Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Действительно,

(A iI)u3 = u2:

Следовательно, найденные векторы fu1; u2; u3g образуют жорданов базис для матрицы A. Тогда, используя матрицу

01

приведем матрицу A к жордановой форме

T1AT = J;

ãäå

В силу невырожденности построенной матрицы T решение y(t) задачи Коши ограничено при t 0 тогда и только тогда, когда ограничена вектор-функция

z(t) = T 1y(t) = etJ T 1y0:

Пусть начальный вектор имеет вид

241

Очевидно, она ограничена при t 0 тогда и только тогда, когда= 0, т. е. все ограниченные решения задачи Коши при t 0 имеют вид

константы.

242

Список литературы

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

2. Бибиков Ю. Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. 2-е изд., перераб. СПб: Издательство С.-Пе- тербургского университета, 2005.

3. Годунов С. К., Гордиенко В. М., Демиденко Г. В., Золотарева Е. В., Костин В. И., Фадеев С. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Èçä-âî Новосиб. óí-òà, 1986.

4.Годунов С. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Т. 1: Краевые задачи. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1994.

5.Демидович Б. П. Лекции по математической теории устой-

чивости. 3-е изд., стереотип. СПб.: Лань, 2008.

6. Ибрагимов Н. Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание, 1991.

7. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981.

8. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

9. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. стереотип. М.: URSS, 2017.

10. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 6-е изд., стереотип. М.: URSS, 2019.

243

11. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 7-е изд., стереотип. М.: URSS, 2015.

12. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

244

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Глава 1. Линейные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . 5

Ÿ 1.1. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Ÿ 1.2. Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ÿ 1.3. Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ÿ1.4. Фундаментальная система решений для дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ÿ 1.5. Свойства матричной экспоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Глава 2. Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Ÿ 2.1. Краевые задачи на числовой прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ÿ 2.2. Краевые задачи на полупрямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 Ÿ 2.3. Краевые задачи на ограниченном интервале . . . . . . . . . 41 Ÿ 2.4. Задача Штурма Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Глава 3. Нелинейные дифференциальные уравнения . . . . . . 51 Ÿ 3.1. Системы нелинейных дифференциальных уравнений 51

245

Ÿ 3.2. Непродолжаемые решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Ÿ 3.3. Зависимость решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Ÿ 3.4. Автономные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Ÿ 3.5. Приемы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Глава 4. Варианты письменного экзамена . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

246