Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Покажем, что при таком выборе c2 второе слагаемое будет ограни- ченным на полуоси ft > 0g. Действительно, подставляя во второе слагаемое (5.47) константу (5.48), получаем

Покажем, что при таком выборе c1 первое слагаемое будет ограни- ченным на полуоси ft < 0g. Действительно, подставляя в первое слагаемое (5.47) константу (5.49), получаем

221

Замечание. При нахождении общего решения уравнения также может быть использован метод вариации произвольных постоянных.

2014

Вариант 1. Найти общее решение уравнения

yIV + 15y′′ 16y = 8ie4it:

Вариант 2. Найти общее решение уравнения

yIV + 5y′′ 36y = 6ie 3it:

Решение (Вариант 1). Для нахождения решения выпишем характеристическое уравнение

4 + 15 2 16 = 0:

Его корни

1 = 1; 2 = 1; 3 = 4i; 4 = 4i:

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид yîäí(t) = c1et + c2e t + c3e4it + c4e 4it;

ãäå cj произвольные константы, j = 1; : : : ; 4. Частное решение неоднородного уравнения можно искать с использованием:

1)метода вариации произвольных постоянных;

2)-функций;

222

3) вида правой части уравнения.

Воспользуемся третьим вариантом. Поскольку в правой части стоит экспонента, в показателе которой участвует величина 4i, ñîâ-

падающая с 3, то частное решение можно искать в виде

y÷àñò(t) = ate4it;

ãäå a константа. Подставляя эту функцию в уравнение, полу-

Вариант 2. Для решения задачи Коши

8

< y′′ + 3 (sin y)2 = 0;

:yjt=0 = 0;

y′jt=0 = 2

найти @y .

@ =0

223

Вариант 3. Для решения задачи Коши

:yjt=0 = 0;

y′jt=0 = 3

найти @y .

@ =0

Для рассматриваемой задачи выполнены все условия теоремы 3.3.3 о дифференцируемости решений по параметру. Поэтому вектор-функция

является решением задачи Коши вида (3.34)

224

Для того чтобы выписать функцию y1(t; 0), нужно решить исходную задачу при = 0, т. е. задачу Коши

Очевидно, эта задача сводится к следующей:

8> y1′′ + y1 = 0;

<

> y1jt=0 = 0; : y1′ jt=0 = 1:

Отсюда получаем

y1(t; 0) = y1(t) = sin t:

Следовательно, задача Коши (5.51) имеет вид

>

>> v1jt=0 = 0;

>

>

: v2jt=0 = 0:

Нетрудно заметить, что для нахождения решения этой задачи достаточно решить задачу Коши

225

Общее решение однородного уравнения имеет вид

v2;îäí(t) = c1 cos t + c2 sin t;

а в качестве частного решения неоднородного уравнения можно взять функцию

Поэтому общее решение неоднородного уравнения имеет вид

После подстановки в начальные условия получаем c1 = 23 , c2 = 0.

В силу (5.50) мы получаем явные формулы для производных

@ yj(t; ) , j = 1; 2. @ =0

2016

Вариант 1. Найти решение краевой задачи

8

< t(1 + t2)y′ + (1 t2)y + 2t = 0; t > 0;

: y(t) ! 0; t ! 0:

Сколько существует решений?

226

Вариант 2. Найти решение краевой задачи

Сколько существует решений?

Выпишем общее решение дифференциального уравнения. Вначале запишем однородное уравнение в

âèäå

t(1 + t2)y′ = (t2 1)y; t > 0;

227

Частное решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации произвольной постоянной. Но вид коэффициентов и правой части подсказывает , что проще частное решение искать в виде

y÷àñò(t) = a0 + a1t + + aktk:

Действительно, рассматривая такие функции, можно построить частное решение

В силу (5.52), (5.53) общее решение исходного уравнения имеет

Поэтому из (5.54) вытекает, что задача имеет единственное решение y(t) = t.

2017

Вариант 1. Найти все решения краевой задачи

8

> 4xy′′ + 2y′ 3y = 2; x > 0;

<

>: sup jy(x)j < 1:

x>0

Вариант 2. Найти все решения краевой задачи

8

> 4xy′′ + 2y′ 5y = 1; x > 0;

<

>: sup jy(x)j < 1:

x>0

228

Решение (Вариант 1). Будем решать задачу, используя несколько способов.

Способ 1. В первом способе решения мы применим прием, который использовали при разборе варианта, предложенного на вступительном экзамене в магистратуру в 2001 г.

Пусть y(x) решение уравнения. Тогда имеем тождество

Перепишем это тождество в новых переменных, сделав замену

t = x ; ≠ 0:

После такой замены обозначим решение через y~(t), ò. å.

y(x) y~(x ):

Тогда, очевидно, производные вычисляются из тождеств

Подставляя эти производные в тождество (5.55), будем иметь

229

Ясно, что если взять = 12 (ò. å. t = px), то производные первого порядка взаимно сокращаются и тождество (5.55) в новых

переменных принимает вид

d2

dt2 y~(t) 3~y(t) 2:

Следовательно, если y(x) решение исходного уравнения при p

x > 0, то после замены переменной t = x функция y~(t) y(t2) будет решением уравнения

Очевидно, обратный переход от уравнения (5.56) к исходному дифференциальному уравнению также имеет место.

Для построения решения уравнения (5.56) вначале найдем решение однородного уравнения

Поэтому решение однородного уравнения (5.57) имеет вид

p p

y~îäí(t) = c1e 3t + c2e 3t;

ãäå cj произвольные константы, j = 1; 2. Очевидно, что частным решением уравнения (5.56) является функция

2 y~÷àñò(t) = 3:

230