Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

Следовательно, общее решение уравнения (5.56) имеет вид

p

Поскольку y(x) y~( x), то отсюда получаем формулу общего решения исходного уравнения

С учетом условия ограниченности мы приходим к выводу, что краевая задача имеет бесконечно много решений вида

ãäå c2 произвольная константа.

Способ 2. Вначале найдем общее решение уравнения, которое является линейным неоднородным. Поскольку функция

2

y÷àñò(x) = 3

является частным решением уравнения, то нужно найти общее решение однородного уравнения

Очевидно, что функция y(x) 0 является решением этого уравнения. Найдем решения y(x) ≠ 0. Рассматриваемое уравнение имеет

âèä

F (x; y; y′; y′′) = 0;

где функция

F (x; u1; u2; u3) = 4xu3 + 2u2 3u1

231

является однородной относительно u1, u2, u3 степени 1, ò. å.

F (x; cu1; cu2; cu3) = cF (x; u1; u2; u3):

Следовательно, используя прием, описанный в Ÿ 3.5 (см. п. 9), уравнение (5.58) можно свести к рассмотрению дифференциального уравнения первого порядка. Приведем подробные рассуж-

дения. Пусть y(x) решение уравнения (5.58). Следовательно, имеет место тождество

Тогда, сделав замену

как в Ÿ 3.5, тождество (5.59) можно переписать в виде

Следовательно, функция z(x) является решением уравнения Рик-

êàòè

z′ + 2zx + z2 = 43x:

Чтобы его решить, вначале нужно найти частное решение этого уравнения. Его можно искать в виде

z÷àñò(x) = x :

После подстановки, нетрудно вычислить, что

p

3 z÷àñò(x) = 2px:

Сделаем замену

u(x) = z(x) z÷àñò(x):

232

Тогда, как описано в Ÿ 3.5 (см. п. 4), для нахождения функции u(x) нужно решить уравнение Бернулли

(p )

Очевидно, u(x) 0 частное решение этого уравнения. Найдем решения u(x) ≠ 0. Согласно Ÿ 3.5 (см. п. 3), сделав замену

v(x) = u(x) 1;

уравнение (5.61) сводится к линейному неоднородному уравнению

(p )

Найдем решение однородного уравнения

(p )

которое относится к классу уравнений с разделяющимися переменными. Очевидно, функция v(x) 0 является решением этого

уравнения. Найдем решения v(x) ≠ 0. После разделения переменных и интегрирования имеем

Вычисляя интегралы, получаем

233

ãäå c1 произвольная константа. Тогда решением однородного уравнения (5.63) является функция

vîäí(x) = c2pxe2p3x;

ãäå c2 произвольная константа. Решение неоднородного уравне-

ния (5.62) можно найти, используя метод вариации произвольной постоянной. Будем искать решение в виде

v(x) = c2(x)pxe2p3x;

ãäå c2(x) неизвестная функция. После подстановки в (5.62) име-

ãäå c произвольная константа. Тогда общее решение уравнения

Возвращаясь к функции u(x), находим решение уравнения Бернулли (5.61)

Отсюда

Следовательно, для нахождения решения уравнения (5.59) нужно решить два уравнения

234

Очевидно, решение уравнения (5.64) имеет вид

p

yîäí(x) = ec1e 3x;

ãäå ec1 произвольная константа.

Найдем решение уравнения (5.65). После разделения переменных и интегрирования получаем

ãäå d1 произвольная константа. Осталось вычислить интеграл, стоящий в правой части. Очевидно,

p e 2 3x0

235

ãäå d2 произвольная константа. Следовательно, решение уравнения (5.65) имеет вид

e e

константы.

В итоге, общее решение исходного неоднородного уравнения

имеет вид

Способ 3. Очевидно, одним из решений уравнения является функция y(x) 23 и она является решением краевой задачи.

Остается выяснить, существуют ли у краевой задачи решения y(x) ̸const. Для этого вначале найдем все решения уравнения.

Пусть y(x) решение уравнения. Тогда при подстановке имеем тождество

4xy′′(x) + 2y′(x) 3y(x) 2:

Умножим его на y′(x). Тогда получаем

4xy′(x)y′′(x) + 2(y′(x))2 3y(x)y′(x) 2y′(x):

Нетрудно заметить, что его можно переписать в следующем виде

Тогда после интегрирования имеем

2x(y′(x))2 32(y(x))2 2y(x) c1;

236

ãäå c1 произвольная константа. Следовательно, y(x) является решением двух уравнений с разделяющимися переменными

После разделения переменных и интегрирования имеем

y(x0)

ãäå c произвольная константа. Вычисление интеграла, стоящего в левой части, разобьем на два случая.

ãäå c2 произвольная константа. Отсюда

ãäå c произвольная константа.

Åñëè c1 ≠ 23, то после интегрирования получаем

237

ãäå c2 произвольная константа. Отсюда

ãäå c ≠ 0 произвольная константа. Тогда

e

С учетом условия ограниченности мы приходим к выводу, что краевая задача имеет бесконечно много решений вида

2018

Вариант 1. Описать множество всех начальных данных y0, для которых решение задачи Коши

ограничено при t 0. Здесь i мнимая единица.

238

Вариант 2. Описать множество всех начальных данных y0, для которых решение задачи Коши

ограничено при t 0. Здесь i мнимая единица.

Решение (Вариант 1). Перепишем задачу Коши в виде

8 dydt = Ay;

Как известно (см. Ÿ 1.1), решение задачи Коши может быть запи-

ñàíî â âèäå

y(t) = etAy0:

Матричную экспоненту можно находить различными способами (см. Ÿ 1.5). Мы будем использовать приведение матрицы A ê æîð-

дановой форме J. Очевидно, характеристическое уравнение для матрицы A имеет вид

det(A I) = 3 2(1 i) 2 + (1 + 4i) + 2 = 0:

Один из корней этого уравнения легко находится 1 = 2. Тогда получаем

3 + 2(1 i) 2 (1 + 4i) 2 = ( + 2)( 2 2i 1) = 0:

239

Отсюда находятся два других корня 2 = 3 = i. Следовательно, собственные значения матрицы A найдены. Найдем теперь жор-

данов базис для A. Собственный вектор u1, соответствующий пер- вому собственному значению, находится из системы уравнений

(A + 2I)u1 = 0

или в развернутой записи

Поэтому можно взять, например,

Поскольку второе собственное значение является кратным, то вна-

равен 2. Поэтому dimKer (A iI) = 1, и следовательно, кратному собственному значению 2 = i соответствует только один линейно независимый собственный вектор u2. В качестве u2 можно взять,

Присоединенным вектором, как легко видеть, является вектор

0 1

0

u3 = @ 1 A :

0

240