Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

с непрерывно дифференцируемой функцией f может иметь среди своих решений две функции

Ответ обосновать.

Вариант 2. При каком минимальном n уравнение y(n) = f(x; y; y′; : : : ; y(n 1))

с непрерывно дифференцируемой функцией f может иметь среди своих решений две функции

y1(x) = x; y2(x) = sin x ?

Ответ обосновать.

Решение (Вариант 1). Рассмотрим задачу Коши

Поскольку f(x; 1; : : : ; n) гладкая функция, то эта задача имеет единственное непродолжаемое решение y(x). Значения данных функций, а также их производных до 3-го порядка включительно при x = 0 совпадают:

211

y1jx=0 = y2jx=0 = 1;

y1′ jx=0 = y2′ jx=0 = 0;

y1′′jx=0 = y2′′jx=0 = 1;

y1′′′jx=0 = y2′′′jx=0 = 0:

Поэтому, согласно теореме единственности решения задачи Коши, дифференциальное уравнение

ïðè n 4 не может иметь среди своих решений функции

Но поскольку производные четвертого порядка при x = 0 различ-

то существование дифференциального уравнения вида (5.41) при n = 5 уже не будет противоречить теореме единственности. Такое уравнение действительно легко построить, оно имеет вид

y(5) + y′′′ = 0:

Следовательно, n = 5 минимальный порядок искомого дифференциального уравнения.

2011

Вариант 1. Решить задачу Коши

8

< 6tyy′ 5y2 = 2t2;

: y(1) = 3:

212

Сколько существует решений? Вариант 2. Решить задачу Коши

: y(1) = 2:

Сколько существует решений? Вариант 3. Решить задачу Коши

: y(1) = 1:

Сколько существует решений? Вариант 4. Решить задачу Коши

: y(1) = 1:

Сколько существует решений?

Дифференциальное уравнение записано в виде, не разрешенном относительно производной. Посколь-

ку в начальной точке ft = 1; y = 3g коэффициент при производной не равен нулю, то задача Коши в области ft > 0; y > 0g имеет единственное непродолжаемое решение y(t), определенное на интервале (t ; t+).

Подставив y(t) в уравнение, при t > 0 получаем тождество

dtd y2 35ty2 23t:

213

Следовательно, функция v(t) = y2(t) является решением следующей задачи Коши для линейного дифференциального уравнения

Формула ее решения имеет вид

После интегрирования получаем

Учитывая, что v(t) = y2(t), имеем

11t5=3 2t2 0;

ò. å. t 2 [0; (11)3]. Поскольку y(1) > 0, то получаем формулу

2

Непосредственной проверкой легко(убедиться,)что эта непрерывно

(11)3

дифференцируемая на интервале 0; 2 функция является решением рассматриваемой задачи Коши.

214

2012

Вариант 1. Найти общее решение уравнения

Вариант 2. Найти общее решение уравнения

t2yy′′ (2y + ty′)2 = 0; t > 0:

Вариант 3. Найти общее решение уравнения

Вариант 4. Найти общее решение уравнения

t2yy′′ (3y + ty′)2 = 0; t > 0:

Решение (Вариант 1). Очевидно, функция y(t) 0 является частным решением исходного уравнения. Найдем решения в четвертях плоскости ft > 0; y > 0g è ft > 0; y < 0g. Заметим, что

функция

F (t; y; y′; y′′) = t2yy′′ (2y ty′)2;

задающая исходное уравнение, является однородной по y, y′, y′′ степени 2. Для понижения порядка уравнения сделаем замену пе-

215

Тогда уравнение перепишется в виде

Очевидно, общее решение однородного уравнения

t2z′ + 4tz = 0

ãäå c произвольная константа. Для нахождения общего решения

уравнения (5.43) применим метод вариации произвольной постоянной. Будем искать решение в виде

c(t) z(t) = t4 ;

ãäå c(t) неизвестная функция. После подстановки в (5.43) получаем уравнение для нахождения c(t)

c′ = 4t2:

Отсюда

c(t) = c1 + 43t3;

ãäå c1 произвольная константа, и общее решение уравнения (5.43) имеет вид

Тогда в силу (5.42) общее решение может быть найдено из урав-

216

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

Сколько существует решений?

Сколько существует решений?

Сколько существует решений?

217

Решение (Вариант 1). Приведем два способа решения этой задачи.

Способ 1. Характеристическое уравнение

2 2 1 = 0

Поскольку корни не лежат на мнимой оси, то краевая задача имеет единственное решение, которое можно записать в виде

ãäå g(t) функция Грина. Напомним, что функция g(t) 2 C2(ft < 0g) \ C2(ft > 0g) называется функцией Грина исходной краевой задачи, если она удовлетворяет следующим условиям.

1. Ïðè t ≠ 0 функция g(t) удовлетворяет однородному уравне-

íèþ

2g′′ g′ g = 0:

2. g(t) 2 C(R), à g′(t) непрерывна всюду, кроме t = 0, где она имеет разрыв первого рода, т. е.

g(+0) g( 0) = 0;

g′(+0) g′( 0) = 1:

3. Функция g(t) ограничена на числовой прямой

sup jg(t)j < 1:

t2R

218

Из условия 1, очевидно, вытекает, что функция Грина имеет

ãäå aj, bj константы, j = 1; 2. Из условия 3 следует, что a2 = 0, b1 = 0. Тогда в силу условия 2 должны выполняться равенства

Следовательно, для исходной краевой задачи существует функ-

Способ 2. Найдем общее решение дифференциального уравнения, используя -функции. Поскольку корни характеристиче-

ского уравнения

2 2 1 = 0

219

ãäå c1, c2 произвольные константы. Выберем теперь из этого

семейства функций все ограниченные. Для этого перепишем формулу (5.46) в виде

Ясно, что при любом выборе констант c1, c2 первое слагаемое в (5.47) ограничено на полуоси ft > 0g. Аналогично второе слага-

емое в (5.47) ограничено на полуоси ft < 0g при любой c2.

Для ограниченности второго слагаемого, очевидно, необходимо

220