Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Полезно решать дифференциальные уравнения

И. Ньютон

Введение

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

где функция F (t; u1; u2; : : : ; un+1) определена в некоторой области G Rn+2 (Fu′n+1 (t; u1; u2; : : : ; un+1) ̸0), t 2 (a; b) R

независимая переменная, y(t) неизвестная функция от t, y(j) =

djy

dtj производные j-го порядка функции y(t), j = 1; : : : ; n. Зача- стую обыкновенное дифференциальное уравнение (1) можно раз-

решить относительно старшей производной y(n) и записать в виде y(n) = f(t; y; : : : ; y(n 1)):

Основная цель настоящего пособия способствовать приобретению студентами необходимых знаний по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, практических навыков решения и исследования дифференциальных уравнений, развитию умения проводить анализ свойств решений дифференциальных уравнений. Теоретический материал в пособии соответствует разделуДифференциальные уравнения программ обязательного письменного экзамена по математике для студентов 4-го курса меха- нико-математического факультета и вступительного экзамена в магистратуру механико-математического факультета Новосибирского государственного университета (ММФ НГУ).

Пособие состоит из пяти глав и списка литературы. В первой главе излагаются основные теоремы для систем линейных дифференциальных уравнений и уравнений произвольного порядка. Вторая глава посвящена теории краевых задач для линейных дифференциальных уравнений. В третьей главе излагаются

3

основные теоремы для нелинейных дифференциальных уравнений и приводятся некоторые способы интегрирования дифференциальных уравнений. В четвертой главе содержатся все задачи по дифференциальным уравнениям из вариантов обязательного письменного экзамена по математике для студентов ММФ НГУ с 1995 г. по 2020 г. Экзамен являлся государственным по 2016 г. В пятой главе содержатся все задачи по дифференциальным уравнениям из вариантов вступительного экзамена в магистратуру ММФ НГУ с 1995 г. по 2018 г. Письменный вступительный экзамен в магистратуру с 2019 г. не проводится. Для каждого года дается подробное решение задачи из первого варианта. Задачи из остальных вариантов студенты могут использовать для самостоятельного решения при подготовке к экзаменам.

С 1995 г. по 2016 г. первый автор являлся председателем комиссии по проведению государственного экзамена по математике для студентов 4-го курса ММФ НГУ, с 1995 г. по 2012 г. он являлся председателем комиссии по проведению вступительного экзамена в магистратуру ММФ НГУ. Второй автор являлся членом этих комиссий с 1995 г. по 2016 г. Авторы являются составителями большинства задач по дифференциальным уравнениям, предлагавшихся на экзаменах с 1995 г. по настоящее время.

Пособие предназначено для студентов физико-математических специальностей, студентов высших технических учебных заведений с углубленным изучением математики, а также для преподавателей дифференциальных уравнений и высшей математики. Авторы надеются, что пособие будет полезным при подготовке к письменному экзамену по математике на 4-м курсе ММФ НГУ.

Первое издание пособия было опубликовано в 2014 г., в него вошли задачи из вариантов упомянутых экзаменов с 1995 г. по 2014 г. Во второе дополненное издание, опубликованное в 2017 г., вошли задачи из вариантов экзаменов с 1995 г. по 2016 г.

4

ГЛАВА 1.

Линейные дифференциальные уравнения

В этой главе мы будем рассматривать системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка

dydt = A(t)y + f(t)

и линейные дифференциальные уравнения произвольного поряд-

Ÿ 1.1. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений

Однородными системами линейных дифференциальных уравнений первого порядка называются системы следующего вида:

ãäå A(t) заданная матрица размера n n

В дальнейшем будем предполагать, что aij(t) 2 C[a; b].

Определение. Вектор-функция

y(t) = (y1(t); y2(t); : : : ; yn(t))T 2 C1(a; b)

5

называется решением системы (1.1.1), если выполнено тождество

Пусть заданы t0 2 (a; b), y0 = (y10; y20; : : : ; yn0 )T 2 Cn. Задача о нахождении решения y(t) системы (1.1.1), принимающего при

t = t0 значение y0, называется задачей Коши, т. е. постановка задачи Коши имеет вид

единственное решение y(t) 2 C1(a; b) задачи Коши (1.1.2).

Отметим, что задача Коши (1.1.2) эквивалентна следующей системе интегральных уравнений Вольтерра:

При этом для доказательства теоремы достаточно показать однозначную разрешимость системы (1.1.3) в классе непрерывных

вектор-функций на (a; b). Для нахождения решения можно построить последовательность приближенных решений fyk(t)g âèäà

y0(t) y0;

∫t

yk(t) = y0 + A( )yk 1( ) d ; k = 1; 2; : : : :

t0

6

Нетрудно показать, что на любом отрезке [ ; ] (a; b), содержа- ùåì t0, эта последовательность равномерно сходится

yk(t) ! y(t); k ! 1;

при этом предельная функция является решением систем (1.1.3), и следовательно, решением задачи Коши (1.1.2).

Указанный метод построения приближенных решений позволяет выписать решение задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде степенного ряда.

называется матричной экспонентой и обозначается e(t t0)A.

В силу формулы (1.1.5) решение задачи Коши (1.1.4) можно

записать в виде

y(t) = e(t t0)Ay0:

7

Следовательно, в силу произвольности (t0; y0) общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений (1.1.1) в случае постоянной матрицы A(t) A можно записать в виде

y(t) = etAC;

ãäå C = (C1; C2; : : : ; Cn)T произвольный вектор.

Определение. Пусть y1(t); y2(t); : : : ; yk(t) непрерывные на (a; b) вектор-функции. Будем говорить, что они линейно независимы на (a; b), если тождество

выполнено тогда и только тогда, когда C1 = C2 = = Ck = 0.

Пример 1.1.1. Вектор-функции

являются линейно независимыми на интервале ( 1; 1). Однако на интервале (0; 1) эти вектор-функции, очевидно, линейно зависимы.

Пример 1.1.2. Вектор-функции

являются линейно независимыми на интервале (0; 1). С другой

стороны, при любом фиксированном t0 векторы y1(t0), y2(t0) являются линейно зависимыми.

Теорема 1.1.3. Пусть y1(t); y2(t); : : : ; yk(t) решения системы уравнений (1.1.1) на интервале (a; b). Если существует t0 2

8

(a; b) такое, что векторы y1(t0); y2(t0); : : : ; yk(t0) линейно зависимы на (a; b), то вектор-функции y1(t); y2(t); : : : ; yk(t) являются

линейно зависимыми на (a; b).

Теорема 1.1.4. Множество всех решений системы (1.1.1) на интервале (a; b) образует линейное пространство размерности

n.

Определение. Совокупность линейно независимых на (a; b) решений системы уравнений (1.1.1)

y1(t); y2(t); : : : ; yn(t)

называется фундаментальной системой решений для (1.1.1), а матрица

Y(t) = (y1(t) y2(t) : : : yn(t))

фундаментальной матрицей решений äëÿ (1.1.1).

Из определения вытекают следующие свойства фундаментальной матрицы решений.

1. Общее решение системы (1.1.1) можно записать в виде

y(t) = Y (t)C;

ãäå C = (C1; C2; : : : ; Cn)T произвольный вектор.

2. В качестве фундаментальной матрицы решений Y (t) можно взять решение системы

dY

dt

= A(t)Y

такое, что det Y (t0) ≠ 0, t0 2 (a; b).

3. Åñëè A(t) A, то в качестве фундаментальной матрицы решений можно взять матричную экспоненту Y (t) = etA.

9

Теорема 1.1.5. Пусть Y (t) фундаментальная матрица ре-

шений для (1.1.1). Тогда решение задачи Коши (1.1.2) можно представить в виде

y(t) = Y (t)(Y (t0)) 1y0:

Теорема 1.1.6. Пусть Y1(t), Y2(t) фундаментальные матрицы решений для (1.1.1). Тогда существует постоянная матрица B, det B ≠ 0 такая, что

Y2(t) = Y1(t)B:

Следствие. Пусть A(t) A, J жорданова форма матрицы A. Тогда в качестве фундаментальной матрицы решений можно взять матрицу Y (t) = T etJ , ãäå T невырожденная матрица такая, что T 1AT = J.

Теорема 1.1.7 (Остроградский Лиувилль). Пусть век- тор-функции y1(t); y2(t); : : : ; yn(t) решения системы (1.1.1) на

интервале (a; b). Составим матрицу

Y (t) = (y1(t) y2(t) : : : yn(t)):

Тогда для ее определителя имеет место тождество

Ÿ 1.2. Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений

Неоднородными системами линейных дифференциальных уравнений первого порядка называются системы следующего вида

10