Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 15. Согласование общих и частных интересов нескольких независимых Агентов
161
Или, с учетом ограничений,
Найдена оптимальная стратегия каждого Агента. Рассуждая аналогично, получим Парето-оптимальное решение.
Напомним, что при системной согласованности соответствующие компоненты равновесия по Нэшу и Парето-оптимального решения должны
совпадать, а это при данных функциях общего и частного дохода возможно, когда все Агенты являются индивидуалистами, а это возможно, ко-
гда выполняются условия
α
α
α
.
Отметим в качестве вспомогательного результата исследования модели данного примера, что при степенных функциях Агентам невыгодно
быть коллективистами, да и Принципалу не нужно, чтобы Агенты были
коллективистами.
Пример 2. Пусть в СОЧИ-модели функция общего дохода степенная
с положительным показателем, меньшим единицы, а функция частного дохода – линейная.
,
,
При нахождении равновесия по Нэшу условие первого порядка дает
систему:
α
α
, откуда
α
α
.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
162
Или, с учетом ограничения,
Стратегию каждого Агента не удается найти отсюда. Условие первого
порядка помогает найти только суммарное количество ресурсов, которое
должно тратиться на общие цели с точки зрения каждого Агента.
Рассуждая аналогично при нахождении Парето-оптимального решения, найдем общее количество ресурсов, которое должны потратить на общие цели все Агенты с точки зрения Принципала:
Здесь min – номер Агента, у которого величина pi минимальна. Заметим, что индивидуалистов здесь не может быть ни с точки зрения Агентов, ни с точки зрения Принципала. А значит, системная согласованность
будет только в случае, когда все Агенты являются коллективистами, а это
возможно, когда
выполняются условия
α
α
, т. е. когда
всем Агентам значительно больший доход приносит общая деятельность, чем частная. Либо же системная согласованность возможна, если
α
при s
min
= 1.
Как мы уже заметили, при помощи условий первого порядка можно
найти только общее количество ресурсов, которое должны все Агенты
направить на реализацию общих интересов. Но как должен поступить каждый Агент, сколько ресурсов именно он должен потратить на общие цели,
если он имеет представление о том, сколько всего ресурсов должно быть
потрачено на общие цели? Сформулируем алгоритм определения конкретного ui на примере рассуждений Принципала (Агент рассуждает аналогично с точностью до коэффициента si перед функцией c в его целевой
функции).
Глава 15. Согласование общих и частных интересов нескольких независимых Агентов
163
1. Перенумеруем игроков по возрастанию величин pi. То есть под но-
мером один будет значиться игрок с номером min.
2. Если у игрока 1 хватает нужного Принципалу количества ресурсов (если
выполняется условие
α
α
), то
α
α
,
. Конец алгоритма.
Если же ресурсов у первого игрока не хватает, т. е. если
α
α
, то первый
игрок тратит все имеющиеся у него ресурсы
, а остальные ре-
сурсы в количестве
α
α
выделят на общие цели другие Агенты.
3. Переходим к Агенту 2. Если у него хватает ресурсов восполнить
недостающее количество
α
α
на общие цели, т. е. если
α
α
,
то
α
α
,
, конец алгоритма, в противном случае
,
а остальные ресурсы в количестве
α
α
выделят на общие цели
другие Агенты.
4. Переходим к очередному Агенту i. В случае, если у него хватает
ресурсов, чтобы восполнить недостающее количество на общие цели, то
α
α
,
. Конец алгоритма. Если же у него ресурсов
для этого не хватает, то
, а остальные ресурсы в количестве
α
α
будут выделены другими Агентами.
5. Повторяем шаг 4 до тех пор, пока либо не найдется Агент, у которого
хватит ресурсов восполнить оставшуюся часть средств на общие цели (при
этом оставшиеся Агенты с большим номером все свои ресурсы выделяют
на частные цели), либо пока все Агенты не выделят все имеющиеся у них
ресурсы на общие цели.
В итоге получим следующую процедуру: необходимо найти номер
того Агента m, для которого
α
α
. Тогда
,
α
α
,
. Если же такого m не существует, то все
.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
164
Пример 3. Пусть в СОЧИ-модели функция частного дохода степенная
с положительным показателем, меньшим единицы, а функция общего дохода – линейная.
,
,
При нахождении равновесия по Нэшу выпишем условия первого порядка:
,
откуда компоненты равновесия по Нэшу:
.
Или, с учетом ограничений,
Это выражение определяет оптимальную стратегию каждого Агента.
Рассуждая аналогично, получим Парето-оптимальное решение, т. е. стратегии Агентов, оптимальные для Принципала:
Видно, что коллективистов в подобной системе нет, а значит , для
системной согласованности необходимо и достаточно, чтобы все
Агенты были индивидуалистами, что возможно в случае, когда
выполняются условия
α
. Эти условия говорят о том, что
частная деятельность дает Агентам значительно больший доход, чем
общая.
Пример 4. Пусть в СОЧИ-модели и функция общего дохода, и функция частного дохода – линейные. Получим модель
,
Глава 16. Экономический механизм управления в СОЧИ-модели
165
,
в которой равновесие по Нэшу имеет компоненты
а Парето-оптимальное решение
Видно, что системная согласованность будет только в случае, когда
все Агенты являются коллективистами или индивидуалистами, а это
возможно, когда выполняется либо условие либо условие
.
Зад а ния
В условиях функций своего варианта задания, данного в конце главы
13 для СОЧИ-модели независимых Агентов, для n = 4 Агента:
1. Найти равновесие по Нэшу.
2. Найти Парето-оптимальное равновесие.
3. Найти индекс системной согласованности и общественный индекс
системной согласованности.
Задачу решать с конкретными заранее выбранными значениями
параметров модели. (Заметим, что здесь придется переназначить параметры, так как уже поменялось количество Агентов с двух до четырех.)
Гла ва 16. Эконом ически й механ изм уп р авлени я
в СОЧ И-модел и
В главе 15 рассмотрены СОЧИ-модели нескольких Агентов, а также
введены функция общественного благосостояния и индекс системной
согласованности. Также выведено условие системной согласованности
СОЧИ-модели, при котором индекс системной согласованности равен
максимально возможному значению – единице.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
166
Но если брать абсолютно любую систему, соответствующую СОЧИмодели, понятно, что нельзя ожидать, что условие системной согласованности само по себе выполнится. Возможно, что система и будет согласованной или близка к ней, но вероятность этого все-таки низка, и ожидать
это и рассчитывать на это мы не можем. Скорее всего, в общем случае система нуждается в координации, ей нужна помощь извне, которая приведет ее если не к согласованному состоянию, то насколько можно ближе
к нему [Горбанева, 2017].
Для приведения системы, соответствующей СОЧИ-модели, к согласованному виду введем над ней верхний уровень – Принципал, который призван максимизировать общественное благосостояние и, тем
самым, максимизировать индекс системной согласованности. То есть
в обязанности Принципала входит такое воздействие на Агентов, которое приведет к тому, чтобы Агент добровольно выбрал действие,
желательное для всей системы, – план (и тогда модель станет системно
согласованной) или хотя бы действие, как можно близкое к плану (и тогда модель станет слабо согласованной). Но какими способами Принципал может воздействовать на Агента? Мы рассмотрим два вида воздействия: на множества допустимых управлений (административный механизм управления) и/или на целевую функцию Агентов (экономический
механизм управления). Все эти воздействия могут использовать или не
использовать обратную связь по управлению. При использовании обратной связи Принципал выбирает свою стратегию в зависимость от выбора
Агента: «Я поступлю таким образом, если ты сделаешь так». Если обратная связь не используется, то Принципал сразу выбирает конкретное значение своей стратегии, не ставя ее в зависимость от конкретного выбора
Агента.
В случае отсутствия использования обратной связи возникает иерархическая игра типа Г1, равновесие в которой есть равновесие по Штакельбергу; в случае же использования обратной связи возникает иерархическая игра типа Г2, равновесие в которой находится при помощи теоремы
Гермейера. Таким образом, при помощи комбинации рассмотренных вариантов возникают четыре типа механизмов управления, показанные
в табл. 16.1.
Глава 16. Экономический механизм управления в СОЧИ-модели
167
Таблица 16.1
Механизмы управления ведущего
Воздействие ведущего:
Без обратной связи
(Г1) – игра
Штакельберга
С обратной связью
(Г2) – обратная игра
Штакельберга
На множества допустимых
управлений Агентов (адми-
нистративное)
,
На функции выигрыша
Агентов (экономическое)
Административные механизмы управления в СОЧИ-модели реализуются посредством выбора Принципалом нижней границы qi, меньше которой Агенты не могут выделять ресурсы на общие цели. При этом множе-
ство стратегий Агента теперь зависит от этой величины, т. е. .
Экономические механизмы управления в СОЧИ-модели реализуются посредством выбора ведущим значений si. При этом целевая функция Агента
теперь зависит не только от выбора своей стратегии, но и от стратегии
Принципала, т. е. .
Схема применения экономического механизма управления в СОЧИмодели изображена на рис. 16.1.
Рис. 16.1. Структура моделируемой системы при экономическом механизме управления
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
168
Определение. Механизм управления в СОЧИ-модели является согла-
сованным по отношению к заданному относительному критерию, если при
его применении ИСС = 1 [Горбанева, 2017].
То есть «механизм управления является согласованным, если в результате оптимальной реакции игроков на его применение модель оказывается системно согласованной» [Горбанева, 2017]. В этом случае Принципал выполнил свою работу идеально. Но, к сожалению, не всегда это
зависит от Принципала. В некоторых СОЧИ-моделях нет согласованного
механизма. Это означает, что ни один из всевозможных механизмов не
может привести модель к системной согласованности. В таких случаях
предлагается решить задачу системной согласованности в слабой форме,
а именно построить механизм управления, при котором значение индекса
системной согласованности максимально. В [Горбанева, 2017] доказано,
что решение задачи в слабой форме существует, единственно и выведен
его вид.
Оставшаяся часть данной главы посвящена исследованию экономических механизмов управления, а исследование административных механизмов управления вынесено в следующую главу.
Для начала рассмотрим экономические механизмы управления без обратной связи. Напомним, что в этом случае Принципал до выбора Агентами своих стратегий назначает заранее выбранные им доли участия в об-
щем доходе, т. е. . Однако известно, что при выбранных кон-
стантных параметрах модели системная согласованность в модели внутри
отрезка [0, 1] невозможна, т. е. для достижения системной согласованности в модели необходимо, чтобы все Агенты образовывали два класса:
класс индивидуалистов и класс коллективистов.
Пример 1 (линейная СОЧИ-модель). Рассмотрим линейную спецификацию СОЧИ-модели:
; (16.1)
(16.2)
Будем считать, что , иначе задачи сочетания интересов
не стоит. Из условий первого порядка, выписанных для нахождения
Глава 16. Экономический механизм управления в СОЧИ-модели
169
равновесий по Нэшу и Парето-оптимального решений, получаем оптимальные стратегии Агентов как с их точки зрения, так и с точки зрения
Принципала:
Заметим, что в этом случае не выявлено внутренних оптимальных точек, поэтому необходимое условие системной согласованности выполнено. Для определения выполнения достаточных условий системной согласованности введем следующие множества:
(постоянные индивидуалисты);
(постоянные коллективисты).
(управляемые индивидуалисты);
(управляемые коллективисты).
Множества постоянных индивидуалистов и коллективистов определяются как объективные свойства модели (16.1) – (16.2) и не зависят от
управления Принципала. Это – коллективисты и индивидуалисты с точки
зрения Принципала. А вот с точки зрения Агента желание быть индивидуалистом или коллективистом зависит от управления Принципалом
. Для системной согласованности достаточно, чтобы Принципал смог подобрать управление , при которых постоян-
ные множества совпадут с управляемыми. Значит, должен существовать
вектор , при котором .
Заметим, что т. е.
. Если Принципалу выгодно, чтобы Агент был индивидуа-
листом, то и самому Агенту тем более выгодно быть индивидуалистом,
поэтому Принципалу специально ничего делать не нужно, чтобы побудить
Агента быть индивидуалистом.
Симметричное для коллективистов утверждение неверно: пусть
выполняется , но . Если Агент с точки
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
170
зрения Принципала должен быть коллективистом, то это не значит,
что Агенту выгодно быть им. Для этого Принципалу надо постараться.
В частности, при малых долях участия в общем доходе (в том числе и при
отказе Агенту в участии в общем доходе) Агент становится индивидуалистом.
Аналогично легко видеть, что
. То есть если Агентам
выгодно быть коллективистами, то Принципалу тем более выгодно, чтобы
эти Агенты были коллективистами.
Итак, надо подобрать такие управления Принципала, чтобы множества
постоянных и управляемых индивидуалистов и коллективистов совпали.
Чтобы найти оптимальные управления , Принципал должен решить за-
дачу дискретной оптимизации:
(16.3)
(16.4)
Если коллективистов с точки зрения Принципала не должно быть, т. е.
, то модель системно согласована для . В этом случае
,
(сообщество индивидуалистов).
Если же, по мнению Принципала, в системе должны быть коллективи-
сты, т. е. , то в случае
Принципал может добиться со-
гласованности системы, положив для них (коллективистов)
ε
,
так что
. Тогда
, и модель системно согласована.
В частности, если все Агенты, по мнению Принципала, должны быть
коллективистами, то , то
(сообщество коллективистов).
В общем же случае, когда, по мнению Принципала, должны быть и кол-
лективисты, и индивидуалисты ( ), но
, то си-
стемной согласованности добиться невозможно. Но возможно решить задачу согласованности в слабой форме.
Здесь . Так как выполняется , то возможно
включить любого в ; таким образом, задача (16.3) – (16.4) сво-
дится к построению множества
, такого, что
.
Эту задачу можно свести к задаче динамического программирования.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]