Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Решение (Вариант 1). Вначале найдем решение задачи Ко-

(4:51)

yjt=1 = y0:

Его можно найти, используя разные способы.

Cпособ 1. Учитывая, что t 1, перепишем исходное уравнение следующим образом

Очевидно, оно входит в класс уравнений вида y′ = F (yt )

после замены мы получили уравнение с разделяющимися переменными. Если y0 = 0, то, очевидно, решение этой

задачи Коши имеет вид z(t) 0. Åñëè y0 = 2, то функция z(t) 2 является решением задачи Коши (4.52).

Пусть y0 ≠ 0, y0 ≠ 2. После разделения переменных и интегрирования имеем

151

Вычисляя интегралы, получаем

Следовательно, решение задачи Коши (4.52) имеет следующий вид:

является решением задачи Коши (4.51).

Способ 2. Нетрудно заметить, что исходное уравнение является уравнением Бернулли. Если y0 = 0, то функция y(t) 0 ÿâ-

ляется решением задачи Коши (4.51). Если y0 ≠ 0, то уравнение можно переписать следующим образом

152

Введем функцию v(t) = y(1t). Тогда в новых переменных задача Коши (4.51) перепишется в виде

является линейным неоднородным уравнением, и его можно решить, например, используя метод вариации произвольной постоянной. Общее решение однородного уравнения

v′ = vt

имеет вид

vîäí(t) = ct;

ãäå c произвольная константа. Общее решение неоднородного уравнения (4.55) будем искать в виде

v(t) = c(t)t;

ãäå c(t) неизвестная функция. Подставляя v(t) â (4.55), ïîëó-

÷àåì

c′(t) = t13 :

Отсюда

1

c(t) = 2t2 + ec;

ãäå ec произвольная константа. Тогда общее решение уравнения

(4.55) имеет вид

v(t) = 1 + 2ect2 : 2t

153

Отметим, что это решение можно найти другим способом. Действительно, перепишем уравнение (4.55) в виде

Возвращаясь к исходной функции y(t), приходим к формуле (4.53).

Способ 3. Перепишем исходное уравнение в виде

ty′ + y = y2 : t

Заметим, что слева стоит производная от функции ty(t). Следовательно, уравнение можно записать в виде

(ty)′ = y2 : t

154

Введем функцию w(t) = ty(t). Тогда задача (4.51) сводится к задаче Коши для уравнения с разделяющимися переменными

решение этой задачи имеет вид

тельно, функция y(t) 0 является решением задачи Коши (4.51). Пусть y0 ≠ 0. После разделения переменных и интегрирования

Возвращаясь к исходной функции y(t), приходим к формуле (4.53).

Тремя способами мы нашли решение задачи Коши (4.51), которое определяется формулой (4.53). Остается выяснить, при каких

начальных данных y0 решение y(t) существует на всей полуоси ft 1g.

1. Пусть y0 = 0. Тогда решение y(t) 0 существует при всех t 1 è

lim y(t) = 0:

t!1

155

2. Пусть y0 = 2. Тогда решение y(t) = 2t существует при всех t 1 è

lim y(t) = +1:

t!1

3. Åñëè y0 ≠ 0, y0 ≠ 2, тогда решение имеет вид

Рассмотрим три случая: y0 < 0, 0 < y0 < 2, y0 > 2.

À. Пусть y0 < 0. Тогда при всех t 1 функция, стоящая в знаменателе, является отрицательной. Поэтому решение y(t) определено на всей полуоси ft 1g, причем

lim y(t) = 0:

t!1

Á.Пусть 0 < y0 < 2. Тогда при всех t 1 функция, стоящая

âзнаменателе, является положительной. Следовательно, решение

y(t) определено на всей полуоси ft 1g, причем

lim y(t) = 0:

t!1

Â. Пусть y0 > 2. Тогда функция, стоящая в знаменателе, обращается в ноль в точке

t = √ y0 ; y0 2

причем t > 1. Следовательно, решение задачи Коши определено при t 2 [1; t ).

На основе проведенного анализа мы приходим к выводу, что решение задачи Коши существует на всей полуоси ft 1g, åñëè

156

157

Решение (Вариант 1). Перепишем краевую задачу в следующем виде:

>

>

>

>

>

>

: y1(0) = 0:

Вначале найдем решение второго уравнения, которое является линейным неоднородным. Очевидно, общее решение однородно-

го уравнения

dydt2 = 2y2

имеет вид

y2; îäí(t) = c2e 2t;

ãäå c2 произвольная константа. Поскольку правая часть неод-

нородного уравнения имеет специальный вид, то частное решение можно искать в следующем виде:

y2; ÷àñò(t) = ate 2t;

ãäå a некоторая константа. После подстановки в уравнение получаем, что a = 5. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения на y2(t) имеет вид

y2(t) = (c2 + 5t)e 2t:

Отметим, что решение можно было бы находить, используя метод вариации произвольной постоянной или упражнение в конце Ÿ 1.4.

158

Теперь найдем y1(t). Подставляя y2(t) в первое уравнение системы, имеем

Воспользуемся методом вариации произвольной постоянной. Общее решение однородного уравнения

dydt1 = 2y1

имеет вид

После подстановки y1(t) в краевое условие y1(0) = 0 находим, что

c1 = 5.

Тогда все решения краевой задачи имеют вид

ãäå c2 произвольная константа. Следовательно, существует бесконечно много решений краевой задачи.

159

2019

, параметры. Сколько существует решений?

Вариант 2. Найти все решения краевой задачи на полупрямой

Сколько существует решений?

Вариант 3. Найти все решения краевой задачи на полупрямой

Сколько существует решений?

160