Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели распределения ресурсов и коррупции. Учебное пособие
.pdf
Глава 3. Задача распределения ресурсов в иерархической системе управления…
31
верхней границей целого множества производственных возможностей
(рис. 3.2); вкладывая x
i
0
единиц ресурсов, можно получить выпуск продук-
ции в любом количестве из отрезка [0;
i
0
], а совсем необязательно в коли-
честве
i
0
, чем мы пренебрегаем, используя производственную функцию.
Рис. 3.2. Множество производственных возможностей (МПВ)
Чтобы побудить Исполнителя использовать свои производственные
возможности в наивысшей степени, следует учесть его интересы, например стремление к максимизации прибыли:
, (3.8)
где
– цена единицы ресурса для i-го Исполнителя.
Неизвестность параметров
Еще более существенно следующее предположение [Курбатов, Угольницкий, 1998]. Чтобы найти оптимальное решение по формуле (3.7) в виде
конкретных чисел, Центр должен знать производственные возможности
Исполнителей, характеризуемые значениями параметров ri. Но они-то как
раз Центру и не известны!
Конечно, Центр может запросить у Исполнителей значения параметров
r1, r2, …, rn; однако в ответ он получит набор значений, которые совсем не
обязательно совпадут с истинными. Чтобы показать, что Исполнителям мо-
жет оказаться выгодным искажать информацию о значениях ri, рассмотрим следующий простой пример.
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
32
Пример с тремя предположениями об информированности Центра
Пусть система «Центр – Исполнители» включает три элемента: собственно Центр и два Исполнителя, причем R = 100, r1 = 100, r2 = 10 [Курбатов, Угольницкий, 1998].
Тогда задача Центра (3.1) – (3.3) принимает вид
при ограничениях Центра
.
Рассмотрим различные варианты информированности Центра о производственных возможностях исполнителей.
1. Центр не располагает никакой информацией о производственных
возможностях Исполнителей. В этом случае наиболее естественным пред-
ставляется разделить имеющийся ресурс пополам: , откуда
,
, и суммарный
выпуск продукции
.
2. Центр знает, что первый Исполнитель обладает гораздо большими
возможностями, чем второй: положим , откуда
,
, и суммарный выпуск про-
дукции
.
3. Наконец, предположим, что Центр точно знает значения r1 и r2.
В этом случае оптимальное распределение ресурсов между Исполните-
лями по формуле (3.7):
, откуда
, , и суммар-
ный выпуск продукции
.
4. При справедливом распределении ресурсов между Исполнителями
по формуле (3.7):
,
откуда , ,
и суммарный выпуск продукции
. Заметим, что результаты при
этом получились противоположными по сравнению со случаем 3.
Таким образом, точная информация о производственных возможностях Исполнителей по сравнению с полным отсутствием позволяет Центру
получить значительный выигрыш
Глава 3. Задача распределения ресурсов в иерархической системе управления…
33
,
а по сравнению со случаем справедливого распределения
.
Однако, сравнивая значения выделенных ресурсов в вариантах 1 и 3,
легко понять, что Центр вряд ли получит от второго Исполнителя истинную информацию о производственных возможностях последнего [Курбатов, Угольницкий, 1998].
3.4. Игра и ее отличие о т оптимизации
Таким образом, углубленный анализ ситуации побуждает перейти от
оптимизационной постановки к теоретико-игровой, учитывающей интересы не только Центра, но и всех остальных элементов системы.
Построим бескоалиционную игру (n + 1)-го лица в нормальной форме
[Курбатов, Угольницкий, 1998]:
(3.9)
Здесь – множество игроков (Центр
и Исполнители
);
, {, i = 1, …, n – множества стратегий Центра;
, i = 1, …, n – множество стратегий Исполнителей;
, i = 0, …, n – критерии (целевые функции игроков).
Целевые функции в игре (3.9) определяются формулами (3.1), (3.8)
и формализуют интересы игроков: Центр стремится максимизировать суммарный выпуск продукции, а каждый Исполнитель – свою прибыль. Возможности игроков по достижению своих целей характеризуются множествами их стратегий, т. е. действий, числовые параметры которых определяют значения целевой функции (критерия оптимальности). В нашем
примере множество действий Центра включает величины выделяемых ре-
сурсов и цены на ресурсы
, а множество стратегий каждого Исполни-
теля – возможные значения реальных параметров
, сообщаемые Ис-
полнителем Центру.
Принципиальное отличие теоретико-игровой постановки задачи от оптимизационной состоит в том, что в ней отсутствует единый критерий
оптимальности [Курбатов, Угольницкий, 1998]. Действительно, в задаче
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
34
(3.1) – (3.3) с этой точки зрения все ясно: рассматривается один действую-
щий субъект (Центр), который стремится максимизировать функцию
при заданных ограничениях.
В игре (3.9) действующих субъектов несколько (Центр и n исполни-
телей), и каждый стремится максимизировать свою целевую функцию
. Ясно, что ситуация, допускающая одновременную максимизацию
нескольких целевых функций, является исключением. Поэтому возникает вопрос: что считать решением игры (проблема принципа оптимальности)?
Одним из наиболее широко применяемых принципов оптимальности
в бескоалиционных играх является равновесие по Нэшу. Поэтому задачу
Центра в игре (3.9) можно сформулировать так: найти равновесие по
Нэшу, при котором максимизируется значение функции
.
3.5. Экономия ресурсов
На основе схемы, приведенной выше, составим задачу экономии ресур-
сов, двойственную к задаче распределения ресурсов для максимизации конечного продукта [Лотов, 1984].
Центр располагает некоторым ресурсом в количестве R и распределяет
его между Исполнителями, каждому из которых достается xi единиц ресурса (i = 1, …, n, где n – число Исполнителей). Получив свою долю ресурса x
i
, i-й Исполнитель производит продукцию в количестве , где
– уже известная нам производственная функция, связывающая вели-
чины затрачиваемых ресурсов и выпускаемой продукции. Отметим, что
конечный продукт производится Исполнителем в количестве, удовлетворяющем множеству производственных возможностей
.
Центр же будет распределять ресурсы, исходя из того, что Исполни-
тели расходуют ресурсы эффективно, т. е. .
Так же, как и в предыдущем параграфе, в качестве производственной
функции возьмем
,
где – параметр, характеризующий производственные возможности
i-го предприятия.
Глава 3. Задача распределения ресурсов в иерархической системе управления…
35
Пусть требование выполнения плана по производству суммарного количества продукта имеет вид
, (3.10)
где Y – задано.
Требование экономии ресурсов приводит к следующей формулировке
целевой функции Центра:
(3.11)
при очевидных ограничениях
. (3.12)
Задача (3.10) – (3.12), так же как и задача (3.1) – (3.3), представляет
собой нелинейную задачу условной оптимизации и может быть решена методом множителей Лагранжа.
Построим функцию Лагранжа:
(3.13)
Выпишем необходимые условия экстремума (3.13):
,
.
Имеем
,
. (3.14)
Откуда
. (3.15)
Подставим полученное в (3.14):
.
Отсюда
,
или
.
Подставим полученное в (3.15), получим
. (3.16)
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
36
Это – точка экстремума. Для определения вида точки экстремума
нужно выписать матрицу вторых производных функции L и убедиться, что
она положительно определена (предоставим читателю возможность в этом
убедиться).
Следовательно, полученная точка – точка минимума задачи (3.10) – (3.12).
Соответствующий ей выпуск продукции:
. (3.17)
В итоге минимальные затраты ресурсов Центра
.
Посмотрим, как полученное оптимальное распределение ресурсов отвечает интересам Исполнителя.
Решение Агента
Ранее мы сформулировали задачу Агента (3.8):
,
где
– цена единицы ресурса для i-го Исполнителя.
Решим задачу Агента для производственной функции
.
Итак, решим задачу
,
.
Это самая легкая задача оптимизации – оптимизация функции одной
переменной. Найдем критические точки, для чего производную функции
приравняем нулю:
,
откуда
.
Используя условие второго порядка, убеждаемся, что это – точка мак-
симума. Видно, что она удовлетворяет соотношению .
Заметим, что оптимальное для Исполнителя количество ресурсов,
получаемое от Центра и используемое на производство, зависит от цены
ресурса. Естественно, чем ниже цена, тем больше ресурсов готов купить
Исполнитель, и наоборот.
Глава 3. Задача распределения ресурсов в иерархической системе управления…
37
Произвольные цены
Итак, оптимальное для Центра количество ресурсов, которое нужно
выделить Исполнителю, равно
.
Оптимальное же для Исполнителя количество ресурсов, которое он го-
тов купить по цене ci за единицу ресурса, равно
.
Возможны три ситуации [Лотов, 1984]:
.
В этом случае, по мнению Исполнителя, Центр выделил ему мало ресурсов. Ресурсы стоят дешево, и Исполнитель был готов купить большее
количество ресурсов. Тем не менее все полученные от Центра ресурсы Исполнитель направляет на производство. Ресурсы расходуются эффективно. Но Исполнитель получает меньший доход, чем он мог бы получить,
если бы ему позволили купить большее количество ресурсов. Эта ситуация
выгодна Центру, но не выгодна Исполнителю.
2.
.
В этом случае, по мнению Исполнителя, ресурсы стоят дорого, и он не
готов купить все ресурсы, предлагаемые ему Центром. Поэтому образуется избыток ресурсов, которые не используются для производства продукции. Исполнитель получает максимальный возможный доход, но ресурсы расходуются неэффективно. Центр не получает доход Y, следовательно, нарушается условие (3.10). Эта ситуация выгодна Исполнителю,
но не выгодна Центру, так как неиспользуемые данным Исполнителем ресурсы могли быть переданы другим Исполнителям.
3.
.
Самая выгодная ситуация и для Центра, и для Исполнителя. Ресурсы
стоят столько, что Исполнитель готов купить такое их количество, какое
готов предоставить ему Центр. Причем ресурсы расходуются эффективно,
все они идут на производство продукции.
Совпадение интересов Исполнителя и Центра
Понятно, что сама по себе эта ситуация скорее всего не произойдет.
Но Центр может целенаправленно создать такую ситуацию. То есть Центр
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
38
может и должен назначить Исполнителю такую цену на ресурсы, при которой происходит совпадение интересов всех участников системы [Лотов, 1984]. Чтобы найти эту равновесную цену, нужно решить уравнение
, т. е.
,
или
. (3.18)
Это и есть равновесная цена, при которой Исполнитель согласен ку-
пить такое количество ресурсов, которое нужно Центру. В данном случае
механизм назначения цены на ресурсы является экономическим механизмом, который побуждает Исполнителя поступить так, как нужно Центру.
Центру при этом удается сохранить свой выигрыш:
.
Выигрыш же Исполнителя:
.
откуда видно, что при оптимальном назначении цен половина дохода Исполнителя тратится на покупку ресурсов.
Зад а ния
Решить следующие задачи:
1) справедливого распределения ресурсов;
2) эффективного распределения ресурсов;
3) задачу экономии ресурсов (двойственную задачу к задаче 2);
4) найти механизм согласования цены в случае производственной функ-
ции Подчиненного в соответствии со своим вариантом.
1) , , i = 1, …, n.
2)
, , i = 1, …, n,
3)
, , i = 1, …, n,
Глава 4. Неполная информированность Центра при распределении ресурсов
39
4) , , i = 1, …, n,
5)
, , i = 1, …, n,
6) , , i = 1, …, n,
7)
, , i = 1, …, n,
8)
, , i = 1, …, n,
9)
, , i = 1, …, n.
10)
, , i = 1, …, n.
11)
, , i = 1, …, n.
12)
, , i = 1, …, n.
Гл а ва 4. Не п ол н а я и нф о рм и ро в ан н ос т ь Ц ен т ра
пр и р а сп р ед е ле н ии ре с ур с ов
В предыдущей главе мы решили задачу эффективного распределения
Центром ресурсов между Исполнителями и пришли к выводу, что оптимальное количество ресурсов, выделяемое Исполнителю, зависит от производственной мощности последнего.
Но Центр практически никогда не имеет (да и не может иметь) всей информации о возможностях производства, которая имеется у Исполнителя.
Все это приводит к стремлению анализировать проблему построения экономических механизмов в условиях неполной информированности Центра.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу экономного распределения ресурсов в случае, если
Центр не обладает полной информацией о производственных возможностях Исполнителя [Лотов, 1984].
Пусть требование выполнения плана по производству суммарного количества продукта имеет вид
, (4.1)
где Y – задано.
Центр экономит ресурсы:
(4.2)
при ограничениях
. (4.3)
Модуль 2. Модели распределения ресурсов в иерархических системах. От простого…
40
Будем предполагать, что Центр знает вид производственных возмож-
ностей Исполнителя
.
Но ему неизвестно точное значение параметра
. Единственное, что
ему известно – эти параметры удовлетворяют условию
. (4.4)
Причем и
заранее известны Центру. Центр может использовать
уже найденную нами процедуру использования ресурсов
,
применяя вместо параметров некоторые точечные их оценки . В принципе, оценка может не совпадать с истинным значением
, но тем не
менее она также удовлетворяет условию . Например, Центр мо-
жет ориентироваться на «пессимистичные» оценки
,
«оптимистичные» оценки
или какие-то промежуточные оценки, допустим,
.
С учетом этого, решение задачи оптимального распределения ресурсов
при оценках (i = 1, 2, …, n) имеет вид
. (4.5)
При несовпадении оценок с истинными значениями
эти найденные
величины распределения ресурсов не совпадают с
в общем случае.
Принцип гарантированного результата
Для выбора оценок применим принцип гарантированного результата.
Условие
должно быть выполнено. Для гарантии его выпол-
нения переопределим целевую функцию Центра на случай нарушения
этого условия:
,
где М – большое положительное число.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]