Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

не зависит от параметра t. Такие системы называются автономными. Очевидно, в задаче Коши для таких систем в качестве на- чальной точки t0 без ограничения общности можно взять t0 = 0,

Будем предполагать, что вектор-функция f(y) является непрерывно дифференцируемой в шаре Br = fy 2 Rn : y rg, ïðè ýòîì f(0) = 0. Тогда, очевидно, y(t) 0 является непродолжаемым решением задачи Коши (3.2.4) при y0 = 0, определенным на вещественной оси R. Мы сформулируем знаменитую теорему Ляпунова, в которой даются достаточные условия на f(y), гарантирующие, что непродолжаемое решение задачи Коши (3.2.4) определено на правой полуоси ft 0g при всех достаточно малых

начальных данных y0.

Вначале дадим следующее определение.

Определение. Функция H(y), определенная в шаре Br, íà-

зывается для автономной системы дифференциальных уравнений (3.2.4), если выполнены следующие три условия:

1)H(y) 2 C1(Br);

2)H(y) 0 â Br, причем H(y) = 0 тогда и только тогда, когда

y = 0;

Теорема 3.2.5 (А. М. Ляпунов). Пусть в шаре Br äëÿ ñè- стемы дифференциальных уравнений (3.2.4) существует функция Ляпунова. Тогда существует 2 (0; r) такое, что при лю-

бых начальных данных y0 2 B непродолжаемое решение задачи Коши (3.2.4) определено на всей полуоси ft 0g.

61

Доказательство теоремы Ляпунова можно прочитать, например, в [5].

Ÿ 3.3. Зависимость решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с параметрами = ( 1; : : : ; k)

Будем предполагать, что

а1) вещественнозначная вектор-функция f(t; y; ) определена и непрерывна в области B Rn+k+1;

Из этих предположений следует, что для любой точки (t0; y0; ) 2 B существует единственное непродолжаемое решение задачи

вания через (t ( ); t+( )). Введем множество

M = f(t; ) 2 Rk+1 : (t0; y0; ) 2 B; t 2 (t ( ); t+( ))g:

Теорема 3.3.1. Множество M открытое в Rk+1, и вектор- функция y(t; ) является непрерывной на M.

Рассмотрим теперь задачу Коши

62

где вещественнозначная вектор-функция f(t; y) определена в об- ласти G Rn+1 и удовлетворяет следующим условиям:

à2) f(t; y) непрерывна в G;

б2) существуют частные производные @y@j fi(t; y), i; j = 1; : : : ; n, которые также непрерывны в G.

Предположим, что (t0; y0) 2 G. Как мы знаем, задача Коши (3.3.3) имеет единственное непродолжаемое решение. Ясно, что при изменении начальных данных (t0; y0) интервал существования этого решения, вообще говоря, может меняться. Обозначим непродолжаемое решение задачи (3.3.3) через y(t; t0; y0), а интер-

вал его существования через (t (t0; y0); t+(t0; y0)). Введем множество

l = 1; : : : ; k, которые также непрерывны в B.

Это дополнительное условие на вектор-функцию f(t; y; ) вле- чет дифференцируемость непродолжаемого решения задачи Ко- ши (3.3.2) по параметрам k. А именно, имеет место следующий результат.

Теорема 3.3.3. При выполнении условий а1), б1), в1) справедливы следующие утверждения.

@

1. Существуют частные производные @ l yi(t; ), i = 1; : : : ; n, l = 1; : : : ; k, которые непрерывны на M.

63

Определение. Система уравнений в (3.3.4) называется системой уравнений в вариациях (по параметрам) для системы (3.3.1).

Справедливы аналогичные теоремы о зависимости решений скалярных дифференциальных уравнений

от параметров = ( 1; : : : ; k).

В качестве упражнения рассмотрите задачу Коши для уравнения (3.3.5) с начальными условиями

64

и скалярным параметром .

Предположим, что функция g(t; v1; : : : ; vn; ) непрерывна в Rn+2 вместе с производными

Пусть u(t; ) непродолжаемое решение задачи (3.3.5), (3.3.6).

где вектор-функция f(t; y) определена в области G R влетворяет условиям а2), б2), (t0; ) 2 G. Как мы знаем, эта задача имеет единственное непродолжаемое решение y(t; ). Обозначим

65

Из сказанного выше следует, что множество M0 является откры-

@

Вектор-функция vj(t; ) = @ j y(t; ) решением задачи Коши для системы линейных дифференциаль-

Определение. Система уравнений в (3.3.8) называется системой уравнений в вариациях (по начальным значениям) для системы (3.3.7).

Доказательство приведенных теорем можно прочитать, например, в [1, 2, 9, 10].

66

Ÿ 3.4. Автономные системы

Рассмотрим вначале общую систему дифференциальных урав-

где вещественнозначная вектор-функция f(t; y) определена в об- ласти G Rn+1 и удовлетворяет следующим условиям:

Определение. Траекторией решения y(t) системы (3.4.1), определенного на интервале (t ; t+), называется множество точек

фазового пространства Oy.

Рассмотрим теперь автономную систему дифференциальных уравнений

Отметим, что траектории автономных систем обладают свойством непересечения (как и интегральные кривые системы (3.4.1) в про-

странстве Oty). Поэтому при исследовании (3.4.2) целесообразно

рассматривать именно траектории (а не интегральные кривые), поскольку они принадлежат пространству, размерность которого на единицу меньше. Этот результат вытекает из следующей теоремы.

Теорема 3.4.1. Пусть y(t; t0; y0) непродолжаемое решение системы (3.4.2), определенное на интервале (t ; t+) и такое, что

67

его интегральная кривая проходит через точку (t0; y0). Тогда

y(t + c; t0 + c; y0) = y(t; t0; y0)

при любых t, (t + c) 2 (t ; t+).

Следствие. Если траектории S1 è S2 системы (3.4.2) пере- секаются в точке y0, òî S1 = S2.

Замечание. Если ввести обозначение

φ(t; y0) = y(t; 0; y0);

то фазовую траекторию системы (3.4.2) можно параметрически задавать уравнением

y = φ(t; y0):

Теорема 3.4.2. Пусть φ(t; y0) определена на ( ; 1). Тогда справедливо групповое свойство

φ(t + ; y0) = φ(t; φ( ; y0)):

Определение. Точка a = (a1; : : : ; an) называется положением равновесия системы (3.4.2), если f(a) = 0.

Очевидно, если a = (a1; : : : ; an) положение равновесия системы (3.4.2), то y(t) a решение системы (3.4.2) на ( ; 1), и следовательно, точка y = a траектория.

Из следствия к теореме 3.4.1 вытекает, что траектория, отлич- ная от положения равновесия, является гладкой кривой.

Теорема 3.4.3. Каждая траектория системы (3.4.2) принадлежит к одному из трех типов:

1)точка;

2)гладкая кривая без самопересечений;

3)замкнутая гладкая кривая (цикл), и в этом случае опреде-

ляющее решение y(t) = φ(t; y0) является периодической функцией.

68

Более подробно о свойствах автономных систем см. в [1, 9, 10].

Ÿ 3.5. Приемы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений

Развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений началось с исследований И. Ньютона (1643 1727), Г. Лейбница (1646 1716) и их ближайших последователей. Большая часть элементарных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений была разработана в 18-м столетии крупнейшими математиками того времени: Ж. Даламбер (1717 1783), братья Бернулли, А. Клеро (1713 1765), А. Лежандр (1752 1833), Ж. Лагранж (1736 1813), П. Лаплас (1749 1827), Г. Монж (1746 1818), Дж. Риккати (1676 1754), Л. Эйлер (1707 1783). Некоторые из этих методов изучаются в университетском курсе по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые классы дифференциальных уравнений, решения которых можно получить в квадратурах с помощью элементарных методов интегрирования, а также классы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися перемен-

(3.5.1) имеет единственное решение y(t), удовлетворяющее условию y(t0) = y0.

Доказательство теоремы элементарное, и решение определяет-

69

ся, очевидно, из интегрального уравнения

2. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение

Частным случаем теоремы 1.2.1 является следующая теорема.

Теорема 3.5.2. Пусть a(t), f(t) 2 C(a; b). Тогда для любых t0 2 (a; b), y0 2 R уравнение (3.5.3) имеет единственное решение y(t), удовлетворяющее условию y(t0) = y0.

Приведем еще одно доказательство существования решения с использованием дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и метода вариации произвольной постоянной.

Вначале рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения, которое является уравнением с разделяющимися переменными:

существует только тривиальное решение

Åñëè y0 > 0 èëè y0 < 0, то в полуплоскости fy > 0g èëè fy < 0g

соответственно можно применить теорему 3.5.1. Тогда из интегрального уравнения (3.5.2) получим формулу решения

∫t

a( ) d

y(t) = et0 y0:

70