Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Решение (Вариант 1). Рассматриваемая задача является несколько более сложным аналогом задачи, предложенной на экзамене в 2006 г. Она решается также с использованием теоремы Ляпунова о существовании решения в целом . Поскольку схема решения задачи из варианта 2006 г. достаточно подробно изложена, то мы отметим лишь отличия в определении функции Ля-

пунова H(x; y; z) для рассматриваемой системы. В нашем случае

она должна удовлетворять следующим трем условиям: 1) H(x; y; z) 2 C1(Br), ãäå

Br = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 r2g;

2)H(x; y; z) 0, ïðè ýòîì H(x; y; z) = 0 тогда и только тогда, когда x = y = z = 0;

3)внутри шара Br справедливо неравенство

Студенты, справившиеся с решением этой задачи, искали функцию Ляпунова в виде квадратичной формы

H(x; y; z) = x2 + y2 + z 2:

121

Нетрудно заметить, что при

такая функция удовлетворяет всем трем условиям. Следовательно, по теореме Ляпунова при начальных условиях (x0; y0; z0) èç

øàðà B достаточно малого радиуса непродолжаемое решение задачи Коши определено на всей полуоси ft 0g.

2010

Вариант 1. Выписать все решения уравнения

определенные на полуоси ft 0g и стремящиеся к нулю при t ! +1. Ответ обосновать.

Вариант 2. Выписать все решения уравнения

определенные на полуоси ft 0g и стремящиеся к нулю при t ! +1. Ответ обосновать.

Вариант 3. Выписать все решения уравнения

определенные на полуоси ft 0g и стремящиеся к нулю при t ! +1. Ответ обосновать.

Вариант 4. Выписать все решения уравнения

122

определенные на полуоси ft 0g и стремящиеся к нулю при t ! +1. Ответ обосновать.

Решение (Вариант 1). Указанное уравнение является уравнением Бернулли. Рассмотрим для него задачу Коши

При любом начальном значении x0 существует единственное непро-

должаемое решение x(t), определенное на интервале (t ; t+). Для того чтобы решить поставленную задачу, нужно исследовать свойства непродолжаемых решений x(t) при произвольных начальных данных x0.

Очевидно, при x0 = 0 задача имеет тривиальное решение x(t) 0, t 2 R. ßñíî, ÷òî åñëè x0 > 0 (x0 < 0), òî x(t) > 0 (x(t) < 0) ïðè t 2 (t ; t+) (почему?). В дальнейшем будем считать, что x0 ≠ 0.

Для непродолжаемого решения x(t) имеем тождество

Следовательно, функция v(t) является решением задачи Коши для линейного уравнения

123

Тогда, очевидно, имеем

Отметим, что функция

определена на всей полуоси ft 0g и является монотонно возрастающей, при этом

Поэтому, если начальное условие x0 в задаче Коши (4.27) отри- цательное, то из формулы (4.28) следует, что v(t) < 0 на всей полуоси ft 0g, ïðè ýòîì v(t) ! ïðè t ! +1. Следовательно, при x0 < 0 непродолжаемое решение x(t) задачи Коши (4.27) определено на всей полуоси ft 0g (ò. å. t+ = +1) è x(t) ! 0

ïðè t ! +1.

Пусть теперь x0 > 0. Åñëè x10 > I, то из формулы (4.28) следует, что v(t) > 0 на всей полуоси ft 0g, ïðè ýòîì v(t) ! +1 ïðè

t ! +1. Следовательно, при 0 < x0 < I1 непродолжаемое реше- íèå x(t) задачи Коши (4.27) определено на всей полуоси ft 0g

è x(t) ! 0 ïðè t ! +1.

124

1

Но тогда, учитывая формулу (4.28), а также связь x(t) = v(t) ïðè t 2 (t ; t+) получаем, что непродолжаемое решение задачи Коши (4.27) не определено на всей полуоси ft 0g. Более того, t+ = t0. Поэтому о поведении решения x(t) ïðè t ! +1 говорить

нет смысла!

Наконец, остался еще один неизученный случай x0 = I1 . Â ñèëó свойств интеграла I(t) из формулы (4.28) вытекает, что непродол-

жаемое решение x(t) определено на всей полуоси ft 0g, ïðè ýòîì x(t) > 0. Но поскольку

Поэтому в этом случае x(t) не стремится к нулю при t ! +1. Итак, решения x(t) уравнения Бернулли

стремятся к нулю при (t ! +1)тогда и только тогда, когда на- чальные условия x0 2 ; I1 , ïðè ýòîì x(t) = v(1t), ãäå v(t)

определяется формулой (4.28).

125

существует решений?

Вариант 2. Решить задачу Коши

8

> (4t2 + 3t)y′′ (8t + 3)y′ + 8y = ;

>

>

<

> yjt= 3=4 = ;

>

>

: y′jt= 3=4 = :

Сколько существует решений?

Вариант 3. Решить задачу Коши

8

> (2t2 3t)y′′ (4t 3)y′ + 4y = ;

>

>

<

> yjt=3=2 = ;

>

>

: y′jt=3=2 = :

Сколько существует решений?

Вариант 4. Решить задачу Коши

8

> (3t2 + 5t)y′′ (6t + 5)y′ + 6y = ;

>

>

<

> yjt= 5=3 = ;

>

>

: y′jt= 5=3 = :

Сколько существует решений?

126

Решение (Вариант 1). Вначале заметим, что (t2 5t)jt=5 = 0.

Поэтому теорема Пикара для этой задачи Коши не применима. Найдем общее решение уравнения, следуя стандартной схеме

(см., например, аналогичную задачу из вариантов 1995 г.). Частное решение неоднородного уравнения легко угадывается:

y÷àñò(t) = 2 :

Найдем теперь линейно независимые решения y1(t), y2(t) однородного уравнения

Нетрудно видеть, что одно из них можно искать в виде линейной функции

Второе решение уравнения (4.29) будем искать в виде сходящегося степенного ряда

y2(t) = a0 + a1t + a2t2 + : : : :

После подстановки в уравнение (4.29) и очевидных преобразований можно получить, например,

a2 = 1; ak = 0 ïðè k ≠ 2;

127

ò. å.

y2(t) = t2:

ßñíî, ÷òî y1(t) è y2(t) образуют базис в пространстве решений

однородного уравнения (4.29). Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид

ãäå c1, c2 произвольные константы. Поэтому для построения решения задачи Коши нужно подобрать c1 è c2 так, чтобы выполня-

лись начальные условия. Тогда для нахождения c1 è c2 получаем следующую систему уравнений:

Из сказанного вытекает, что для разрешимости задачи Коши необходимо и достаточно, чтобы начальные данные и правая

128

часть удовлетворяли условию (4.32). При этом решений будет бесконечно много. В силу (4.30) имеем явное выражение для них:

Вариант 1. Решить задачу Коши

8

> y′′ + j(t 1)y′ + yj = 0;

>

>

<

> yjt=1 = 4;

>

>

: y′jt=1 = 0:

Указать максимальный промежуток, на котором существует решение. Что можно сказать о единственности?

Вариант 2. Решить задачу Коши

8

> y′′ + j(t 2)y′ + yj = 0;

>

>

<

> yjt=2 = 3;

>

>

: y′jt=2 = 0:

Указать максимальный промежуток, на котором существует решение. Что можно сказать о единственности?

Вариант 3. Решить задачу Коши

8

> y′′ + j(t 3)y′ + yj = 0;

>

>

<

> yjt=3 = 2;

>

>

: y′jt=3 = 0:

129

Указать максимальный промежуток, на котором существует решение. Что можно сказать о единственности?

Вариант 4. Решить задачу Коши

8

> y′′ + j(t 4)y′ + yj = 0;

>

>

<

> yjt=4 = 1;

>

>

: y′jt=4 = 0:

Указать максимальный промежуток, на котором существует решение. Что можно сказать о единственности?

Решение (Вариант 1). Рассматриваемая задача Коши, оче- видно, имеет единственное непродолжаемое решение y(t), опреде-

ленное на интервале (t ; t+). Нетрудно выписать общую формулу решения при t 1. Действительно, учитывая начальные условия

и знак выражения

(t 1)y′ + y

ïðè t = 1, получаем, что по крайней мере на достаточно малом отрезке [1 ; 1 + ], > 0, функция y(t) является единственным решением задачи Коши

130