Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Следовательно, с учетом начальных условий получаем, что решение задачи Коши (4.33) является решением следующей задачи

Очевидно, общее решение однородного уравнения

y′ (t 1)y = 0

имеет вид

y(t) = ce(t 1)2=2:

Учитывая теперь начальное условие, получаем формулу решения задачи Коши (4.34)

Тогда построенная функция (4.35) является решением исходной задачи (4.33) на всей прямой R.

2013

Вариант 1. Решить задачу Коши

131

Вариант 2. Решить задачу Коши

8

< y2y′′ + 4y2y′ y(y′)2 (y′)3 = 0; t 0;

:yjt=0 = 1; y′jt=0 = 2:

Сколько существует решений? Вариант 3. Решить задачу Коши

8

< y2y′′ y(y′)2 9y2y′ + (y′)3 = 0; t 0;

:yjt=0 = 3; y′jt=0 = 9:

Сколько существует решений? Вариант 4. Решить задачу Коши

существует решений?

Решение (Вариант 1). Вначале заметим, что функция y(t) 0 является частным решением этого уравнения. Учитывая на-

чальные условия, найдем решение задачи Коши в полуплоскости R2+ = ft 2 R; y > 0g. Поскольку функция

F (y; y′; y′′) = y2y′′ y(y′)2 2y2y′ + 2(y′)3;

определяющая уравнение, является однородной относительно y, y′, y′′ степени 3, то для понижения порядка уравнения сделаем

132

Тогда уравнение перепишется в виде

z′ 2z + 2z3 = 0;

и с учетом начальных данных получаем задачу Коши

: zjt=0 = 1:

Очевидно, в силу теоремы Пикара эта задача однозначно разрешима, при этом

z(t) 1:

Следовательно, в силу (4.36) с учетом начальных данных решение исходной задачи Коши сводится к нахождению решения следую-

: yjt=0 = 3;

которая имеет единственное решение

Отметим, что в полуплоскости R2+ все преобразования были эк- вивалентны. Следовательно, интегральная кривая

проходящая через точку (0; 3), целиком принадлежит R2+. Поэто- му исходная задача Коши имеет единственное решение (4.37).

133

февраль 2014

Вариант 1. Построить непродолжаемое решение задачи Коши

Указать интервал существования решения.

Вариант 2. Построить непродолжаемое решение задачи Коши

Указать интервал существования решения.

Вариант 3. Построить непродолжаемое решение задачи Коши

Указать интервал существования решения.

Вариант 4. Построить непродолжаемое решение задачи Коши

Указать интервал существования решения.

134

Решение (Вариант 1). Заметим, что функция

F (y; y′; y′′) = y′′ + 2e 3y;

определяющая уравнение, не зависит от t. Поэтому для понижения порядка уравнения сделаем замену переменных

Тогда в новых переменных уравнение перепишется в виде

pdydp + 2e 3y = 0

Следовательно, функция p2(y) является решением задачи Коши

135

Очевидно, общее решение уравнения имеет вид p2(y) = 43e 3y + c1:

В силу начальных условий c1 = 0. Учитывая условие (4.39), по-

Следовательно, в силу замены (4.38) решение исходной задачи

136

ноябрь 2014

Вариант 1. Для решения задачи Коши

8

< x′′ 2 (x′)2 + 4x = 4t;

:xjt=0 = 0;

x′jt=0 = 0

найти @x .

@ =0

Вариант 2. Для решения задачи Коши

8

< x′′ + 3 sin( x) + x = 9t;

:xjt=0 = 0;

x′jt=0 = 0

найти @x .

@ =0

Вариант 3. Для решения задачи Коши

8

< x′′ + 2 (x′)2 + 16x = 16t;

xjt=0 = 0;

: x′jt=0 = 0

@x

найти @ =0.

Вариант 4. Для решения задачи Коши

8

< x′′ 3 sin( x) + 9x = 27t;

:xjt=0 = 0;

x′jt=0 = 0

найти @x .

@ =0

137

Решение (Вариант 1). Рассматриваемая задача Коши при любом эквивалентна задаче Коши для системы дифференциальных уравнений

ãäå x(t; ) решение исходной задачи Коши (см. лемму 3.1.6).

Очевидно, для задачи (4.40) выполнены условия теоремы 3.3.3 о дифференцируемости решений по параметру. Поэтому векторфункция

138

и найти производную x′(t) = x′t(t; 0). Очевидно, общее решение

уравнения

x′′ + 4x = 4t

имеет вид

x(t) = c1 cos(2t) + c2 sin(2t) + t:

Учитывая нулевые начальные данные, получаем решение задачи Коши (4.42)

Отсюда

y2(t; 0) = x′(t) = 1 cos(2t):

Следовательно, задача Коши (4.41) имеет вид

:vjt=0 = 0;

èискомая функция>

@x(t; )

v1(t) = @ =0

является решением задачи Коши

8

< v1′′ + 4v1 = 3 4 cos(2t) + cos(4t);

:v1jt=0 = 0; v1′ jt=0 = 0:

Нетрудно найти частное решение неоднородного уравнения

Отсюда общее решение уравнения имеет вид

139

С учетом начальных условий получаем

> yjx=1 = + ;

>

: y′jx=1 = 0

найти @y .

@ = 2

3

Вариант 3. Для решения задачи Коши

найти @ = 56 .

140