Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 13. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
141
7)
. Это возможно при условиях
. Со-
ответствующая область на рис. 13.3 отмечена VII. Выигрыши участников
,
8)
– случай, симметричный случаю 7. На рис. 13.3 обозначен VIII.
9)
. Этот случай возможен при
.
Выигрыши участников . Соответствующая об-
ласть на рис. 13.3 отмечена IX.
Основной результат исследования СОЧИ-моделей двух равноправных
Агентов: чем больше коэффициент частной деятельности p, тем больше ресурсов пойдет на частные цели и тем раньше наступит предел, при котором
все ресурсы пойдут на частные цели. Этот же вывод можно будет сделать
и при исследовании СОЧИ-модели двух иерархически связанных Агентов.
Зад а ния
Исследовать СОЧИ-модель с двумя Агентами в случае, когда Агенты
равноправны, если функции общих интересов c(x) и частных интересов
Агентов p1(x), p2(x) заданы в соответствии с вариантом. Задачу решать
с конкретными заранее выбранными значениями параметров модели. (Параметрами модели являются все буквенные величины, кроме u1 и u2.)
1) , k > 1; ;
2) ;
, k > 1;
3) ;
, k > 1;
4) ;
, 0 < α < 1;
5) , a > 1; ;
6) ; , a >1;
7)
, λ > 0; ;
8) ;
, λ > 0;
9) , k > 1; ;
10) ; ;
11)
; ;
12) ;
.
Для всех вариантов i = 1, 2, , c > 0.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
142
Глав а 1 4 . Моде л и с о ч ет ан и я
об щ их и ч ас т н ы х и н те р е с ов ( СОЧ И -м од е ли ) .
Сл у ча й и е ра р хи ч е с к и с вя з а нн ы х А г е нт ов .
Ср авнен ие сл у ча е в и ер а р х и и и р а в но п ра в ия А ге н тов
В главе 13 мы начали изучать новый модуль – исследование моделей общих
и частных интересов (СОЧИ-модели), в которых каждый участник системы распределяет имеющиеся у него ресурсы между общими с некоторой группой людей интересами и своими частными. В прошлой главе мы исследовали СОЧИмодели двух равноправных Агентов. В этой же главе мы рассмотрим систему
иерархически связанных двух Агентов в СОЧИ-модели [Горбанева, 2013].
Итак, представим двухуровневую систему управления (рис. 14.1), состо-
ящую из одного элемента А1 верхнего уровня и одного элемента A2 нижнего
уровня. Здесь и далее индекс 1 относится к характеристикам верхнего уровня,
а индекс 2 – к характеристикам нижнего уровня. Верхний уровень имеет
некоторое количество ресурсов, которое примем за r. Часть полученных
средств он передает нижнему уровню на реализацию общих интересов (на
целевое использование ресурсов), оставшуюся часть оставляет на реализацию частных интересов (на нецелевое использование). В свою очередь, нижний уровень забирает часть средств на свои нужды, а остальное расходуется
на общие цели. И верхний, и нижний уровни участвуют в доходе от целевой
деятельности и имеют свои функции выигрыша. Оба участника системы распределяют ресурсы таким образом, чтобы значение их целевой функции, сочетающей общие и частные интересы, достигало максимального значения.
Рис. 14.1. Структура моделируемой иерархической системы
A
1
c(u1, u2)
u
1
u
2
s(u1, u2)
1 - u
1 - u
p1(1 - u1)
p2(u1, 1 - u2)
1 - s(u1, u2)
A
2
Глава 14. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
143
Примеров подобных систем можно привести множество. Это многочисленные ситуации с хищениями средств, предназначенных на определенные цели. Но это могут быть ситуации, укладывающиеся в рамки законодательства, в которых частные интересы вполне законны и не нарушают моральные нормы. Например, распределение бюджета страны по
уровням.
В качестве еще одного примера можно привести Агентство недвижимости. Агент недвижимости оказывает посреднические услуги продавцу при
продаже объекта, которые оплачивает покупатель. Директор Агентства
часть суммы, допустим 30 %, забирает себе, оставшуюся часть передает
дальше Агентству. Агент, продавший объект, от оставшейся суммы забирает себе положенные ему 15 %, остальное передает Агентству на его
нужды.
Рассмотрим математическую модель сочетания общих и частных интересов двух Агентов, связанных иерархическими отношениями.
Функции выигрыша имеют вид
–
(14.1)
–
(14.2)
при ограничениях
, i = 1, 2. (14.3)
Посмотрим, чем данная модель отличается от СОЧИ-модели равноправных Агентов.
1. Функции частных интересов. Эти функции в модели (14.1) – (14.3)
отличаются от аналогичных функций в СОЧИ-модели равноправных
Агентов, а именно в последних учитывается иерархичность структуры
в виде передачи ресурсов вниз по иерархической лестнице. То есть функция частных интересов каждого Агента зависит не только от ресурсов,
которые поступили в систему, и доли ресурсов, изъятых на текущем
уровне, но и от долей ресурсов, изъятых на предыдущих уровнях, но никак не от поведения последующих Агентов. По этой же причине функции
частных интересов отличаются не только от функций частных интересов
в СОЧИ-моделях равноправных Агентов, но и между собой. То есть
функция частных интересов верхнего уровня – не зави-
сит от той доли ресурсов, которую нижний уровень тратит на общее дело.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
144
А вот функция частных интересов нижнего уровня
зависит от того, сколько ресурсов передал ему на общие цели верхний
уровень.
2. Аргументы в функции общих интересов. Функция общих интересов
зависит от количества средств, которые оставляют Агенты на общие цели.
Но если в случае равноправных Агентов ui представляет собой количество
ресурсов, то на общие цели идет количество ресурсов, равное сумме ресурсов, которые Агенты направили на реализацию общего интереса. Так
как в модели (14.1) – (14.3) ui – доля ресурсов, переданных Агенту выше-
стоящим уровнем, то на общее дело идет , т. е. . Напри-
мер, если директор Агентства недвижимости забирает 30 % полученной от
клиента суммы, то далее вниз по иерархической лестнице он передает 70 %
суммы, от который 15 % идет Агенту, а остальное – 85 % собственно
Агентству. Иными словами, Агенту идет 15 % от 70 % начальной суммы,
т. е. Агент получает 0,15 · 0,7 = 0,105, т. е. 10,5 % от начальной суммы. На
нужды самого Агентства остается 85 % от 70 % первоначальной суммы,
т. е. 0,85 · 0,7 = 0,595, т. е. 59,5 % от первоначальной суммы.
Данная модель является иерархической игрой с двумя игроками. Стра-
тегией игрока системы является доля ui от имеющихся у него средств,
направляемая на общие цели. Право первого хода принадлежит Агенту
верхнего уровня, который выбирает и сообщает Агенту нижнего уровня
значение своей стратегии u1, после чего второй Агент выбирает оптимальную для себя стратегию u2. Для нахождения равновесия в игре будем находить равновесие по Штакельбергу.
Рассмотрим несколько частных случаев функций общей и частной де-
ятельности, соответствующих аналогичным частным случаям, изученным в предыдущей главе.
Пример 1. Рассмотрим сначала случай степенных функций общей
и частной деятельности, когда показатель степени α < 1 Примем началь-
ное количество ресурсов за единицу, т. е. r = 1.
В этом случае функции выигрыша имеют вид
,
1–
при ограничениях
i = 1, 2.
Глава 14. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
145
Нахождение равновесия по Штакельбергу проведем в два шага.
1. Сначала решим задачу оптимизации нижнего уровня, предполагая
значение u1 известным. Тем самым находим оптимальную реакцию Агента
u2 нижнего уровня на стратегию верхнего уровня u1.
Выпишем условие первого порядка:
,
откуда
,
которое удовлетворяет условию , причем является внутрен-
ней точкой отрезка [0,1] при p2 > 0 или c > 0. Будем считать, что так и есть,
т. е. у участника системы есть и частные, и общие интересы, которые он
пытается сочетать.
Условие второго порядка имеет вид
,
откуда видно, что найденная точка
– точка максимума.
2. Зная оптимальную реакцию Агента нижнего уровня на выбор
верхнего уровня, подберем стратегию последнего
, так, чтобы зна-
чение целевой функции верхнего уровня достигало максимального
значения.
Для этого подставим оптимальную стратегию Агента нижнего уровня
α
α
α
в целевую функцию Агента верхнего уровня:
.
Решим полученную задачу максимизации при ограничении .
Для этого выпишем условие первого порядка
,
откуда
.
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
146
Из условия второго порядка
,
откуда видно, что решение уравнения является точкой максимума.
Получили равновесие по Штакельбергу:
.
Выигрыши участников:
,
.
Пример 2. Рассмотрим случай линейных функций общего и частного
дохода
,
–
,
.
В этом случае функции выигрыша имеют вид:
, (14.4)
(14.5)
при ограничениях , i = 1, 2.
Найдем оптимальную реакцию нижнего уровня на выбор верхнего
уровня u1. Для проверки условия первого порядка найдем производную
функции g2 по переменной u2:
.
Значение найденной производной не зависит от переменной u2, следо-
вательно, внутренних точек экстремума на отрезке [0; 1] нет, поэтому
наибольшее значение функции нужно находить на концах отрезка, откуда
Глава 14. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
147
В отличие от случая степенных функций общего и частного дохода, при котором оптимальная доля ресурсов, которую следует потратить на общие цели, является внутренней точкой отрезка, здесь оптимальная доля ресурсов лежит на конце отрезка. Агенту либо выгодно все ресурсы потратить только на общие цели (коллективизм),
либо все ресурсы выгодно потратить только на частные цели (индивидуализм).
При решении задачи оптимизации верхнего уровня рассмотрим случаи, когда Агент нижнего уровня является индивидуалистом или коллективистом.
1)
(индивидуализм). Подставив полученную стратегию в це-
левую функцию Агента верхнего уровня, получим .
Так как функция убывает по u1, то оптимальная стратегия для элемента
верхнего уровня будет
. Интерпретация результата этого случая:
если верхний уровень знает, что нижний уровень все полученные от него
ресурсы потратит на частные цели, то он ничего нижнему уровню и не
передаст. Действительно, зачем? На общие цели ресурсы все равно не
пойдут, тогда лучше верхний уровень заберет себе.
2)
(коллективизм). Эта стратегия нижнего уровня при подста-
новке в целевую функцию верхнего уровня дает зависимость целевой
функции верхнего уровня от его стратегии
.
При формировании условия первого порядка найдем производную:
,
которая также не зависит от переменной u1, и значит, наибольшее значение функции также нужно находить на концах отрезка. Следовательно:
То есть как Агенту верхнего уровня, так и Агенту нижнего уровня выгодно все ресурсы потратить либо только на общие цели, либо только на
частные.
Равновесие по Штакельбергу можно выписать следующим образом
(рис. 14.2):
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
148
Рис. 14.2. Исходы игры (14.4) – (14.5)
Рассмотрим каждый случай в отдельности:
I. в случае, если либо (рис. 14.2), ин-
терпретация которого следующая. Если кому-то из двух участников независимо от уровня значительно больший доход приносит частная деятельность, чем общая, то ему невыгодно вкладывать ресурсы в общее дело.
И в этом случае независимо от уровня, который все ресурсы присвоил
себе, на общие цели ресурсы не остаются. Выигрыши участников системы
в данном случае: , .
II. в случае, если и (рис. 14.2). Если
обоим участникам значительно больший доход приносит общая деятельность, чем частная, то все ресурсы направляются только на об-
щие цели. Выигрыши участников системы в данном случае: ,
.
p1 sc
I
p
2
(1 - s)c
II
Глава 14. Модели сочетания общих и частных интересов (СОЧИ-модели). Случай…
149
Пример 3. Рассмотрим случай, когда функция дохода от нецелевой деятельности линейна, а функция дохода от целевой деятельности логарифмическая, т. е.
, 1 – ,
,
,
В этом случае функции выигрыша имеют вид
, (14.6)
– (14.7)
при ограничениях
, i = 1, 2.
Найдем равновесие по Штакельбергу в два шага. Сначала найдем оптимальную реакцию нижнего уровня на сообщение верхним уровнем
своей стратегии u1.
Условие первого порядка:
.
Получаем распадающееся уравнение. Случай u1 = 0 не представляет
собой практического интереса (хотя и не исключается), поэтому выразим u2:
.
При помощи условия второго порядка убеждаемся, что найденная
точка – точка максимума:
.
Учитывая ограничение на u2, заметим, что окончательный вид оптимальной стратегии нижнего уровня
Учтем эти три случая при решении задачи оптимизации верхнего
уровня. Рассмотрим три случая:
Модуль 4. Модели сочетания общих и частных интересов активных Агентов
150
1) u
2
*
= 0.
В этом случае g1(u1,0) = p1(1 – u1) + sc loga (1) = p1(1 – u1). Оптимальная
стратегия u
1
*
= 0, т. е. если верхний уровень знает, что нижний уровень все
полученные от него ресурсы потратит на частные цели, то он сам все ресурсы потратит на свои частные цели.
2)
.
В этом случае
.
Но и здесь, аналогично предыдущему случаю, функция g1 убывает
по u1. Нижнему уровню выгодно, чтобы на общие цели пошла вели-
чина
, и именно эту величину он потратит по возможности на
общие цели, оставляя излишки ресурсов на свои частные цели. Следовательно, учитывая убывание функции по u1, верхнему уровню выгодно как можно меньше ресурсов потратить на общие цели, чтобы
нижний уровень как можно меньше ресурсов выделил на свои частные
цели. Итак, верхнему уровню выгодно на общие цели направить ровно
столько ресурсов, сколько нижний Центр направляет на общие цели,
т. е. u
1
*
= (1 – s)c / (p2 ln a) – 1, тем самым заставляя нижний уровень
все эти ресурсы потратить на общие цели, т. е. верхний уровень может
заставить нижний уровень потратить все переданные тому ресурсы на
общие цели u2 = 1.
3) u
2
*
= 1.
В этом случае g1(u1, 1) = p1(1 – u1) + sc loga(1 + u1). Максимизируем эту
функцию с учетом условия 0 ≤ u1 ≤ 1.
Условие первого порядка дает
,
откуда
.
Условие второго порядка показывает, что u
1
*
является точкой макси-
мума.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]