Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Вариант 4. Для решения задачи Коши

Решение (Вариант 1). Перепишем рассматриваемую задачу. По аналогии с уравнением Эйлера сделаем замену

x = et; y(et; ) = ye(t; ):

В новых переменных уравнение принимает вид

Тогда задачу Коши можно переписать следующим образом

Поскольку

@@ y(et; ) @@ ye(t; );

то в силу тождества

141

ренцируемости решения задачи Коши по компонентам начального вектора.

Перепишем задачу Коши (4.43) в эквивалентном виде (см. лем-

является решением задачи Коши для системы уравнений в вариациях вида (3.3.8)

Найдем функцию w1(t; 4 ). Для этого нужно решить задачу Ко-

142

Очевидно, отсюда мы приходим к задаче Коши на нахождение функции w1(t)

>w1jt=0 = ;

>4 : w1′ jt=0 = 0:

Нетрудно догадаться, что w1(t) 4 . Подставляя эту функцию в (4.45), получаем задачу Коши для системы уравнений в вариаци-

ях в явном виде

Тогда нахождение искомой функции

143

сводится к решению задачи Коши

Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид

(√p ) (√p ) v1(t) = c1e t cos 2 1 t + c2e t sin 2 1 t :

Учитывая начальные условия, получаем

( (√p ) √p (√p )) v1(t) = e t cos 2 1 t + 2 + 1 sin 2 1 t :

Следовательно, возвращаясь к исходным переменным, имеем

144

2016

Вариант 1. Решить задачу Коши

> yjt=1 = 4; : y′jt=1 = 8:

Вариант 2. Решить задачу Коши

> yjt=2 = 5; : y′jt=2 = 5:

Вариант 3. Решить задачу Коши

Вариант 4. Решить задачу Коши

Решение (Вариант 1). Решить задачу Коши можно несколькими способами. Приведем некоторые из них.

145

Способ 1. Рассматриваемое уравнение имеет вид

F (t; y; y′; y′′) = 0;

где функция

F (t; u1; u2; u3) = tu1u3 3tu22 + 5u1u2

является однородной относительно u1, u2, u3 степени 2, ò. å.

F (t; cu1; cu2; cu3) = c2F (t; u1; u2; u3):

Тогда, сделав замену

порядок уравнения можно понизить (см. Ÿ 3.5). Действительно, поскольку

y′′(t) = y′(t)z(t) + y(t)z′(t) = y(t)[z2(t) + z′(t)];

тривиальная функция y(t) 0

нием рассматриваемой задачи, то по крайней мере в достаточно малой окрестности начальной точки t = 1 эта задача сводится к задаче Коши для уравнения Бернулли

Функция z(t) 0 не является ее решением, поэтому, делая замену u(t) = z 1(t), приходим к задаче для линейного дифференциаль-

146

Очевидно, общее решение однородного уравнения имеет вид

uîäí(t) = ct5;

а частным решением неоднородного уравнения является функция

t

u÷àñò(t) = 2:

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид

u(t) = ct5 + 2t :

Отсюда

u(t) = 2t

решение задачи Коши (4.48), а

z(t) = 2t

решение задачи Коши (4.47). Учитывая теперь (4.46), имеем

y′(t) = 2t y(t):

В силу начального условия

yjt=1 = 4

решением исходной задачи является функция

y(t) = 4t2:

Способ 2. Умножая уравнение на t, имеем

y(t2y′′) 3(ty′)2 + 5y(ty′) = 0; t > 0:

147

Тогда, делая замену переменных, как в уравнении Эйлера

понизим порядок уравнения

ype ′p 3p2 + 4ype = 0:

Учитывая начальные условия в исходной задаче, получаем, что случаи p(ye) 0, ye(s) 0 исключены. Тогда приходим к уравне-

íèþ

Нетрудно найти общее решение уравнения

p(ye) = cye3 + 2y:e

С учетом замены (4.50) начальное условие имеет вид

pjye=4 = 8:

Тогда c = 0, ò. å. p(ye) = 2ye. Отсюда в силу замен (4.49), (4.50) приходим к задаче Коши

{ye′ = 2y;e yejs=0 = 4:

148

Очевидно, решение этой задачи

ye(s) = 4e2s;

и следовательно,

y(t) = 4t2:

Способ 3. В силу начальных условий функция y(t) const

не является решением задачи. Поэтому случаи y(t) 0, y′(t) 0 исключены. Тогда исходное уравнение может быть переписано в

Нетрудно заметить, что его можно представить следующим обра-

149

Из начальных условий ec = 0 и решение задачи Коши имеет вид

y(t) = 4t2:

2017

Вариант 1. При каких начальных данных y0 решение задачи

существует на всей полуоси ft 1g? Вычислить предел lim y(t).

t!1

Вариант 2. При каких начальных данных y0 решение задачи

существует на всей полуоси ft 1g? Вычислить предел lim y(t).

t!1

Вариант 3. При каких начальных данных y0 решение задачи

существует на всей полуоси ft 1g? Вычислить предел lim y(t).

t!1

Вариант 4. При каких начальных данных y0 решение задачи

существует на всей полуоси ft 1g? Вычислить предел lim y(t).

t!1

150