Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 12. Задача управления составом организационной системы
131
7)
№ 1 2 3 4 5 6
ri 9 13 7 9
11 1 ci 6 3 6 5 2 6
ui 7 8 8 5 9 8
8)
№ 1 2 3 4 5 6
ri 6 7 5 11 8 7
ci 6 5 7 7 0 6
ui 0 1 5 6 7 7
9)
№ 1 2 3 4 5 6
ri
11 2 12 5 5
10
ci 1 10 2 2 0 6
ui 2 0 5 6 9 7
10)
№ 1 2 3 4 5 6
ri 8 15
10
10 5 16
ci
15 3 10 0 4 1 ui 4 1 2 0 3 0
11)
№ 1 2 3 4 5 6
ri 5 2 9 5 5 6
ci 0 0 0 0 6 2
ui 9 9 4 1 0 7
12)
№ 1 2 3 4 5 6
ri
12 1 6
10 7 2
ci 1 0 8 5 0 10
ui 4 5 9 9 5 7
132
МО Д УЛ Ь 4
МО Д ЕЛ И С О ЧЕ Т АН И Я О Б Щ И Х И Ч А С Т Н Ы Х
ИН Т ЕР Е СО В А К Т И В Н Ы Х А Г Е Н Т О В
Гл а ва 13 . М о д е л и с о че т ан и я
об щ их и ч а с т н ых ин т ер е со в ( С О Ч И - м од е ли ) .
Сл у ча й р а вн о п р а в ны х А г е н т ов
Представим некое объединение людей или более укрупненных структур. Это могут быть семья, политическая партия, отдел организации, вся
организация, город, страна, планета и др. Все Агенты объединены одной
общей целью, той, ради которой и создавалось объединение. Но каждый
Агент объединения имеет и свои частные цели. Все эти цели, как частные,
так и общие, требуют вложения ограниченных для каждого Агента ресурсов, таких как время, силы, деньги. Иными словами, модели распределения
имеющихся у Агента ресурсов между общими и частными интересами
и есть СОЧИ-модели. Заметим, что в данной модели рассматривается система с сильно связанными Агентами, так как целевая функция каждого
Агента зависит не только от выбора им своей стратегии, но и от выбора
другими Агентами своих стратегий, а именно от того, сколько другие
Агенты выделят средств на общие цели.
Прототипом для моделей сочетания общих и частных интересов
(СОЧИ-модели) является модель отечественных ученых Гермейера – Вателя [Гермейер, Ватель, 1974]. Ю. Гермейер и И. Ватель впервые построили математические модели распределения однородных невозобновимых ресурсов с учетом того, что их владельцы, кроме своих собственных
частных интересов, имеют общие с некоторой группой людей интересы,
на которые также требуется выделение ресурсов. Основатели направления в качестве целевой функции Агента рассматривали «свертку по
минимуму»:
при условии
. Некоторые их последователи рассмотрели вари-
ант целевой функции в виде свертки по максимуму:
.
Глава 13. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
133
СОЧИ-модели же представляют собой линейную свертку по минимуму
или максимуму:
.
Рассмотренные модели являются универсальными, область их приме-
нения варьируется от разработки стратегии защиты от возможной ядерной
войны до сравнения экономических стратегий развивающихся областей и стран при социализме и капитализме.
А. А. Васин обобщил модели Гермейера – Вателя. В его моделях целе-
вая функция индивида «связана, помимо индивидуального потребления
и выживания, с выживанием и ростом включающих его супериндивидов»
[Васин, 1995, 2005]. Супериндивид – «самовоспроизводящаяся структура,
которая использует человеческую популяцию как ресурс для собственного
воспроизводства и способная влиять на динамику поведения в этой популяции» [Гумилев, 1993]. Стратегией индивида является распределение его
времени и других ресурсов на разные виды деятельности. В качестве супериндивидов принимаются сам индивид, его семья и различные группы,
в которые он входит, например организация, нация, соседи, соратники по
хобби и т. д.
Каковы же отличия СОЧИ-моделей от модели Гермейера ‒ Вателя?
Во-первых, как мы уже говорили, в моделях Гермейера ‒ Вателя целе-
вая функция представляет собой свертку по минимуму общих и частных
интересов участников системы. В СОЧИ-моделях общие и частные интересы Агента комбинируются при помощи линейной свертки.
Рассмотрим содержательную интерпретацию использования различных видов сверток при сочетании интересов. Свертку по минимуму используют для моделирования интересов систем, в которых каждый показатель является жизненно важным. Неприемлемые значения одного из
показателей исключают существование всей системы. Например, модель
«трое в лодке» [Гермейер, Ватель, 1974], в которой каждый из участников
заинтересован доплыть до берега. Это требует от него участия в гребле,
что требует вложения сил (в качестве ресурсов здесь выступают силы
человека). Но помимо общего интереса доплыть до берега, каждый из
участников имеет и свой частный интерес, допустим, отдохнуть, поесть,
поспать и набраться новых сил. И тут можно проследить жизненную важность реализации каждого вида интереса. Если человек в лодке не будет
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
134
тратить силы, чтобы грести, то есть вероятность, что двое оставшихся
в лодке не справятся с греблей и лодка до берега не доплывет. Следовательно, без реализации общего интереса (в виде достижения берега лодкой) реализация частных интересов (в виде отдыха и экономии сил) бесполезна. Но и наоборот. Если человек будет только грести, не отдыхая,
есть вероятность, что он не рассчитает свои силы и не доживет до берега.
Нужен баланс сил.
Также приведем пример применения свертки по минимуму для модели
выживания стран в случае угрозы ядерной войны. Каждое государство
в условиях военной угрозы тратит ресурсы на создание военной мощи, которая увеличивает вероятность того, что противники не нападут на государство, а значит, ядерная война не начнется. Но нельзя забывать и о мирных интересах страны – развитие экономики, медицины, образования,
культуры, повышение качества жизни населения. И тут можно проследить
жизненную важность реализации каждого вида оговоренных целей. Если
весь бюджет государства будет уходить только на развитие социальных
и экономических показателей страны и повышение качества жизни, такое
государство не сможет защитить себя и своих граждан от произвола со стороны враждебных государств. Если же весь бюджет государства будет
уходить только на создание военной мощи, то это обеспечит военную безопасность страны, но не спасет ее население от других напастей из-за низкого уровня развития медицины и экономики. Как видно, и здесь нужен
баланс. В таких случаях используется свертка по минимуму.
Что касается свертки по максимуму, то она используется тогда, когда
все показатели взаимозаменяемы и не сказываются на существовании системы. Ведь нередко индивидуум использует ресурсы в том направлении,
где видит наибольший эффект от их вложения. Это соответствует девизу «займусь я тем, что у меня лучше всего получается». Обычно человек
применяет такой подход при выборе профессии.
Линейная же свертка вполне может применяться для моделирования
интересов экономических систем. При помощи линейной свертки комбинируются важные для субъекта показатели, причем существование
системы не прекращается при неудачных значениях одного показателя.
Линейная свертка позволяет увеличивать значения одного показателя
и сводить на нет значения других показателей.
Глава 13. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
135
Во-вторых, модели Гермейера – Вателя учитывают только равноправ-
ных участников, которые могут объединяться для достижения своих целей. Для исследования таких моделей применяется теория игр, в том числе
кооперативных. В СОЧИ-моделях сама система, в которых равноправные
участники распределяют ресурсы между общими и частными интересами,
являются подсистемами для более крупных систем иерархического плана.
Для исследования СОЧИ-моделей наряду с играми в нормальной форме
применяются иерархические игры.
Рассмотрим СОЧИ-модели двух лиц, которые могут быть связаны
между собой различным образом. Участники системы могут быть равноправными [Горбанева, 2017], а могут быть связаны иерархическими соотношениями [Горбанева, 2013].
В данной главе мы рассмотрим СОЧИ-модели в системах равноправных Агентов. В следующей главе изучим СОЧИ-модели, в которых один
Агент подчиняется другому Агенту.
Итак, имеется два равноправных Агента A1 и A2. Каждый из этих Агентов имеет некоторое количество ресурсов ri. Часть средств ui каждый из
этих распорядителей передает для целевого использования, оставшуюся
часть оставляет себе на нецелевые расходы. Доход от общей деятельности
c делится между двумя участниками полностью в долях s и 1 – s соответственно (рис. 13.1).
Рис. 13.1. Структура моделируемой системы
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
136
Модель строится в виде игры двух лиц в нормальной форме, в которой
ищется равновесие по Нэшу. В функцию выигрыша каждого Агента включаются два слагаемых: доход pi от нецелевой деятельности и соответствующая доля дохода c от целевой деятельности системы. Функции выигрыша имеют следующий вид:
,
при ограничениях
и условиях на функции p, s и c
0,
i
i
u
p
0,
i
i
u
s
, i = 1, 2.
Под перечисленные условия в качестве функций p и c подходят степен-
ные, линейные, показательные и логарифмические функции относительно
переменных u1 и u2.
Стратегией Агента является количество ui средств, направляемых на
общие цели. Агенты делают свои ходы одновременно, выбирая и сообщая
свои оптимальные стратегии u1 и u2. В связи с этим равновесием в игре
является равновесие по Нэшу, которое и находится в рассматриваемых
далее примерах.
Пример 1. Исследуем случай, когда функции целевого и нецелевого
использования ресурсов являются степенными с показателем 0 < α < 1.
В этом случае функции выигрыша имеют вид
α
α
,
α
α
.
Найдем равновесие по Нэшу в этом случае. Найдем частные производ-
ные gi по ui.
α
α
α
α
,
α
α
α
α
.
Решив данную систему уравнений, получим
α
α
α
α
α
α
,
α
α
α
α
α
α
.
Глава 13. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
137
Выразим u1 через u2 и наоборот:
α
,
α
,
или, с учетом ограничений,
α
α
α
Аналогично,
α
α
α
В итоге теоретически возможны 4 исхода (рис. 13.2). Перечислим их.
Рис. 13.2. Исходы игры в примере 1
α
α
p
1
III
II
I
p
2
α
α
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
138
1) Исход (0; 0), если
α
и
α
. Но
насколько мы видим, это – противоположные условия. То есть этот случай нереализуем.
2) Исход
, если
. На рис. 13.2
эта область обозначена I.
3) Исход
, если
. На рис. 13.2
эта область обозначена II.
4) Исход (u
1
*
, u
2
*
), если выполняются условия
и
.
На рис. 13.2 эта область обозначена III.
Пример 2. Рассмотрим случай линейных функций общего и частного
дохода, когда доля участия в доходе участника системы пропорциональна
величинам ui, т. е.
, ,
,
,
.
В этом случае функции выигрыша имеют вид
,
при локальных ограничениях Агента
, i = 1, 2.
Найдем равновесие по Нэшу:
Рассуждая по аналогии с предыдущим случаем, получим
В случае линейных функций общей и частной деятельности участни-
кам выгодно вкладывать ресурсы либо только в реализацию частных
Глава 13. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
139
интересов (стратегия чистого «эгоизма»), либо только в реализацию общего интереса (стратегия чистого «альтруизма»).
Теперь рассмотрим различные модели, функции общей и частной деятельностей в которых не являются производственными одновременно.
Пример 3. Рассмотрим случай, когда функция дохода от нецелевой
деятельности линейна, функция дохода от целевой деятельности логарифмическая, т. е.
, ,
, ,
В этом случае функции выигрыша имеют вид
, (13.1)
(13.2)
при ограничениях
, i = 1, 2.
Найдем равновесие по Нэшу. Условия первого порядка дают:
Как мы видим, теоретически возможны девять различных случаев.
Рассмотрим их:
1) (0;0), если
В этом случае
. На рис. 13.3
эта область отмечена I.
2)
если
На рис. 13.3 эта
область отмечена II. В этом случае
,
.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
140
Рис. 13.3. Исходы игры (13.1) – (13.2)
3)
симметричный случаю 2. Отдельно рассматривать не
будем. На рис. 13.3 соответствующая область обозначена III.
4)
при произвольном u1 или
при произвольном u
2
. Это возможно при условиях ,
. Соответствующая об-
ласть – это отрезок IV на рис. 13.3, выделенный жирной линией (расположен под наклоном).
5)
. Это возможно при условиях
. Соответствующая область на рис. 13.3 отмечена V.
Выигрыши участников
,
6) Симметричный к случаю 5 случай
. Соответству-
ющая область обозначена на рис. 13.3 областью VI.
p
2
p
1
I
IX
VII
VI
II
III V VIII
IV
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]