Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

можно гарантировать, что при достаточно малых t > 0 решение y(t) будет строго отрицательным, т. е. на достаточно малом отрезке [0; t0] имеем jy(t)j = y(t). Следовательно, при

функция y(t) является решением задачи Коши

8

> y′′ + 2y′ + y = t2 4t 2;

>

>

<

> yjt=0 = 0;

>

>

: y′jt=0 = 1:

Поэтому нетрудно выписать для y(t) явную формулу решения. Вначале рассмотрим характеристическое уравнение

2 + 2 + 1 = 0:

Его корни 1 = 2 = 1. Отсюда следует, что общее решение однородного уравнения

y′′ + 2y′ + y = 0

имеет вид

yîäí(t) = c1e t + c2te t;

а частное решение неоднородного уравнения можно искать в виде

полинома

y÷àñò(t) = 0 + 1t + 2t2:

После подстановки этой функции в уравнение, очевидно, получа- ем

0 = 1 = 0; 2 = 1:

Отсюда имеем общую формулу решения уравнения

â âèäå

y(t) = c1e t + c2te t t2:

101

Следовательно, учитывая начальные условия

получаем явную формулу решения исходной задачи Коши на от-

резке [0; t0]

y(t) = te t t2:

Построенная функция является решением задачи Коши (4.12), (4.13) на всей полуоси ft 0g. А поскольку эта функция строго

отрицательна при всех t > 0, то она является решением исходной задачи Коши.

Замечание. К решению этой задачи большинство студентов подошли очень формально, рассуждая следующим образом. Поскольку

2003

Вариант 1. Найти все решения уравнения

2x2y′′ + xy′ = 14x 2=3; x > 1;

102

такие, что y(1) y′(1) = 1 è y(x) ограничена при x ! 1.

Вариант 2. Найти все решения уравнения

x2y′′ + 2xy′ = 21x3=4; 0 < x < 16;

Решение (Вариант 1). Указанное уравнение является уравнением Эйлера. Поэтому, сделав замену переменных

x = et; y(et) = y~(t);

исходную краевую задачу

103

можно переписать в эквивалентном виде

а частное решение неоднородного уравнения можно искать в виде

y~÷àñò(t) = ae 23 t;

ãäå a константа. Подставляя эту функцию в уравнение, оче- видно, получаем a = 9. Следовательно, общее решение уравнения

ãäå c1, c2 произвольные константы.

Построим теперь решение краевой задачи (4.15). Учитывая условие ограниченности решения при t > 0, очевидно, в формуле (4.16)

104

нужно положить c2 = 0, т. е. общее ограниченное решение урав-

однозначно находим c1 = 14. Отсюда получаем формулу единственного решения краевой задачи (4.15)

y~(t) = 14 + 9e 23 t:

В силу замены переменных имеем

y(x) y~(ln x):

Следовательно, решение исходной краевой задачи (4.14) имеет

âèä

9 y(x) = 14 + x2=3 :

Решение определено однозначно.

2004

Вариант 1. Решить краевую задачу

> sup jy(t)j < 1:

:>

t2R

Сколько существует решений?

105

Вариант 2. Решить краевую задачу

> sup jy(t)j < 1:

:>

t2R

Сколько существует решений? Вариант 3. Решить краевую задачу

> sup jy(t)j < 1:

:>

t2R

Сколько существует решений? Вариант 4. Решить краевую задачу

> sup jy(t)j < 1:

:>

t2R

Сколько существует решений?

Решение (Вариант 1). Перепишем систему уравнений в виде

8

> dy1

>

< dt = y1 + 2y2;

(4:17)

>> dy2

: dt = 3ty2:

106

Очевидно, общее решение второго уравнения имеет вид

ãäå c произвольная константа. Поскольку любая из функций

(4.18) является ограниченной, то наша задача сводится к рассмотрению следующей краевой задачи на числовой прямой:

Для построения решения этой краевой задачи можно использовать функцию Грина.

Напомним, что функция g(t) 2 C1(ft < 0g) \ C1(ft > 0g) íà-

зывается функцией Грина краевой задачи (4.19), если она удовлетворяет следующим условиям.

1. Ïðè t ≠ 0 функция g(t) удовлетворяет однородному уравне-

íèþ

dg

dt

g = 0:

2. В нуле функция g(t) имеет разрыв первого рода, при этом

g(+0) g( 0) = 1:

3. Функция g(t) ограничена на числовой прямой

sup jg(t)j < 1:

t2R

Из условия 1, очевидно, вытекает, что функция Грина имеет

107

ãäå a, b константы. Из условия 3 следует, что a = 0. Тогда в силу условия 2 должно выполняться равенство

0b = 1:

Следовательно, для краевой задачи (4.19) существует единственная функция Грина

Тогда единственное решение краевой задачи (4.19) можно представить в виде

Из проведенных рассуждений вытекает, что все решения исходной краевой задачи представляются в виде семейства вектор-

функций

y(t) = (y1(t); y2(t))T ;

где компоненты y1(t), y2(t) определяются формулами (4.20), (4.18) и зависят от одного параметра c.

2005

Вариант 1. Построить непродолжаемое решение задачи

Указать интервал существования непродолжаемого решения.

108

Вариант 2. Построить непродолжаемое решение задачи

8

< y′ = jy + tj;

: yjt=0 = 1:

Указать интервал существования непродолжаемого решения.

Вариант 3. Построить непродолжаемое решение задачи

8

< y′ = jt 2yj;

: yjt=0 = 1:

Указать интервал существования непродолжаемого решения.

Вариант 4. Построить непродолжаемое решение задачи

8

< y′ = jy + 2tj;

: yjt=0 = 2:

Указать интервал существования непродолжаемого решения.

Рассматриваемая задача Коши, оче- видно, имеет единственное непродолжаемое решение y(t), опреде-

ленное на интервале (t ; t+). Нетрудно выписать общую формулу решения при достаточно малых t 0. Действительно, учитывая начальные условия и знак выражения

3y 2t

ïðè t = 0, получаем, что по крайней мере на достаточно малом отрезке [ t ; t ] функция y(t) является единственным решением

109

Выпишем явный вид этой функции. Очевидно, общее решение од-

нородного уравнения

y′ = 3y

имеет вид

yîäí(t) = ce3t;

а частное решение можно искать в виде линейной функции

y÷àñò(t) = a + bt:

Подставляя эту функцию в уравнение, получим

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(t) = ce3t + 29 + 23t:

Учитывая теперь начальное условие y(0) = 19, получаем формулу решения задачи Коши (4.21), определенного на всей числовой оси,

а следовательно, и формулу решения исходной задачи на малом отрезке [ t ; t ]:

110