от этой величины зависит количество ресурсов,
нужных для производства, и доход Подчиненного. Пусть l – дефицитный
ресурс для i-го Агента, т. е.
. Тогда
– для недефицитных ресурсов.
Следовательно
. Пусть размеры потенциа-
лов Подчиненных ограничены величинами {Di}, i = 1, …, n, т. е. ti Di,
что означает, что потенциал i-го Подчиненного может быть в пределах
[0; Di].
Центр делает первый ход, выбирая величины индивидуальных ограничений Di и сообщая их Подчиненным. При выборе ограничивающих величин Центр решает следующую задачу:
, (8.5)
, D
i
0. (8.6)
Это – задача линейного программирования с m ограничениями и n переменными. Данная задача имеет решение, так как область допустимых
решений не пуста (нулевой вектор удовлетворяет ограничениям (8.6))
и область (8.6) замкнута, а на замкнутой области непрерывная и дифференцируемая функция всегда достигает максимума. То есть существует
вектор (D1, ..., Dn), который является решением задачи (8.5) – (8.6) и который можно найти либо симплекс-методом, либо, если размерность задачи
позволяет, графическим способом.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]