Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

ãäå c1, c2 произвольные константы.

Построим теперь решение краевой задачи. Учитывая условие ограниченности решения при t > 0, очевидно, в формуле (4.5)

нужно положить c1 = 0. Следовательно, ограниченное при t > 0 общее решение уравнения имеет вид

ãäå c2 произвольная константа. Используя начальное условие y(0) = 1, однозначно находим

Следовательно, краевая задача имеет единственное решение, которое можно записать в виде

91

Решение (Вариант 1). Приведем два способа решения этой задачи.

Способ 1. Первый способ основан на общей формуле решения

92

ãäå

93

Используя формулы

2 cos2 6s = 1+cos 12s; 2 sin2 6s = 1 cos 12s; 2 sin 6s cos 6s = sin 12s;

получаем

Из этого выражения, очевидно, вытекает, что необходимым и достаточным условием ограниченности решений на всей числовой оси является равенство

+ 3 = 0:

Параметр может быть произвольным.

Способ 2. Второй способ решения задачи основан на сведении системы к двум дифференциальным уравнениям второго порядка

94

на компоненты решения y1(t) è y2(t). Перепишем исходную систему уравнений в виде

Все решения этой системы являются аналитическими функциями (почему?). Тогда, очевидно, компоненты решений будут также удовлетворять следующему уравнению

которое получается после дифференцирования второго уравнения системы (4.6). Подставляя теперь вместо производной dydt1 правую часть первого уравнения системы, а также учитывая, что

2 cos2 3t = 1 + cos 6t, получаем уравнение, которому должна удовлетворять вторая компонента решения системы

Для нахождения общего решения вначале рассмотрим характеристическое уравнение

2 + 36 = 0:

Его корни 1 = 6i, 2 = 6i. Поэтому общее решение однородного

уравнения

d2y2

dt2 + 36y2 = 0

имеет вид

y2;îäí(t) = c1 cos 6t + c2 sin 6t:

95

Найдем теперь частное решение уравнения (4.7). Поскольку все параметры , , вещественные, то при нахождении частного решения можно рассмотреть вспомогательное уравнение

найти его частное решение v÷àñò(t), а затем получить частное решение уравнения (4.7) в виде y2;÷àñò(t) = Re v÷àñò(t). Учитывая,

что корни характеристического уравнения имеют вид 1;2 = 6i, а в правой части уравнения (4.8) присутствует функция e6it, òî

частное решение следует искать в виде v÷àñò(t) = a + bte6it:

Для нахождения констант a, b нужно подставить эту функция в

уравнение (4.8). Если она является решением, то должно выполняться тождество

36a + 12ibe6it 2 + 4 + 2( + 3 )e6it:

Отсюда получаем

частное решение вспомогательного уравнения (4.8). Следовательно,

частное решение уравнения (4.7).

Из проведенных рассуждений вытекает формула общего решения уравнения (4.7)

96

Аналогичным образом получается уравнение, которому должна удовлетворять первая компонента решения системы

Точно так же можно показать, что функция

является частным решением этого уравнения. Тогда формула общего решения уравнения (4.10) имеет вид

Следовательно, если вектор-функция

y(t) = (y1(t); y2(t))T

является решением системы дифференциальных уравнений (4.6), то первая компонента y1(t) имеет вид (4.11), а вторая y2(t) вид (4.9), где константы b1, b2, c1, c2 связаны соотношениями

Тогда для того, чтобы все решения системы (4.6) были ограниче- ны на числовой прямой < t < 1, необходимо и достаточно выполнение условия

+ 3 = 0:

2001

Вариант 1. Найти общее решение уравнения

p p

y′′ 4iy = e 2t cos( 2t):

97

Вариант 2. Найти общее решение уравнения

p p

y′′ 16iy = e2 2t cos(2 2t):

Вариант 3. Найти общее решение уравнения

Вариант 4. Найти общее решение уравнения

p p

y′′ + 16iy = e2 2t sin(2 2t):

Решение (Вариант 1). Рассмотрим характеристическое урав-

нение

2 4i = 0:

Его корни

p p p p

1 = 2 + i 2; 2 = 2 i 2:

Тогда общее решение однородного уравнения y′′ 4iy = 0

имеет вид p p p p

yîäí(t) = c1e( 2+i 2)t + c2e ( 2+i 2)t:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Перепишем правую часть следующим образом:

98

Тогда, учитывая формулы корней характеристического уравнения, частное решение можно искать в виде

p p p p y÷àñò(t) = ate( 2+i 2)t + be( 2 i 2)t:

После подстановки в уравнение, очевидно, получаем

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

p p p p y(t) = c1e( 2+i 2)t + c2e ( 2+i 2)t

Отметим, что формулу общего решения можно было бы полу- чить, применяя метод вариации произвольной постоянной, а так-

же используя -функции:

∫t p p

y(t) = c1 1(t) + c2 2(t) + 2(t s)e 2s cos( 2s) ds;

0

99

Сколько существует решений? Вариант 2. Решить задачу Коши

Решение (Вариант 1). Очевидно, рассматриваемая задача Коши имеет единственное непродолжаемое решение y(t), опреде-

ленное на интервале (t ; t+). Учитывая вид начальных условий,

100