Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Свойство 1. Матричная экспонента etA и матрица A комму-

тативны

etAA = AetA:

Свойство 2. Если матрицы A è B коммутативны, то

AetB = etBA; BetA = etAB;

et(A+B) = etAetB:

Упражнение. Пусть матрицы A è B такие, что

et(A+B) = etAetB:

Доказать, что AB = BA.

Свойство 3. Имеет место равенство

(etA) 1 = e tA:

Свойство 4. Для определителя матричной экспоненты спра-

ведлива формула

det etA = ettr A:

Свойство 5. Имеет место тождество

∫t

etA1 etA2 e(t s)A1 (A1 A2)esA2 ds:

0

Из свойства 5 получаем следующую оценку:

etA1 etA2 (t; A2 ; A1 ) A1 A2 ; t > 0:

Из этой оценки вытекает, что матричная экспонента etA непрерыв- но зависит от элементов матрицы A. Приведем некоторые оценки для нормы матричной экспоненты.

31

Теорема 1.5.3. Имеет место неравенство

etjA etA ejtjA :

Теорема 1.5.4 (Гельфанд Шилов). Пусть 1; : : : ; n

собственные значения матрицы A, причем Re j , j = 1; : : : ; n.

32

ГЛАВА 2. Краевые задачи

для линейных дифференциальных уравнений

В этой главе мы будем рассматривать краевые задачи для систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка

на всей числовой прямой, на полупрямой ft 0g и на ограниченном интервале.

Ÿ 2.1. Краевые задачи на числовой прямой

Пусть A постоянная матрица размера n n. Рассмотрим задачу о нахождении ограниченных вектор-функций y(t), êîòî-

рые являются решениями системы линейных дифференциальных уравнений

числовой прямой и матрица A не имеет собственных значений на мнимой оси. Тогда существует > 0 такое, что для собственных значений j, j = 1; : : : ; n, матрицы A имеет место оценка

jRe jj ; j = 1; : : : ; n:

При этих предположениях справедливы следующие утверждения.

33

Теорема 2.1.1. Существует единcтвенное решение y(t) 2 C1(R) краевой задачи (2.1.1), причем

sup y(t) c sup f(t) ;

t2R t2R

ãäå c > 0 константа, не зависящая от f(t).

Теорема 2.1.2. Решение краевой задачи (2.1.1) можно представить в виде

∫1

где матрица G(t) удовлетворяет следующим условиям:

1) dtd G(t) AG(t); t ≠ 0;

2) G(t) непрерывна всюду, кроме t = 0, где она имеет разрыв

первого рода

G(+0) G( 0) = I;

3) sup G(t) < 1.

t2R

Определение. Матрица G(t), для которой выполнены условия 1) 3), называется матрицей Грина краевой задачи (2.1.1).

Упражнение 1. Показать, что матрица Грина краевой задачи (2.1.1) определяется условиями 1) 3) единственным образом.

Рассмотрим теперь задачу о нахождении функций u(t), êîòî-

рые являются решениями линейного дифференциального уравнения произвольного порядка с постоянными коэффициентами

34

и ограничены на всей прямой; т. е. рассмотрим краевую задачу

Будем предполагать, что φ(t) ограничена и непрерывна на всей числовой прямой и характеристический полином Pn( ) не имеет корней на мнимой оси. Тогда существует > 0 такое, что для корней j, j = 1; : : : ; n, полинома Pn( ) имеет место оценка

jRe jj ; j = 1; : : : ; n:

При этих предположениях справедливы следующие утверждения.

Теорема 2.1.3. Существует единственное решение u(t) 2 Cn(R) краевой задачи (2.1.3), причем

sup ju(t)j c sup jφ(t)j;

t2R t2R

ãäå c > 0 константа, не зависящая от φ(t).

Теорема 2.1.4. Решение краевой задачи (2.1.3) можно пред-

где функция g(t) удовлетворяет следующим условиям:

()

35

20) g(t) 2 Cn 2(R), причем g(n 1)(t) непрерывна всюду, кроме t = 0, где она имеет разрыв первого рода, т. е.

g(+0) g( 0) = 0; g′(+0) g′( 0) = 0;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

g(n 2)(+0) g(n 2)( 0) = 0;

g(n 1)(+0) g(n 1)( 0) = 1;

30) sup jg(t)j < 1.

t2R

Определение. Функция g(t), для которой выполнены условия 10) 30), называется функцией Грина краевой задачи (2.1.3).

Упражнение 2. Показать, что функция Грина краевой зада- чи (2.1.3) определяется условиями 10) 30) единственным образом.

Ÿ 2.2. Краевые задачи на полупрямой

Рассмотрим на полупрямой ft 0g краевую задачу для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-

0, матрица A размера n n не имеет собственных значений на

36

мнимой оси, т. е. jRe jj > 0, j = 1; : : : ; n; B постоянная прямоугольная матрица размера m n, m n, вектор φ имеет m компонент.

Обсудим, каким условиям должна удовлетворять матрица B, чтобы краевая задача (2.2.1) имела единственное решение y(t) при любых заданных f(t) è φ.

Заметим, что достаточно ограничиться рассмотрением однородной системы, т. е. при f(t) 0. Действительно, продолжим

вектор-функцию f(t) на отрицательную полуось так, чтобы полу- ченная вектор-функция f(t) была ограниченной и непрерывной

ïðè t 2 R; например,

f(t) = f(jtj):

Тогда, как мы знаем из предыдущего параграфа, существует единственное решение x(t) краевой задачи на числовой прямой

> sup x(t) < 1;

:

t2R

причем

∫1

x(t) = G(t s)f(s) ds;

ãäå G(t) матрица Грина. Следовательно, решение задачи (2.2.1) можно искать в виде

y(t) = x(t) + z(t);

где вектор-функция z(t) является решением краевой задачи

37

ãäå

∫1

= φ BG( s)f(s) ds:

Очевидно, краевая задача (2.2.1) однозначно разрешима при любых f(t) è φ тогда и только тогда, когда краевая задача (2.2.2)

имеет единственное решение z(t) при любом векторе . Поэтому в дальнейшем будем рассматривать задачу (2.2.1) при f(t) 0.

Пусть n+ число собственных значений матрицы A таких, что Re j , n число собственных значений матрицы A таких, что Re j . Пусть T невырожденная матрица такая, что

ãäå A+ матрица размера n+ n+, все собственные значения которой лежат в правой полуплоскости, A матрица размера n n , все собственные значения которой лежат в левой полуплоскости. Ясно, что матрица T определена неоднозначно. Обозначим через T+ первые n+ столбцов матрицы T , а через T последние n столбцов матрицы T , ò. å.

T = (T+T ):

Поскольку матрица T невырождена и

то столбцы матрицы T образуют базис в некотором подпространстве M , инвариантном относительно преобразования A. Очевидно, что в качестве базиса в M можно взять собственные и присоединенные векторы матрицы A, соответствующие собственным значениям j таким, что Re j .

38

Теорема 2.2.1. Решение y(t) однородной системы

будет ограниченным на полупрямой ft 0g тогда и только тогда, когда y(0) 2 M .

Из теоремы следует, что общее решение однородной системы (2.2.3), ограниченное при всех t 0, имеет вид

y(t) = T etA C;

ãäå C = (C1; : : : ; Cn )T постоянный вектор. Следовательно, для однозначной разрешимости краевой задачи (2.2.1) при любом век-

òîðå φ (напомним, что f(t) 0) необходимо и достаточно, чтобы система уравнений

Byjt=0 = BT C = φ

имела единственное решение C при любом φ. Отсюда получаем условия на матрицу B:

1)число строк матрицы B равно n ;

2)det(BT ) ≠ 0.

Определение. Если для матрицы B выполнены условия 1) и 2), то B удовлетворяет условию Лопатинского.

Итак, если матрица B удовлетворяет условию Лопатинского, то краевая задача (2.2.1) при f(t) 0 и любом векторе φ имеет единственное решение

y(t) = T etA (BT ) 1φ:

Применяя неравенство Гельфанда Шилова (см. Ÿ 1.5), получаем

оценку

t

y(t) ce 2 φ ; t 0;

39

ãäå c > 0 константа, не зависящая от φ.

Ранее мы отмечали, что вопрос об однозначной разрешимости краевой задачи (2.2.1) при любых заданных f(t) è φ сводится к

изучению этой задачи при f(t) 0. Следовательно, из предыдущего вытекает, что задача (2.2.1) имеет единственное решение при любой непрерывной ограниченной вектор-функции f(t) и любом

векторе φ тогда и только тогда, когда матрица B удовлетворяет условию Лопатинского.

Замечание 1. Если все собственные значения матрицы A лежат в левой полуплоскости, то условие Лопатинского означает, что матрица B имеет размер n n è det B ≠ 0.

Замечание 2. В формулировке условия Лопатинского фигурирует матрица T , столбцы которой образуют базис в подпро-

e

странстве M . Но поскольку для любой другой матрицы T , столбцы которой образуют базис в M , существует невырожденная

базиса в но, при решении конкретной задачи в качестве столбцов матри-

öû T можно взять собственные и присоединенные векторы матрицы A, соответствующие собственным значениям j таким, что

Re j .

Упражнение. Определить, при каких параметрах и выполнено условие Лопатинского для краевой задачи

решение.

40