Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Тогда построенная функция (4.22) является решением исходной задачи на полуоси ft 0g и, следовательно, формула (4.22) дает

представление непродолжаемого решения на всей левой полуоси ft 0g (ò. å. t = ), а также при t 2 [0; t ]. Совершенно

ясно, что в качестве правой границы t можно взять минимальное значение параметра t > 0, при котором кривая

в плоскости R2 пересекает прямую L = f(t; y) 2 R2 : 3y 2t = 0g. В нашем случае точка пересечения

S \ L = (t ; y )

будет единственной и, очевидно,

Рассмотрим теперь следующую задачу Коши

8

>< y′ = 3y + 2t;

Поскольку общее решение однородного уравнения

y′ = 3y

имеет вид

yîäí(t) = ce 3t;

а частное решение можно искать в виде линейной функции, то нетрудно выписать общее решение неоднородного уравнения

111

Отсюда получаем формулу решения задачи Коши (4.23)

определенного на всей числовой оси. Отметим, что для функции (4.24) при всех t > t = 13 ln 2 выполняется неравенство

3y(t) 2t < 0:

Поэтому она является решением дифференциального уравнения

на полуоси ft t g.

Следовательно, учитывая свойства функций (4.22) и (4.24), получаем формулу для непродолжаемого решения исходной задачи

которое определено на всей числовой оси.

2006

Вариант 1. Доказать, что при достаточно малых jx0j, jy0j решение задачи Коши

существует на всей полуоси ft > 0g.

112

Вариант 2. Доказать, что при достаточно малых jx0j, jy0j решение задачи Коши

существует на всей полуоси ft > 0g.

Вариант 3. Доказать, что при достаточно малых jx0j, jy0j решение задачи Коши

существует на всей полуоси ft > 0g.

Вариант 4. Доказать, что при достаточно малых jx0j, jy0j решение задачи Коши

существует на всей полуоси ft > 0g.

Решение (Вариант 1). Рассматриваемая задача Коши имеет единственное непродолжаемое решение (x(t); y(t))T , определенное

на интервале (t ; t+). Отметим, что получение явных формул решения систем нелинейных уравнений, как правило, невозможно. Поэтому для того, чтобы показать, что существует > 0 такое, что при всех начальных условиях (x0; y0), (x0)2+(y0)2 2, непро-

должаемое решение определено на всей полуоси ft 0g (ò. å.

113

t+ = +1), можно попробовать воспользоваться теоремой Ляпунова о существовании решения в целом . Согласно этой теореме достаточно построить функцию H(x; y), определенную в некото-

ðîì øàðå

Br = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 r2g;

которая удовлетворяет следующим трем условиям:

1)H(x; y) 2 C1(Br);

2)H(x; y) 0, ïðè ýòîì H(x; y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y = 0;

3)внутри шара Br справедливо неравенство

Для систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями функцию Ляпунова часто удается построить в виде квадратичных форм

Параметры , подбираются таким образом, чтобы выполнялись указанные условия.

Очевидно, при любых положительных , функция (4.25) удовлетворяет условиям 1), 2). Рассмотрим функцию из условия 3):

W (x; y) = 2 x( 2y 3x5) + 2 y(4x 3y3)

= 4 xy 6 x6 + 8 xy 6 y4:

Очевидно, при любых , > 0 второе и четвертое слагаемые при jxj + jyj ≠ 0 строго отрицательны, а первое и третье незнакоопределенные функции. Тогда, полагая, например, = 2, = 1, будем иметь

W (x; y) = 12x6 6y4 0; (x; y) 2 R2:

114

Тогда функция

H(x; y) = 2x2 + y2

удовлетворяет всем трем условиям. Следовательно, по теореме Ляпунова существует > 0 такое, что при любых начальных усло- âèÿõ (x0; y0) 2 B непродолжаемое решение задачи Коши определено на всей полуоси ft 0g.

2007

Вариант 1. Решить задачу Коши

8

< (2y x)y′ = y + x1 ;

Сколько существует решений?

115

Сколько существует решений?

Уравнение записано в форме, не разрешенной относительно производной. Поскольку функция, стоящая перед производной, обращается в нуль в начальной точке

то для этой задачи Коши теорема Пикара не применима. Предположим, что задача имеет решение y(x). Тогда, подставив y(x) в дифференциальное уравнение, получаем тождество

Следовательно, учитывая начальные условия, получаем

y2(x) xy(x) ln jxj 1 ln 2:

Очевидно, этому тождеству удовлетворяют две функции

определенные при x 2. Подставляя обе эти функции в дифференциальное уравнение, получаем тождество

116

т. е. обе функции являются решениями уравнения. Очевидно также, что

yj( 2) = 1; j = 1; 2:

Следовательно, задача Коши имеет два решения y1(t) è y2(t).

2008

Вариант 1. Сколько существует решений краевой задачи на отрезке [0; T ]:

8

x′′ + 4x′ + 5x = f(t); 0 < t < T;

Выписать все решения.

Вариант 2. Сколько существует решений краевой задачи на отрезке [0; T ]:

Выписать все решения.

Вариант 3. Сколько существует решений краевой задачи на отрезке [0; T ]:

Выписать все решения.

117

Вариант 4. Сколько существует решений краевой задачи на отрезке [0; T ]:

8

x′′ + 6x′ + 10x = f(t); 0 < t < T;

Выписать все решения.

Решение (Вариант 1). Вначале выпишем общее решение дифференциального уравнения. Для этого можно использовать - функции. Поскольку корни характеристического уравнения

2 + 4 + 5 = 0

различные:

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения име-

åò âèä

∫t

ãäå c1, c2 произвольные константы. Для нахождения решений краевой задачи нужно подобрать c1, c2 таким образом, чтобы

118

Подставляя x(t) в левое граничное условие, очевидно, получаем

c1 = 0. Следовательно, если решения краевой задачи существуют, то все они выписываются по формуле

где константа c2 определяется при подстановке x(t) в правое гра-

ничное условие. Учитывая явный вид функции 2(t), после несложных преобразований получаем

Следовательно, если длина отрезка T такая, что cos T ≠ 0, то для любой функции f(t) 2 C[0; T ] краевая задача имеет единственное решение, определяемое по формуле (4.26), где

Åñëè cos T = 0, то краевая задача разрешима тогда и только тогда, когда f(t) 2 C[0; T ]

∫T

e2s cos(T s)f(s) ds = 0:

0

Если это условие выполнено, то краевая задача имеет бесконечно много решений вида (4.26).

119

2009

Вариант 1. Доказать, что при достаточно малых jx0j, jy0j, jz0j решение задачи Коши

существует на всей полуоси ft > 0g.

Вариант 2. Доказать, что при достаточно малых jx0j, jy0j, jz0j решение задачи Коши

существует на всей полуоси ft > 0g.

Вариант 3. Доказать, что при достаточно малых jx0j, jy0j, jz0j решение задачи Коши

Вариант 4. Доказать, что при достаточно малых jx0j, jy0j, jz0j

120