Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

ãäå A(t) заданная матрица размера n n, f(t) = (f1(t); f2(t); : : : , fn(t))T заданная вектор-функция. В дальнейшем будем пред-

полагать, что A(t) 2 C[a; b], f(t) 2 C[a; b].

Определение. Вектор-функция

y(t) = (y1(t); y2(t); : : : ; yn(t))T 2 C1(a; b)

называется решением системы (1.2.1), если выполнено тождество

Задача Коши для неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений (1.2.1) ставится аналогичным образом, как для однородных систем, т. е.

ãäå t0 2 (a; b).

Теорема 1.2.1. Для любых f(t) 2 C[a; b], y0 2 Cn существует единственное решение y(t) 2 C1(a; b) задачи Коши (1.2.2).

Отметим, что решение задачи Коши (1.2.2) можно получить, используя метод вариации произвольной постоянной . Ñóòü åãî

заключается в следующем. Пусть Y (t) фундаментальная матрица решений для однородной системы

Как мы знаем, общее решение этой системы имеет вид

y(t) = Y (t)C;

11

ãäå C произвольный постоянный вектор. Согласно методу ва-

риации произвольной постоянной решение неоднородной системы (1.2.1) будем искать в аналогичном виде, только вместо вектора

C возьмем вектор-функцию C(t), ò. å.

Если эта вектор-функция является решением неоднородной системы (1.2.1), то должно выполняться тождество

Отсюда

dtd C(t) (Y (t)) 1f(t):

Интегрируя это тождество, имеем

∫t

C(t) = C(t0) + (Y ( )) 1f( ) d :

t0

Тогда, подставляя C(t) в (1.2.3), получаем

∫t

y(t) = Y (t)C(t0) + Y (t)(Y ( )) 1f( ) d :

t0

Учитывая начальные условия в (1.2.2), будем иметь

Y (t0)C(t0) = y0:

Отсюда C(t0) = (Y (t0)) 1y0. Следовательно, если вектор-функция

(1.2.3) является решением задачи Коши (1.2.2), то она должна иметь вид

∫t

y(t) = Y (t)(Y (t0)) 1y0 + Y (t)(Y ( )) 1f( ) d :

t0

12

Прямой подстановкой этой вектор-функции в неоднородную систему и начальные условия в (1.2.2) легко убедиться, что y(t)

действительно является решением задачи Коши (1.2.2).

Из проведенных рассуждений непосредственно вытекают следствия.

Следствие 1. Если A(t) A, тогда решение задачи Коши (1.2.2) можно представить в виде

∫t

y(t) = e(t t0)Ay0 + e(t )Af( ) d :

t0

Следствие 2. Общее решение системы (1.2.1) можно представить в виде

∫t

y(t) = Y (t)C + Y (t)(Y ( )) 1f( ) d :

t0

В следующих двух теоремах речь идет о непрерывной зависимости решения задачи Коши (1.2.2) от данных задачи.

Теорема 1.2.2. Для решения задачи Коши (1.2.2) имеет ме-

Теорема 1.2.3. Пусть t0 2 [ ; ] (a; b), вектор-функция y(t) решение задачи Коши (1.2.2), вектор-функция ye(t) ðå-

13

Следствие. Матричная экспонента etA непрерывно зависит от элементов матрицы A (см. также с. 31).

Ÿ 1.3. Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка

В этом параграфе мы будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка на интервале

(a; b):

ãäå a1(t); : : : ; an(t), φ(t) заданные непрерывные функции на отрезке [a; b]. В случае, когда φ(t) 0, уравнение (1.3.1) называется однородным дифференциальным уравнением; если же φ(t) ̸0, òî

неоднородным.

14

Для сокращения записи уравнения (1.3.1) введем следующий дифференциальный оператор:

Тогда уравнение (1.3.1) может быть записано в виде

( ) d

Pn t; dt u = φ(t):

Определение. Функция u(t) 2 Cn(a; b) называется решением уравнения (1.3.1), если выполнено тождество

Между решениями дифференциального уравнения (1.3.1) и решениями следующей системы дифференциальных уравнений

существует взаимно однозначное соответствие:

Поэтому при изучении свойств решений уравнения (1.3.1) можно воспользоваться результатами из предыдущего параграфа.

15

Вначале рассмотрим однородное уравнение

Теорема 1.3.1. Множество всех решений уравнения (1.3.2) на интервале (a; b) образует линейное пространство. Размер-

ность его равна n.

Определение. Совокупность линейно независимых на (a; b) решений уравнения (1.3.2)

u1(t); u2(t); : : : ; un(t)

называется фундаментальной системой решений äëÿ (1.3.2).

Следствие. Пусть u1(t), u2(t); : : : ; un(t) фундаментальная система решений для (1.3.2). Тогда общее решение уравнения (1.3.2) можно записать в виде

∑n

u(t) = cjuj(t);

j=1

ãäå cj произвольные константы, j = 1; : : : ; n.

Определение. Пусть u1(t); u2(t); : : : ; un(t) фундаментальная система решений для (1.3.2). Матрица

называется фундаментальной матрицей решений äëÿ (1.3.2).

16

Определение. Пусть u1(t); u2(t); : : : ; un(t) некоторые решения уравнения (1.3.2). Функция

называется определителем Вронского äëÿ (1.3.2).

Теорема 1.3.2. Решения u1(t), u2(t); : : : ; un(t) уравнения (1.3.2) образуют фундаментальную систему решений тогда и только тогда, когда W (t0) ≠ 0 хотя бы в одной точке t0 2 (a; b).

Теорема 1.3.3 (Остроградский Лиувилль). Пусть функции u1(t); u2(t); : : : ; un(t) решения уравнения (1.3.2) на интервале (a; b). Тогда для любого t0 2 (a; b) имеет место тождество

Пусть заданы t0 2 (a; b), (u0; u1; : : : ; un 1)T 2 Cn. Задача о нахождении решения u(t) однородного уравнения (1.3.2) такого,

17

называется задачей Коши, т. е. постановка задачи Коши имеет

существует единственное решение u(t) 2 Cn(a; b) задачи Коши (1.3.3).

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (1.3.1).

Теорема 1.3.5. Пусть u1(t); u2(t); : : : ; un(t) фундаменталь-

ная система решений для (1.3.2), функция u÷àñò(t) частное решение неоднородного уравнения (1.3.1). Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно записать в виде

∑n

u(t) = cjuj(t) + u÷àñò(t);

j=1

ãäå cj произвольные константы.

Отметим, что имея фундаментальную систему решений u1(t), u2(t), : : : , un(t) уравнения (1.3.2), можно найти частное решение

u÷àñò(t). Для этого, как и в Ÿ 1.2, можно применить метод вариации произвольных постоянных. А именно, будем искать частное

18

решение неоднородного уравнения (1.3.1) в виде

ãäå c1(t), c2(t); : : : ; cn(t) неизвестные гладкие функции. Прежде чем подставлять выражение (1.3.4) в уравнение (1.3.1), вычислим

dk

последовательно все производные dtk u÷àñò(t), k = 1; : : : ; n, íàëà- гая при этом некоторые требования на производные коэффициен-

òîâ cj(t), j = 1; : : : ; n. Очевидно,

Будем предполагать, что

∑n

c′j(t)uj(t) 0:

j=1

Тогда для производной второго порядка получим

Будем считать, что

∑n

c′j(t)u′j(t) 0:

j=1

Рассуждая аналогичным образом при вычислении производных до порядка n 1 включительно, получим

19

и вновь будем требовать, чтобы

∑n

c′j(t)u(jn 2)(t) 0:

j=1

Итак, с учетом указанных условий на производные c′j(t), j = 1; : : : ; n, будем иметь

Поэтому, учитывая, что функция u÷àñò(t) должна быть решением

уравнения (1.3.1), а функции uj(t) решением уравнения (1.3.2), получим

Следовательно, нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения (1.3.1) в виде (1.3.4) сводится к решению системы линейных уравнений

20