Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 14. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
151
Учитывая ограничение на u1, получаем окончательный вид оптимальной стратегии верхнего уровня
Как видно, если нижнему уровню выгодно хоть какую-то долю выделить на общие цели, верхний уровень может заставить нижний потратить
все средства на общие цели.
Рассмотрим каждую ветвь равновесия по Штакельбергу в отдельности
(рис. 14.3):
Рис. 14.3. Исходы игры (14.6) – (14.7)
1) u = (0; 0), если p2 > (1 – s)c / ln a либо p1 >sc / ln a. Это соответствует
случаю, когда хотя бы одному из Агентов значительно больший доход
приносит частная деятельность, чем общая. Выигрыши игроков в данном
случае: g1 = p1, g2 = 0.
2) u = (1; 1), если p2 < (1– s)c / 2 ln a и p1 < sc / 2 ln a. Это соответствует
случаю, когда оба Агента получают значительно больший доход приносит
от общей деятельности, чем от частной. При этом: g1 = sc, g2 = (1– s)c.
p
2
p
1
I
II
IV
III
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
152
3) u = (sc / (p1 ln a) – 1; 1), если выполняются условия sc / 2 ln a < p1 < sc / ln a
и p2 < p1(1 – s)/s. Выигрыши игроков:
,
.
4) u = ((1 – s)c / (p2 ln a) – 1; 1), если (1 – s)c / 2 ln a < p2 < (1 – s)c / ln a
и p2 > p
1
(1 – s) / s. Выигрыши игроков
,
.
Сравнение решения в случаях независимых и иерархически свя-
занных Агентов. Выявлено, что при иерархии не может быть ситуации,
когда одному из игроков выгодно все ресурсы потратить на частные цели,
а второму – нет. А вот при равноправии такая ситуация возможна. Один
Агент при равноправии может потратить на частные цели все свои ресурсы, и это не мешает другому Агенту потратить какую-то часть ресурсов, а то и все, на общие цели.
Каждый из рассмотренных нами примеров и в этой главе, и в предыдущей сопровождался разделением первой четверти плоскости p1Op2 на
несколько областей. На каждом рисунке для каждого Агента есть две
критические кривые, разделяющие области качественно различного поведения участника при выборе своей стратегии. В случаях некоторых
производственных функций подобные критические кривые могут вырождаться в 0 или бесконечно удаленную точку либо совпадать между
собой.
Рассмотрим общий случай такого разбиения области, при котором
каждый игрок имеет две различные критические области, а значит,
три принципиально различные области поведения. Тогда в случае
равноправия имеется всего девять таких областей, а в случае иерархии – пять.
Для простоты восприятия эти критические линии заменим лучами.
При коэффициентах частной деятельности, лежащих ниже (левее для второго участника) первой критической кривой (зона I), участнику выгодно
все имеющиеся у него ресурсы тратить на общие цели, т. е. такой Агент
является коллективистом, он выбирает стратегию «альтруизма». При коэффициентах частной деятельности, лежащих выше (правее для второго
участника) второй критической кривой (зона III), участнику выгодно все
Глава 14. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
153
имеющиеся у него ресурсы тратить на частные цели, т. е. такой Агент
является индивидуалистом, он выбирает стратегию «эгоизма». При коэффициентах частной деятельности, лежащих выше (правее) первой, но
ниже (левее) второй критической кривой (зона II), участнику выгодно
часть ресурсов потратить на общие цели, а оставшуюся часть на частные
цели (рис. 14.4 и 14.5).
Рис. 14.4. Случай равноправных участников
Рис. 14.5. Случай иерархической структуры
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
154
То есть нижняя левая область на обоих рисунках соответствует
случаю, когда все ресурсы тратятся на общие цели. Это область всегда
ограничена. Верхняя правая область соответствует случаю, когда все ресурсы тратятся на частные цели. Она неограниченна. Середина левой части и середина нижней части соответствуют случаю, когда один Агент
тратит все ресурсы на общие цели, а другой – лишь часть. Средняя область соответствует случаю, когда оба Агента тратят часть ресурсов на
общие цели, а часть – на свои частные цели.
Читатель может сравнить рисунки соответствующих одинаковым функциям общих и частных интересов в предложенных в этой и предыдущей
главах в примерах для равноправных и иерархических Агентов. Области
для соответствующих примеров будут отличаться по аналогии отличий областей на рис. 14.4 и 14.5.
Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод: с позиции общих
интересов равноправие предпочтительнее иерархии, что, согласно рис.
14.4 и 14.5, объясняется наличием обширной зоны III в иерархическом случае, при которой если один участник попал в зону III, то и второй участник
попадает в эту зону вне зависимости от истинного его положения на плоскости. Интерпретация сказанного такова: если один участник иерархической лестницы все средства забирает себе на частные цели, то на общественные цели не пойдет ничего. Область, соответствующая случаю, когда
оба участника тратят ресурсы лишь на частные цели в случае равноправия
(рис. 14.4) Агентов, не так обширна, как в случае иерархии (рис. 14.5), хотя
тоже неограниченна.
В связи с тем, что с точки зрения общих интересов равноправие предпочтительнее иерархии, далее будем рассматривать только системы равноправных Агентов.
Зад а ния
Исследовать СОЧИ-модель с двумя Агентами в двух постановках,
в случае, когда Агенты связаны иерархически, если функции общих интересов c(x) и частных интересов Агентов p1(x), p2(x) заданы в соответ-
ствии с вариантом. Задачу решать с конкретными заранее выбранными
значениями параметров модели. (Параметрами модели являются все
Глава 15. Согласование общих и частных интересов нескольких независимых Агентов
155
буквенные величины, кроме u1 и u2.) Провести сравнение результатов
с результатами случая равноправных Агентов, исследованного в задании главы 13.
1) , k > 1; ;
2) ;
, k > 1;
3) ;
, k > 1;
4) ;
, 0 < α < 1;
5) , a > 1; ;
6) ; , a > 1;
7)
, λ > 0; ;
8) ;
, λ > 0;
9) , k > 1; ;
10) ; ;
11)
; ;
12) ;
.
Для всех вариантов i = 1, 2, , c > 0.
Гла ва 15. Соглас ование общих и частн ых инт ересов
нес кольки х незав исимых Агентов
В предыдущих двух главах мы рассматривали модель сочетания об-
щих и частных интересов с двумя участниками в случаях равноправных
и иерархически связанных Агентов. В этой главе рассмотрим СОЧИ-модель нескольких равноправных Агентов [Горбанева, 2017]. Кроме того,
с этого момента мы будем рассматривать только модели равноправных
Агентов, так как в главе 14 было показано, что равноправие для общих интересов предпочтительнее иерархии.
Построим СОЧИ-модель нескольких равноправных Агентов. Для этого
введем необходимые множества и прочие обозначения.
Обозначим за N = {1, 2, …, n} – множество равноправных Агентов, пе-
ред каждым из которых стоит задача распределения имеющихся у них ресурсов между общими с некоторой группой субъектов и своими частными
интересами. Реализация общих интересов дает эффект в виде дохода, который полностью распределяется между Агентами.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
156
СОЧИ-модель нескольких равноправных Агентов:
, (15.1)
(15.2)
где
‒ ресурс, имеющийся у Агента;
u
i
– количество ресурсов из
, которое Агент выделяет на общие цели;
‒ целевая функция Агента;
‒ функция частных интересов Агента, зависящая от коли-
чества ресурсов, которые оставил Агент на реализацию частных
интересов; ‒ функция общего дохода, которая зависит от
того, сколько ресурсов все Агенты выделили на общие цели;
‒ доля общественного дохода, доставшаяся Агенту.
Рассматриваемая система изображена на рис. 15.1.
Рис. 15.1. Структура моделируемой системы
Предполагается, что функции и
монотонно возрастают по своим
аргументам и при нулевых значениях своего аргумента имеют нулевое
значение, т. е. , . Интерпретация этих требований оче-
видна: чем больше ресурсов вкладывается в дело, тем большую полезность оно дает. Если ресурсы в дело не вкладываются, то полезности от
дела нет.
c(u1, …, un)
u
n
s1
r1 - u1
rn - un
p1(r1 - u1)
s
n
1
pn(rn - un)
n
u
1
Глава 15. Согласование общих и частных интересов нескольких независимых Агентов
157
Модель (15.1) – (15.2) является игрой в нормальной форме, решением
которой является равновесие по Нэшу.
Введем функцию, которая будет выражать интересы группы (или об-
щества):
(15.3)
Подобная функция представляет собой функцию общественного благосостояния. Интерес всей группы представляет собой сумму интересов
всех участников, которая учитывает общий интерес всей группы и частные интересы каждого ее участника.
Введем в рассматриваемую модель (15.1) – (15.3) индекс системной
согласованности (ИСС), для определения которого введем сначала некоторые обозначения.
‒ множество равновесий по Нэшу в игре (15.1) ‒
(15.2),
‒ наименьшее значение функции
общественного благосостояния при исходах игры, являющимися равнове-
сиями по Нэшу;
– исход, при котором обществен-
ное благосостояние максимально, т. е.
.
Интерпретация величины u
i
max
‒ действие Агента, желательное для
общества. Вектор
с учетом утилитарности функции общественного благосостояния представляет собой Парето-оптимальное равновесие.
Определение 1. Индекс системной согласованности в модели (15.1) ‒
(15.3) есть отношение значения функции общественного благосостояния
при наихудшем равновесии по Нэшу к ее максимальному значению:
.
Очевидно, что ИСС . Чем ближе ИСС близка к единице, тем эф-
фективнее равновесие и тем меньше необходимости в координации
СОЧИ-модели. Если ИСС = 1, то координировать исходную СОЧИ-модель не нужно. И наоборот. Чем меньше индекс системной согласованности, тем менее эффективнее равновесие и исходная СОЧИ-модель нуждается в координации.
Определение 2. Модель системно согласована, если ИСС или, что
то же самое, если для всех Агентов u
i
NE
= u
i
max
.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
158
Введем также величину «общественного индекса системной согласо-
ванности»
,
где
,
.
Общественный индекс системной согласованности (ОИСС) характе-
ризует эффективность равновесий только с точки зрения общих интересов, в отличие от показателя ИСС, который учитывает и частные интересы Агентов.
Также введем в рассмотрение два множества Агентов.
Определение 3. Индивидуалистами назовем тех Агентов, которые тра-
тят все имеющиеся у них ресурсы на частные цели: I = {i | ui = 0}.
Определение 4. Коллективистами назовем тех Агентов, которые тратят
все имеющиеся у них ресурсы на общие цели: C = {i | ui = ri}.
Иногда мы будем также использовать множество С ' = {i | 0 < ui < ri} –
множество тех Агентов, которые не все ресурсы потратили на частные
цели, т. е. Агентов, не являющихся индивидуалистами.
Далее будем считать, что функции общей и частной деятельности, помимо указанных выше свойств, обладают свойствами непрерывности и вогнутости по своим аргументам.
В [Горбанева, 2017] приведены доказательства следующих утверждений.
Утверждение 1. В игровой постановке СОЧИ-модели (15.1) – (15.2)
существует единственное равновесие по Нэшу.
Утверждение 2. В игровой постановке СОЧИ-модели (15.1) – (15.3)
существует единственное Парето-оптимальное равновесие.
Утверждение 3. Процедура распределения ресурсов каждым Агентом
между общими и частными интересами при помощи распределения по
Нэшу является монотонной по ресурсам (RM).
Утверждение 4. Процедура распределения ресурсов каждым Агентом
между общими и частными интересами при помощи Парето-оптимального
распределения является монотонной по ресурсам (RM).
Социально-экономическая интерпретация результатов утверждений 3–4
довольна проста: чем больше ресурсов выделено Агенту, тем больше он
получит дохода и от частной, и от общей деятельности как по отдельности,
так и в совокупности.
Глава 15. Согласование общих и частных интересов нескольких независимых Агентов
159
Утверждение 5. Процедура распределения ресурсов каждым Агентом
при помощи распределения по Нэшу является немонотонной по населению (PM).
Утверждение 6. Процедура распределения ресурсов каждым Агентом
при помощи Парето-оптимального распределения является немонотонной
по населению (PM).
Социально-экономическая интерпретация результатов утверждений
5 и 6: большее количество Агентов способствует большему доходу от реализации частных интересов, но меньшему доходу от реализации общих
интересов.
Следствие 1. Из утверждения 5 следует, что равновесная по Нэшу процедура распределения ресурсов Агентом между частными и общими интересами не является анонимной.
Следствие 2. Из утверждения 6 следует, что Парето-оптимальная про-
цедура распределения ресурсов Агентом между частными и общими интересами не является анонимной.
Интерпретация следствий 1 и 2: Агент по-разному относится к общим и к частным интересам, так как доход от частной деятельности
Агенту приходится создавать самому, а вот при создании дохода от общей
деятельности он может положиться на других членов группы.
Утверждение 7. В игровой постановке СОЧИ-модели (15.1) – (15.3)
системная согласованность в модели может иметь место только при определенном разбиении множества Агентов на два класса: класс индивидуалистов и класс коллективистов (N = C U I).
То есть каждый Агент должен относиться или к индивидуалистам,
или к коллективистам.
Но разбиение Агентов на эти два класса – лишь необходимое условие
системной согласованности. То есть не любое разбиение множества Агентов на индивидуалистов и коллективистов дает системную согласованность в СОЧИ-модели.
Для достаточности системной согласованности нужно, чтобы классы
индивидуалистов и коллективистов совпадали при равновесии по Нэшу
и Парето-оптимальном решении.
Разберем примеры СОЧИ-моделей нескольких Агентов, в которых функции общих и частных интересов линейные и степенные вогнутые.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
160
Пример 1. Пусть и функция общего дохода, и функция частного до-
хода – степенные с положительным показателем, меньшим единицы. Тогда модель имеет вид
,
,
Для нахождения равновесия по Нэшу выпишем условия первого по-
рядка:
Заметим, что правая часть общая для всех Агентов, а значит левые ча-
сти, соответствующие всем Агентам, равны между собой:
.
Выразим все ui через u
1
:
α
. Произведем подста-
новку переменных в систему и сведем ее к одному уравнению на переменную u
1.
.
После некоторых эквивалентных математических преобразований по-
лучим
,
,
.
Откуда
α
α
α
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]