Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 16. Экономический механизм управления в СОЧИ-модели
171
Ведущим назначается вектор s, компоненты которого
ε
Введем множества ‒ множество из первых
m Агентов множества С
0
, которые являются коллективистами ,
‒ множество из первых m Агентов множе-
ства С
0
, которые являются чистыми индивидуалистами , и функ-
цию A(m, L) =
‒ максимальное значение целе-
вой функции на множестве Cm(s) при условии
.
Заметим, что
, . Рассмотрим промежу-
точное значение функции A(m, L), 1 ≤ m ≤ n, 0 ≤ L ≤ K. Для Агента с номером m возможны два варианта:
1) Агента m невыгодно включать во множество Сm(s), если A(m, L)
равно максимальному значению функционала А, в котором участвует m – 1
Агентов, т. е. A(m, L) = A(m – 1, L) + kmrm.
2) Агента m выгодно включить во множество Сm(s), если A(m, L) равно
значению A(m – 1, L – km) + Krm.
Выбором максимального из двух значений
A(m, L) = max{A(m – 1, L), A(m – 1, L – km) + rm},
получаем рекуррентное соотношение с начальными условиями ,
. При помощи данного рекуррентного соотношения
получаем задачу динамического программирования максимизации общественного благосостояния A(N, K) при условии
и оптималь-
ного распределения Агентов на множества C(s) и I(s).
Пример 2 (степенно-линейная СОЧИ-модель). Рассмотрим следующую
модель:
; (16.5)
(16.6)
.
Выписав условия первого порядка для равновесия по Нэшу и Парето
оптимального решения, получим следующие оптимальные стратегии
с точки зрения Агента и Принципала:
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
172
Таким образом, системная согласованность в модели (16.5) – (16.6) будет достигаться только, если все Агенты будут индивидуалистами с точки
зрения Принципала, а это возможно, если
.
(16.7)
В этом случае
для любого .
Заметим, что в этом случае ничего не зависит от управления Принципала. Важно, чтобы ему самому нужно, чтобы Агенты были индивидуалистами. Если же ему самому это невыгодно, то, к сожалению, системной
согласованности в данной модели добиться нельзя, но можно решить задачу согласованности в слабой форме, т. е. максимизировать индекс системной согласованности механизмом экономического управления.
Для этого необходимо решить следующую задачу дискретной оптимизации:
при ограничении
.
При этом
.
Эта задача сводится к следующей:
. Условие первого порядка дает:
при огра-
ничении . Умножение на
дает систему
λ
λ
′
Глава 16. Экономический механизм управления в СОЧИ-модели
173
Для нахождения и нужно сделать следующее: 1) выразить
через
из первого уравнения; 2) подставить полученное выражение во второе
равенство и найти ; 3) выразить величину обратно в выражение из 1)
и найти соответствующие
.
При заданном λ первое уравнение можно решить аналитически мето-
дом Кардана (решение опущено в связи с громоздкостью) или численно.
Как только получено вещественное решение, подходящее под ,
можно сделать следующие выводы:
1. Решение существует, только если . Переписывая уравнение
в виде
, получим λ в связи с положительной левой
частью и отрицательными членами в числителе в скобках справа.
2. Когда , существует только вещественное решение
уравне-
ния,
Найдем производную выражения
λ
λ
:
.
Производная положительна, поэтому функция возрастает в ,
и если корень уравнения существует, то он единственный. Докажем, что корни уравнения существуют и удовлетворяют
Найдем значения функции f на концах заданного отрезка:
,
.
Учитывая непрерывность , свойство доказано.
3. возрастает по . Найдем производную
неявной функции:
, или ′
λ
λ
, откуда
следует:
4.
возрастает по λ.
Поэтому можно подобрать такое , что
Таким образом,
задача с несколькими переменными сводится к задаче с одной переменной.
Задачу можно решить методом дихотомии, в котором левая граница сег-
мента равна
:
(например,
), а правая граница до-
статочно большая
:
′
.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
174
Пример 3 (линейно-степенная СОЧИ-модель). Рассмотрим следующую
спецификацию модели:
;
.
Будем считать, что .
Напомним, что в предыдущей главе были найдены оптимальные стра-
тегии участников системы с точки зрения Агентов и Принципала:
Здесь min – номер Агента, у которого величина pi минимальна. А зна-
чит, системная согласованность возможна только в случае, когда все
Агенты являются коллективистами. Но для этого Принципалу придется
подобрать такие si, чтобы каждый Агент выбрал стратегию «альтруизма»,
т. е. чтобы выполнилось условие
α
α
. С учетом ограниче-
ния
это возможно при
α
α. Либо же си-
стемная согласованность возможна, если
α
при si = 1, т. е. весь об-
щий доход идет одному Агенту, при условии, что у него хватает ресурсов, чтобы нужное фиксированное количество ресурсов направить на
общие цели.
Рассмотрим задачу о системной согласованности в слабой форме.
Пусть
α
α
, но
α
α, т. е. Принципалу
действительно выгодно, чтобы все Агенты были коллективистами, но
у него недостаточно средств, чтобы побудить всех Агентов отдать все
Глава 16. Экономический механизм управления в СОЧИ-модели
175
ресурсы на общие цели. Тогда, вспомнив об алгоритме, определяющим
конкретные стратегии Агентов (глава 15, пример 2), получим вид функции
общественного благосостояния:
.
Условие первого порядка дает sk = 1, откуда следует, что тогда только
этот Агент не будет индивидуалистом, так как остальным Агентам придется назначить si = 0. Но тогда k = min, т. е. всего назначить s
min
= sk = 1
тому Агенту, у которого минимально p
min..
Пусть
, но
α
, т. е. ресурсов первого Агента не
хватает Принципалу на общие цели. Тогда Принципал получит в качестве
ресурсов, потраченных на общие цели, лишь r1.
Пример 4 (степенно-степенная СОЧИ-модель). Рассмотрим следую-
щую спецификацию модели:
;
;
.
Напомним оптимальные стратегии участников системы с точки зрения
Агента и Принципала (глава 15, пример 1):
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
176
Видно, что системная согласованность будет только в случае, когда все
Агенты являются индивидуалистами, а это возможно, когда
выполня-
ются условия
α
α
α
. Или, с учетом преобразований,
α
α
α
, что невозможно. Следова-
тельно, в данном случае системная согласованность невозможна.
Но Принципал может повысить индекс системной согласованности,
т. е. решить задачу согласованности в слабой форме. Для тех Агентов, для
которых выполняется условие
α
α
α
, назначается доля
участия в общем доходе , и дальнейшего участия в целевой функции
Принципала они не принимают. Тогда
.
при ограничениях
. Аналитически решить задачу не удается,
необходимо применить численные методы.
Мы рассмотрели примеры экономических механизмов в СОЧИ-моде-
лях без обратной связи. Теперь рассмотрим экономические механизмы
с обратной связью, при которых Принципал назначает долю участия в общем доходе для Агента в зависимости от того, какую стратегию тот вы-
брал (т. е. ), или от того, какую стратегию выбрали все Агенты
(т. е. ).
Используя условия первого порядка, получено, что системная согласо-
ванность внутри области допустимых управлений возможна лишь при
.
Глава 16. Экономический механизм управления в СОЧИ-модели
177
Для дальнейшего анализа использованы два подхода: эмпирический
и теоретический. В рамках эмпирического подхода проанализированы на
сильную согласованность широко распространенные на практике способы
распределения общего дохода.
Рассмотрим, например, механизм пропорционального распределения
Утверждение 1. Механизм пропорционального распределения явля-
ется согласованным только в случае линейной функции общего дохода.
(Проверить это утверждение предлагается читателю.)
Возможны и другие механизмы экономического управления, например,
иначе
(16.8)
который распределяет общественный доход только между «чистыми» коллективистами. Заметим, что в этом случае всем игрокам остаются лишь две
рациональные стратегии: .
Утверждение 2. Механизм распределения (16.8) не является согласо-
ванным.
Также в качестве примера можно привести механизм
иначе
(16.9)
при котором общий доход распределяется между теми Агентами, которые
поступают так, как нужно всей группе (обществу). Заметим, что этот механизм исследовать сложно, так как Агент, выбирая свою стратегию, не
знает, сколько Агентов выберут
, а следовательно, на какую
часть от общего дохода ему рассчитывать при выборе им стратегии, нужной обществу. Оптимальная реакция Агента на механизм (16.9) имеет вид
=
+−
=
+−
=
−
−−
−
−−
,
|}:{|
),(
)()(,0
,
|}:{|
),(
)()(,
)(
max
max
max
max
max
jj
ii
iiiiiii
jj
ii
iiiiiiii
i
opt
i
uuj
uuc
urprpUu
uuj
uuc
urprpUuu
su
т. е. одна из двух допустимых стратегий доминирует другую и тем самым
является доминантной. Но вопрос об оптимальной реакции остается
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
178
открытым, если обе стратегии недоминируемые. Однако в [Горбанева,
2017] доказано:
Утверждение 3. Механизм распределения (16.9) не является согласо-
ванным.
В рамках теоретического подхода решается задача синтеза механизма
при помощи теоремы Гермейера, на основе которой в [Горбанева, 2017]
доказано:
Утверждение 4. Экономический механизм с обратной связью при
теоретическом подходе в случае, когда функция общего дохода и функция частного дохода степенные с показателем, меньшим единицы, или
линейные в любой комбинации, является согласованным.
Приведем здесь лишь доказательство этого утверждения в случае, ко-
гда и функция общего дохода, и функция частного дохода линейные. Применим теорему Гермейера к модели:
,
,
Для этого найдем стратегию наказания Принципала для Агента
, т. е.
найдем такую стратегию Принципала, при которой целевая функция
Агента минимальна. Так как целевая функция Агента возрастает по вели-
чине , то стратегия наказания
.
Теперь найдем множество оптимальных реакций Агента
на стра-
тегию наказания. При
функция Агента
убывает по своей стратегии, откуда оптимальная реакция Агента на
стратегию наказания есть , т. е.
. При этом доход
Агента равен
. Доход Принципала при угрозе применить стра-
тегию наказания равен
. Мы пишем «при угрозе», потому что Прин-
ципал может угрожать ее применить, но применить совсем другую, что
отражается в формуле для величины K2, а именно: Принципал все-таки
осуществляет поиск стратегии si, максимизирующей функцию общественного благосостояния, которая может не совпасть (а скорее всего, и не совпадет) со стратегией наказания.
Глава 16. Экономический механизм управления в СОЧИ-модели
179
Найдем множество стратегий Di Принципала, при которых доход
Агента больше Li – дохода при применении Центром стратегии наказания:
.
Это возможно только при
.
Найдем величину K1 – максимально возможный доход Центра при
условии, что и у Агентов доход выше того, который они получают при
применении Центром стратегии наказания:
.
Как уже было найдено в предыдущей главе,
Докажем, что при этом можно подобрать
, что гаранти-
рует выгодность стратегии
для Агента. Для тех Агентов, у которых
, это можно обеспечить стратегией
(раз доход Агента дол-
жен быть строго выше, чем L
j
), для остальных Агентов
.
В силу естественного условия
, это возможно при
. Так как для каждого слагаемого выполняется соотношение
, то неравенство
′
′
выполняется, а в силу экви-
валентности преобразований и первоначальное неравенство справедливо,
что говорит о том, что в данном случае механизм побуждения с обратной
связью системно согласован. Утверждение для линейных функций общего и частного доходов доказано.
Зад а ния
Для модели задания, приведенного в главе 15, для функций своего ва-
рианта найти согласованный (или слабо согласованный) экономический
механизм управления. Параметры модели, участвующие в данном задании, оставить теми же, какие были в предыдущем задании. Заметим, что
параметрами не являются величины, значения которых ищутся в модели,
т. е. si и ui, i = 1, …, 4.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
180
Гла ва 17. Админи стратив ный ме х ани зм упр авления
в С ОЧИ-мод ели
В предыдущей главе рассматривались экономические механизмы
управления, которые целесообразно применять для достижения системной
согласованности. При применении экономических механизмов верхний
уровень (Принципал) воздействует на целевую функцию нижнего уровня
(Агента). Что касается СОЧИ-моделей, то это воздействие выражается
в определении доли участия Агента в общем доходе. Наряду с экономическим механизмом управления применяются административные механизмы,
которые влияют на множество допустимых стратегий Агентов, например,
сужая его. В случае СОЧИ-моделей Принципал ограничивает снизу количество ресурсов, направляемых Агентом на развитие частных интересов.
Итак, рассмотрим введение в СОЧИ-модель административного механизма управления [Горбанева, 2017], при котором Принципал, цель
которого – максимизация общественного благосостояния, задает вектор
q = (q1, q2, …, qn), больше и (или) меньше соответствующей компоненты qi
Агент с номером i не может потратить ресурсы на общие цели.
Напомним, что функция общественного благосостояния имеет вид
.
Так как в интересах Принципала – максимизировать общественное благосостояние, то обычно и в качестве целевой функции Принципала принимается функция общественного благосостояния. Но поскольку контроль
предполагает затраты на его выполнение, то в случае введения административного механизма целевая функция Принципала должна учитывать
затраты на контроль. Поэтому целевая функция Принципала имеет вид
,
которая максимизируется при ограничениях
.
В этом случае область допустимых управлений Агента сужается, т. е.
; следовательно, Агент может выбрать стратегию с учетом
. Это – случай задания ограничений на величину ui в абсолют-
ном выражении. Другими словами, величина qi – конкретное количество
ресурсов, меньше которого Агент не может потратить на общие цели. Недостаток такого подхода – невозможно задать общее для всех Агентов
одно значение, ниже которого Агент не может потратить на общие цели.
Представим, что Принципал задает нижнюю границу q = 100 000 руб.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]