Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

УДК 517.9(075.8) ББК 22.161.6я73

Г79

Рецензенты:

кафедра «Естественнонаучные дисциплины» Уральского государственного университета путей сообщения (завкафедрой д-р физ.- мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева); старший научный сотрудник отдела оптимального управления Ин-

ститута математики и механики имени Н. Н. Красовского УрО РАН, канд. физ.-мат. наук, доц. Д. С. Завалищин

Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин

Гредасова, Надежда Викторовна.

Г79         Обыкновенные дифференциальные уравнения : учебное пособие / Н. В. Гредасова, И. Ю. Андреева ; М-во науки и высшего образования РФ, Урал. федер. ун-т им. первого Президента России Б. Н. Ельцина. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2022. — 88 с.

ISBN 978-5-7996-3603-6

В учебном пособии представлены основные понятия и теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Пособие включает следующие темы: дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения высших порядков, системы дифференциальных уравнений. Рассмотрены решения типовых задач. Приведены задачи для самостоятельного решения и задания к расчетной работе.

Предназначается для студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям.

УДК 517.9(075.8) ББК 22.161.6я73

Оглавление

3.3.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными

3

Оглавление

4.2.Решение линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными

4

Предисловие

Учебное пособие посвящено методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пособие состоит из четырех глав и приложения. В первой главе приведены основные сведения о дифференциальных уравнениях. Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения, уравнение Бернулли, уравнения в полных дифференциалах, уравнения, не разрешенные относительно производной, уравнения Клеро и Лагранжа). В третьей главе представлены дифференциальные уравнения высших порядков (уравнения, допускающие понижение порядка, линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков, уравнение Эйлера). Четвертая глава посвящена системам дифференциальных уравнений, в ней излагаются методы решения нормальных систем и линейных однородных систем с постоянными коэффициентами.

Каждая глава содержит как необходимые теоретические сведения, так и достаточное число подробно разобранных примеров, иллюстрирующих основной теоретический материал. Приведен ряд задач для самостоятельного решения.

В приложении представлены задачи для выполнения расчетной работы по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

5

1.Основныесведения

одифференциальныхуравнениях

Дифференциальное уравнение — это равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.

Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкно

венным.

Если неизвестная функция зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит ее частные производные по этим аргументам, то уравнение называется урав

нением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Например:

x3 y 7xy y4 — обыкновенное дифференциальное уравне-

ние первого порядка;

y x sin x — обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

x2 xz y2 yz 0 — дифференциальное уравнение в частных

производных первого порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

6

2.Дифференциальныеуравнения первогопорядка

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными ♦ Однородные дифференциальные уравнения

♦Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли

♦Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

♦Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро ♦Задачи для самостоятельного решения

Дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида

F x, y, y 0,

или

y f x, y .

Общим решением дифференциального уравнения первого поряд ка y f x, y в области D называется функция y x,C , обладающая следующими свойствами:

1) функция является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству;

2) для любого начального условия y x0 y0 такого, чтоx0 , y0 D, существует единственное значение C =C0 , при котором решение y x,C0 удовлетворяет заданному начальному

условию.

Всякое решение y x,C0 , получающееся из общего решения y x,C при конкретном значении C =C0 , называется

частным решением.

7

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Если общее решение дифференциального уравнения найдено в неявном виде, т. е. в виде уравнения Ф(x, y,С) =0, то та-

кое решение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x, y,С0 ) =0 в данном случае называется

частным интегралом дифференциального уравнения.

Задача Коши — это задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y f x, y , удовлетворяющее началь-

ному условию y x0 y0 .

График всякого решения y x дифференциального урав-

нения, построенный на плоскости Oxy, называется интеграль ной кривой этого уравнения.

Общему решению y x,C на плоскости Oxy соответству-

ет семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра — произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему условию y x0 y0 , — кривая этого семей-

ства, проходящая через данную точку M0 x0 , y0 .

Теорема Коши. Если функция f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную производную ∂∂fy в области D, то решение диф-

ференциального уравнения y f x, y при начальном условии y x0 y0 существует и единственно, т. е. через точку x0 , y0 проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Особое решение — это решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (x, y) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального уравнения ни при каких значениях произвольной постоянной С.

8

2.1.Дифференциальныеуравнения сразделяющимисяпеременными

Огибающая семейства интегральных кривых — линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Огибающая семейства интегральных кривых (если она существует) является особым решением.

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если дифференциальное уравнение

P x, y dx Q x, y dy 0

после преобразования может быть записано в виде

то оно называется уравнением с разделяющимися переменными. Исключим из рассмотрения точки, в которых g1 x 0

и f2 y 0. Разделим обе части уравнения (1.1) на g1 x и f2 y , получим уравнение

в котором (как говорят) переменные разделены. Проинтегрируем последнее уравнение, получим

9

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Замечание

При проведении почленного деления уравнения на g1 x и f2 y могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому необходимо отдельно решить уравнения g1 x 0 и f2 y 0

и установить те решения уравнения, которые не могут быть получены из общего решения, — особые решения.

Пример. Решить уравнение

xy2 y2 dx x2 x2 y dy 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠0, y2 ≠0:

x1 dx 1 y dy 0. x2 y2

Интегрируя, получим общий интеграл уравнения:

xx2 1 dx 1y2y dy С ,

dxx dxx2 dyy2 dyy С, ln x 1x 1y ln y С,

ln xy xxyy С.

Решениями уравнений x2 =0, y2 =0 являются соответствен-

но x = 0, y = 0. Непосредственной проверкой можно убедиться, что x = 0, y = 0 являются решениями исходного дифференциального уравнения. Однако они не получаются из общего интеграла ни при каком значении С. x = 0, y = 0 являются особыми решениями.

10