Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Тогда, например, при t > 0 уравнение (3.5.20) можно переписать в виде

Введем новую функцию

aj постоянные и легко вычисляют-

ся. Правая часть этого тождества, очевидно, напоминает правую часть уравнения Эйлера

81

( )

ãäå Pl ds дифференциальный оператор l-го порядка с посто-

янными коэффициентами. Следовательно, в новых переменных дифференциальное уравнение (3.5.22) можно переписать следую-

íóþ s, то, как уже было показано в п. 8, оно сводится к дифференциальному уравнению (n 1)-го порядка.

Мы рассмотрели основные методы решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, которые изучаются на семинарских занятиях по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Для овладения этими методами, конечно, необходимо самостоятельно решать конкретные задачи. Большое количество задач содержится, например, в [11]. Читатели, желающие более основательно познакомиться с методами интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, могут самостоятельно освоить элементы теории групп Ли и ее применения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [6, 8]). Применение теории групп Ли существенно расширяет круг дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах.

82

ГЛАВА 4. Варианты письменного экзамена

В настоящей главе содержатся все задачи по дифференциальным уравнениям из вариантов государственного экзамена с 1995 г. по 2016 г. и обязательного письменного экзамена с 2017 г. по 2020 г. для студентов 4-го курса механико-математического факультета Новосибирского государственного университета. В 1998 г. и 1999 г. экзамен не проводился. Для каждого года дается подробное решение первого варианта.

1995

Вариант 1. Для уравнения

(t + 1)y′′ + (1 + 2t)y′ 2y = 1; t > 1;

найти:

а) все решения; б) все решения, удовлетворяющие начальным условиям:

y( 1) = 0; y′( 1) = a:

Вариант 2. Для уравнения

найти:

а) все решения; б) все решения, удовлетворяющие начальным условиям:

83

Вариант 3. Для уравнения

найти:

а) все решения; б) все решения, удовлетворяющие начальным условиям:

Вариант 4. Для уравнения

найти:

а) все решения; б) все решения, удовлетворяющие начальным условиям:

Решение (Вариант 1). Вначале найдем общее решение уравнения. Отметим, что частное решение уравнения легко угадыва-

åòñÿ: 1

y÷àñò(t) = 2:

Поэтому, если мы найдем линейно независимые решения y1(t), y2(t) однородного уравнения

84

то общее решение исходного уравнения будет иметь вид

ãäå c1, c2 произвольные константы.

Нетрудно видеть, что одно из решений уравнения (4.1) можно искать в виде линейной функции

y1(t) = + t;

где , константы. Эти константы можно определить при под-

становке в уравнение. Действительно, если линейная функция является решением, то должно выполняться тождество

(1 + 2t) 2( + t) 0:

Отсюда получаем 2 = 0. Следовательно, в качестве первого решения уравнения (4.1) можно взять, например, функцию

y1(t) = 1 + 2t:

Второе решение уравнения (4.1) можно искать в виде сходящегося степенного ряда

y2(t) = a0 + a1t + a2t2 + : : : :

Подставляя ряд в уравнение (4.1), получаем

b0 + b1t + b2t2 + = 0:

Приравнивая к нулю все коэффициенты bk, имеем следующие со-

Поэтому легко догадаться, что в качестве второго решения уравнения (4.1) можно взять, например, функцию

y2(t) = e 2t:

85

Построенные решения y1(t), y2(t) образуют базис в простран-

стве решений однородного уравнения (4.1). Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

Решим теперь вторую часть задачи. Очевидно, для этого нам нужно указать константы c1, c2, при которых решение (4.2) удо-

влетворяет начальным условиям задачи. Подставляя функцию (4.2) в начальные условия, имеем систему уравнений

Следовательно, если a ≠ 1, то эта система несовместна. Поэтому при a ≠ 1 начальная задача не имеет решений.

Åñëè a = 1, то указанная система имеет бесконечно много решений, при этом

Поэтому в этом случае все решения начальной задачи имеют вид

()

1996

Вариант 1. Найти общее решение уравнения

x2y′′ + 3xy′ + y = x 1; x > 0:

86

Вариант 2. Найти общее решение уравнения

x2y′′ + 4xy′ + 2y = x 2; x > 0:

Вариант 3. Найти общее решение уравнения

x2y′′ xy′ + y = x; x > 0:

Вариант 4. Найти общее решение уравнения

x2y′′ 5xy′ + 5y = x; x > 0:

Указанное уравнение является уравнением Эйлера. Поэтому для получения формул его решения нужно сделать замену переменных:

x = et; y(et) = y~(t):

Тогда в новых переменных уравнение принимает вид

Для нахождения решения этого уравнения выпишем характери-

стическое уравнение

2 + 2 + 1 = 0:

Его корни 1 = 2 = 1. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

y~îäí(t) = c1e t + c2te t;

87

ãäå c1, c2 произвольные константы, а частное решение неоднородного уравнения можно искать в виде

y~÷àñò(t) = at2e t;

ãäå a константа (почему?). Подставляя эту функцию в урав-

нение (4.3), очевидно, получаем a = 12. Поэтому общее решение уравнения (4.3) можно записать в виде

Поскольку в силу замены переменных

y(x) y~(ln x);

то общее решение исходного уравнения имеет вид

Вариант 1. Решить краевую задачу

Сколько существует решений?

88

Сколько существует решений? Вариант 4. Решить краевую задачу

8

> (3it 2i + 3)y′′ + (2 3t)y′ + 3y = (3t + 1 3i)e t; t > 0;

>

>

>

< y′jt=0 = 4;

>

>

>

>

: sup jy(t)j < 1:

t>0

Сколько существует решений?

Вначале найдем общее решение уравнения. Явный вид коэффициентов и правой части подсказывает ,

что частное решение можно попытаться искать в классе функций

{ }

(a0 + ta1 + + tkak)e t :

89

Действительно, рассматривая такие функции, можно легко построить следующее частное решение:

y÷àñò(t) = i 1 2e t:

Поэтому для построения общего решения исходного уравнения нам нужно найти два линейно независимых решения y1(t), y2(t) однородного уравнения

(4it + i 2)y′′ + 2(1 + 4t)y′ 8y = 0; t > 0: (4:4)

Для этого можно провести такие же рассуждения, как при решении задачи из варианта 1995 г. Действительно, нетрудно видеть, что одно из решений однородного уравнения (4.4) можно искать в виде

y1(t) = + t;

где , константы. Подставляя эту функцию в уравнение (4.4), очевидно, получаем, что = 4 . Поэтому в качестве первого решения уравнения (4.4) можно взять, например, функцию

y1(t) = 1 + 4t:

Второе решение уравнения (4.4) будем искать в виде сходящегося степенного ряда

y2(t) = a0 + a1t + a2t2 + : : : :

Формально подставляя ряд в уравнение (4.4), после очевидных арифметических преобразований получаем, что в качестве второго решения уравнения (4.4) можно взять, например, функцию

y2(t) = e2it:

Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид

90