Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 1. Задача о справедливом разделе пирога
11
Вторым усложнением модели справедливого разделения пирога является учет реальных интересов участников. До этого момента под интересами участников понималось получить пирог размером, не меньшим
чем у других участников раздела. Но у всех ли у нас такой интерес?
Наверное, да. Но до определенного момента. Если бы счастье людей зависело лишь от размеров пирога, доставшегося им… 99 % населения
нашей планеты были бы счастливыми. По этой причине большая часть
детей являются счастливыми людьми. К сожалению, для взрослого человека этого недостаточно. А иногда и не является необходимым. Никого не удивляют случаи, когда мать отдает свой кусок пирога ребенку,
когда жена отдает большую, а иногда и лучшую часть ужина мужу (кормильцу), когда человек просто отказывается от торта (не любит, диета),
или не отказывается, но берет кусок из вежливости к предлагающим пирог хозяевам. И заметьте, никто из упомянутых участников не сч итает
данную ситуацию несправедливой. Тогда что же в этом случае понимать
под справедливостью?
Для ответа на этот вопрос предположим, что у каждого участника есть
своя функция полезности, параметром которой служит длина полученного куска, т. е. ui = ui (Ai – A
i – 1
). И под справедливостью в данном случае
будем понимать получение лицом полезности от полученного куска пирога не меньшей, чем полезности, полученные другими лицами от своих
кусков.
Третьим усложнением модели послужил учет неоднородности пирога.
На одной части пирога могут быть кондитерские узоры в виде изображений красных, розовых и желтых цветов, зеленых листьев, шоколадных
и ореховых вставок, на другой части пирога этого может не быть. И тогда
для некоторых участников ценность разных кусков пирога даже одинакового размера будет разной.
В случае неоднородного пирога полезность Агента от доставшегося
ему куска пирога можно выразить в виде
, где fi (x) –
функция плотности полезности i-го Агента, удовлетворяющая свойствам
неотрицательности, непрерывности и нормализованности на всем пироге
(т. е.
).
Из вышесказанного можно увидеть, что этой задачей занимается немало западных ученых. Но зачем взрослым (!) ученым людям понадоби-
Модуль 1. Элементы теории справедливого и эффективного раздела
12
лось столько времени уделять исследованию детской задачи справедливого раздела пирога?
Потому что делиться может не только пирог. Что еще в данной задаче
может предполагаться или подразумеваться под пирогом? Каким свойствам должен удовлетворять ресурс, чтобы к нему можно было применять
результаты решения задачи деления пирога?
Финансы подходят? Нет. Связности нет. Предполагаемый ресурс должен обладать свойствами связности и непрерывности. То есть делиться мо-
жет не только пирог, но и земля, время и прочие аналогичные ресурсы, для
деления которых используется процедура деления пирога.
Такие ученые, как Дж. Барбанел, С. Брамс, У. Стромквест, А. Прокацциа, впервые применили алгоритм деления пирога не к пирогу, а к гетерогенному ресурсу типа земли, времени, месторождений полезных
ископаемых, включая минералы и топливо, чистую воду, между несколькими равноправными, но имеющими разные интересы участниками
[Barbanel, 1996; Barbanel, Brams, 2004; Barbanel, Brams, Stromquest, 2009;
Brams, Taylor, 1995, 1996; Brams, Taylor, Zwicker, 1997; Stromquist, 1980,
2008; Procaccia, 2009, 2013].
Рассмотрим некоторые оговоренные выше моменты по отношению
к земле или времени. Вспомним процедуру деления Финка. Да-да, ту самую, при которой для раздела пирога между четырьмя лицами нужно провести двадцать четыре разреза. И представим, что делится земля между четырьмя участниками по этому правилу. То есть участок земли пришлось
разделить на 24 надела и каждому лицу досталось по 3! = 6 наделов, расположенных в разных концах делимого участка. Делимая земля также бывает
неоднородна: холмы, наличие водных источников, растительность и т. д.
А теперь представим, что при помощи процедуры Финка делится временной период в 28 · 4 = 112 дней для отпусков между четырьмя сотрудниками. Этот период разбили на 24 части (по 4–5 дней каждая). И каждому
участнику досталось по шесть таких несмежных частей. При распределении времени трудовых отпусков тоже может возникнуть проблема неоднородности. Например, многие сотрудники предпочитают брать отпуск летом,
и неделя отпуска летом может оказаться ценнее месячного отпуска зимой.
Среди современных ученых, занимающихся задачей справедливого раздела пирога, можно указать следующих: Н. Алон [Alon, 1987], С. Дж. Брамс,
Глава 1. Задача о справедливом разделе пирога
13
А. Д. Тейлор [Brams, Taylor, 1995, 1996; Brams, Taylor, Zwicker, 1997],
Дж. М. Робертсон, В. А. Вебб [Robertson, Webb, 1998] – решали эту задачу
математически; Э. Мулен, И. Каражианнис, Х. Курокава, А. Прокацциа,
Н. Ша и Дж. Вонг [Caragiannis, Kurokawa, Moulin, Procaccia, Shah, Wang,
2016], Е. Моссель и О. Таммус [Mossel, Tamuz, 2010] – занимались задачей справедливого разделения пирога алгоритмически.
Как видим, несмотря на то, что имеется много трудов по справедли-
вому разделу пирога, работы в этом направлении еще достаточно.
Среди всех прочих работ следует выделить работы Фрэнсиса Эдварда Су,
который применяет для решения задачи справедливого раздела пирога методы
геометрической и топологической комбинаторики, используя топологические пространства [Su, 1999]. Ученый представляет пирог в виде n-мерного
симплекса, где n – количество Агентов. Рассмотрим эту модель на примере
трех игроков. Пирог, делящийся между тремя Агентами, представляется частью плоскости x + y + z = 1, расположенной в первом октанте (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Трехмерный симплекс для модели раздела пирога между тремя участниками
Каждая точка полученного симплекса представляет собой определенное деление пирога. Долю x от пирога получает первый игрок, долю y –
второй игрок и долю z – третий. Например, точки (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)
означают, что весь пирог достается только соответственно первому, второму
и третьему игрокам. Точка (0; 0,7; 0,3) означает, что первому игроку
пирога не достается, второму игроку достается часть 0,7, а третьему – 0,3.
Точка (0,3; 0,5; 0,2) означает, что первому игроку достается 30 % пирога,
второму – половина, третьему – пятая часть.
Модуль 1. Элементы теории справедливого и эффективного раздела
14
Каждому Агенту сопоставляется область, в которую входят точки раздела, устраивающие его, т. е. та область, разделения внутри которой Агент
считает справедливыми. Например, на рис. 1.2 штриховкой выделена область, устраивающая первого Агента, т. е. область его предпочтений.
Рис. 1.2. Симплекс, в котором выделена область предпочтений первого Агента
На рис. 1.3 показаны области предпочтений всех игроков, штриховкой
выделена их область пересечений, поиск которой и является целью решения задачи о справедливом разделе пирога. Фрэнсис Эдвард Су показывает
в своих работах, что таких областей пересечения может быть только нечетное количество – это может означать, что справедливое разделение пирога существует и, возможно, не единственное.
Рис. 1.3. Задача раздела пирога для трех игроков
Не менее интересен подход, предложенный в [Segal-Halevi, Hassidim,
Aumann, 2015; Sziklai, Segal-Halevi, 2015]. Авторы этих работ, считая пирог неоднородным, полагают, что он может содержать как хорошие, так
и плохие части. Например, пирог с подгоревшими частями или земля с каменистыми участками. Каждый участник имеет собственную функцию
плотности полезности на ресурсе. Функции плотности могут принимать
Глава 1. Задача о справедливом разделе пирога
15
любое вещественное значение – как положительное, так и отрицательное.
Требуется справедливо распределить между участниками такое имущество. Авторы адаптируют к данной ситуации стандартные процедуры
справедливого раздела пирога, разработанные для положительных оценок.
В частности, ученых интересовали процедуры без зависти со смежными
частями.
При разбиении пирога на n интервалов каждый Агент имеет одну или
несколько предпочтительных частей, ценность которых для Агента самая
высокая. В отличие от обычной задачи раздела пирога, Агент может предпочесть пустой кусок, ценность которого равна 0. Это происходит, когда
значение ценности всех непустых кусков отрицательно. Когда пирог содержит как хорошие, так и плохие куски, ситуация более сложная, так как
в каждой точке Агент может предпочесть либо пустой кусок, либо непустой. Разделение, свободное от зависти, в данном случае – это разделение,
в котором каждый Агент получает один из своих предпочтительных кусков.
Авторам вышеуказанных работ удалось доказать, что такая процедура
существует для трех лиц. Правда, вместо деления без зависти возможно
лишь ɛ-беззавистное деление – деление, в котором для каждого Агента границы куска могут быть перемещены в лучшем случае на ɛ, так что в результирующем делении Агент считает, что его интервал не меньше, чем
любой другой интервал. Если ɛ достаточно маленькое (например, 0,01 миллиметра), то ɛ-беззавистное разделение беззавистно для всех практических
целей, поскольку движение 0,01 мм незаметно для человека.
Среди прочих работ, посвященных справедливому разделению пирога,
можно отметить [Bapat, 1989; Bei, Chen, Hua, Tao, Yang, 2012; Edmonds,
2011, Even, Paz, 1984; Musin, 2014; Woeginger, Sgall, 2007].
Зад а ния
1. Решить задачу о справедливом разделе пирога между тремя участни-
ками. Под справедливостью понимается равная полезность участников от
полученной части пирога. Длину пирога можно варьировать. Подобрать
два значения длины пирога: а) при которой справедливое деление существовало; б) при которой справедливое деление не существует.
1) , , .
2) , , .
Модуль 1. Элементы теории справедливого и эффективного раздела
16
3) , , .
4) , , .
5) , ,
.
6)
, , .
7) , , .
8) , , .
9) , , .
10) , , .
11) , , .
12) , , .
2. С подобранной в предыдущем задании (п. «а») длиной пирога ре-
шить задачу раздела последнего с теми же самыми функциями f, g и h при
помощи симплекса. Под справедливостью понимаются выполнения условий предпочтения игроков:
,
,
.
Гл а ва 2. Об щ а я з а д а ча р а с пр е де л ен и я р ес у р со в .
Эф ф ек т и в н о е и с п ра в ед л ив о е р ас п р е д е л ен и е.
Ие р а р х и ч е с к а я с и ст е ма
Сформулируем общую задачу распределения ресурсов. Имеется иерар-
хическая структура участников системы. Некоторые из участников системы располагают некоторым количеством ресурсов, которые необходимо распределить между другими участниками системы либо между
группами своих интересов в соответствии с индивидуальными предпочтениями распределяющего ресурсы субъекта.
Подробнее остановимся на каждом из встречаемых понятий в опреде-
лении. Начнем с понятия иерархической системы.
Иерархическая система, согласно определению, данному в [Месаро-
вич, Мако, Такахара, 1973], удовлетворяет трем свойствам:
1. Вертикальная соподчиненность, или декомпозиция [Месарович, Мако,
Такахара, 1973]. Каждая иерархическая система состоит из нескольких
Глава 2. Общая задача распределения ресурсов. Эффективное и справедливое…
17
подсистем, которые вертикально соподчинены, и только из них; эти подсистемы взаимодействуют между собой (рис. 2.1, взят из [Месарович,
Мако, Такахара, 1973]). Примечательно, что под трудноопределяемыми
понятиями «системы» или «подсистемы» имеются в виду преобразования
входных данных в выходные. Какое преобразование здесь имеется в виду?
Возможно, это процедура, содержащая действия для решения проблемы.
Эта процедура содержит список конкретных операций, которые должны
быть выполнены в определенное время и могут быть связаны между собой
определенной последовательностью. Но это также может быть и реальное
динамическое преобразование, соответствующее определенному процессу
с заранее заданным детерминированным алгоритмом и последовательно
выполняемыми операциями. Считается, что взаимодействие со средой
происходит на самом низком уровне, хотя не исключено, что входные
и выходные потоки могут соответствовать всем возможным уровням. То
же самое можно сказать о взаимодействии между уровнями. Обычно считается, что взаимодействие происходит между соседними уровнями. Но не
исключено взаимодействие между другими уровнями. Также это свойство
называют «последовательное вертикальное расположение подсистем».
Рис. 2.1. Иерархическая система
Модуль 1. Элементы теории справедливого и эффективного раздела
18
Примером такой системы может служить система образования в университете. В качестве вертикально соподчиненных уровней можно рассматривать «Декан» ‒ «Заведующий кафедрой» ‒ «Преподаватель» ‒ «Студент». Под входом имеются в виду результаты ЕГЭ, с которыми абитуриент поступает учиться в университет, правила приема в университет,
уровень подготовки студентов, их работоспособность, уровень подготовки
и работоспособность преподавателей, материальная база университета,
материальная база семьи студента, его жилищные условия и т. д. Под выходом имеется в виду уровень подготовки выпускников вузов, их оценки.
Под преобразованием имеются в виду процесс подготовки вузом студентов, в частности, список дисциплин и практик, которые нужно пройти студентом, организация работы преподавателей, приказы деканов и ректора,
нормативная база вуза.
Обычно студенты взаимодействуют только с преподавателями, но
в некоторых ситуациях возможно обращение студентов напрямую к заведующему кафедрой или к декану. Так же как и преподаватели, которые в процессе своей рабочей деятельности взаимодействуют с заведующим кафедрой, к которой относятся. Но в исключительных случаях они
могут обращаться и к декану.
2. Право вмешательства верхнего уровня [Месарович, Мако, Такахара,
1973]. На деятельность подсистемы любого уровня непосредственное и яв-
ное влияние оказывают вышестоящие уровни, чаще всего ближайший
старший уровень. «Это воздействие носит для нижележащих уровней обязывающий характер и в нем находит свое выражение приоритет действий
и целей более высоких уровней. Это воздействие называется вмешательством». В системах, в которых процесс протекает в виде выполнения детерминированного алгоритма, вмешательством считается изменение входных параметров для подсистем нижестоящего уровня. Если же процесс
протекает в виде выполнения недетерминированного алгоритма, приоритет действий определяет порядок получения решений на разных уровнях.
В случае возникновения проблем в системе в первую очередь разрешить
ее нужно на вышестоящих уровнях. До этого момента решать ее на нижестоящих уровнях бессмысленно. Это свойство также называют «приоритет
действий верхнего уровня».
Глава 2. Общая задача распределения ресурсов. Эффективное и справедливое…
19
На примере иерархической системы вуза право вмешательства верхнего уровня очевидно. Именно преподаватель решает, какие требования
к знаниям студента на зачет предъявлять. Именно он подбирает вопросы
и задания к экзамену, а на экзамене решает, какую оценку поставить студенту. Именно заведующий кафедрой определяет, какие дисциплины ведет каждый преподаватель кафедры и сколько часов работает преподаватель. Именно декан решает, какие дисциплины ведутся на данной кафедре и сколько преподавателей на каждой кафедре могут работать.
Если студент долго не может сдать зачет или экзамен, эту проблему пытаются решить вышестоящие уровни: создается комиссия для сдачи задолженностей.
3. Взаимозависимость действий [Месарович, Мако, Такахара, 1973].
«Хотя вмешательство направлено сверху вниз, в виде отдачи приказов или
команд, успешность действия системы в целом и фактически элементов
любого уровня зависит от поведения всех элементов системы». То есть эффективность деятельности верхнего уровня зависит не только от своих
действий, но и от реакции на эти действия нижнего уровня. Иначе говоря,
непосредственное влияние на работу всей системы оказывает реакция
нижнего уровня на вмешательство, которое представимо в виде потока информации, идущего снизу на верх.
В приведенном нами примере системы университета также видна эта
взаимозависимость. Преподаватель подбирает задания для студентов для
закрепления материала. Но можно придумать сколько угодно заданий.
Если студент не посещает занятия и не выполняет домашние задания, то
толку от этих заданий не будет. Можно сколько угодно руководить научной работой студента, магистра, аспиранта. Но если студенты не работают над научными задачами, то данная работа преподавателя бесполезна, как и вся работа университета. В этом случае студенты не выполнят квалификационную выпускную работу или выполнят ее в последний
момент некачественно и уровень подготовки такого специалиста будет
под вопросом.
Выделяют различные виды иерархических систем. Примерами являются древовидная, веерная, ромбовидная и матричная системы.
Древовидная система – иерархическая система, каждая вершина которой (кроме верхней) подчинена только одной вершине. То есть для каждого
Модуль 1. Элементы теории справедливого и эффективного раздела
20
узла нижележащего уровня есть только одна вершина непосредственного
вышележащего уровня (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Древовидная система
Частным случаем древовидной системы является система веерного
типа – древовидная двухуровневая система, состоящая из одного элемента
верхнего уровня и нескольких элементов нижнего уровня (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Веерная система
Ромбовидная система состоит из одного элемента верхнего уровня, ко-
торому подчиняются два элемента среднего уровня, которым подчиняется
один элемент нижнего уровня (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Ромбовидная система
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]