Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

4.2.Решениелинейныходнородныхсистемдифференциальныхуравнений...

4.2. Решение линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть дана нормальная линейная система n дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями x1, x2 ,..., xn

от одной переменной t

где коэффициенты aik и bi — известные функции t или постоянные, i, k =1, 2,..., n.

Система (4.12) называется неоднородной, если хотя бы одна из функций bi t i 1,..., n отлична от нуля для t a, b ; в про-

тивном случае система называется однородной.

Рассмотрим линую однородную систему дифференциальных уравнений

61

4. Системы дифференциальных уравнений

Запишем систему в виде матричного дифференциального уравнения

В области непрерывности коэффициентов aij t ,i, j 1,..., n

система (4.13) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Фундаментальной системой решений системы (4.13) называется совокупность произвольных n линейно независимых решений

X k t (x1 k t , x2 k t ,..., xn k t )Т ,k 1, 2,..., n.

Если X k t ,k 1, 2,..., n — фундаментальная система решений системы (4.13), то общее решение имеет вид

X k t n Ck X k t ,

k 1

где C1,C2 ,...,Cn — произвольные постоянные.

Интегрирование системы (4.13) обычно проводится методом исключений.

Если элементы aij t , i, j 1, ..., n системы (4.13) не зависят

от t, то система называется линейной однородной системой диф

ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для решения линейных однородных систем дифференци-

альных уравнений с постоянными коэффициентами использу-

62

4.2.Решениелинейныходнородныхсистемдифференциальныхуравнений...

ются методы линейной алгебры. Из характеристического уравнения

det(A E) 0

находят различные корни λ1, λ2 , ..., λs и для всякого корня λ

(с учетом его кратности) определяют соответствующее ему частное решение X t . Общее решение системы будет иметь вид

X k t s Ck X k t .

k 1

Возможны следующие случаи:

1) λ — действительный корень кратности 1. Тогда

y

X t Y e t 1 e t,yn

где Y — собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению λ (т. е. AY Y ,Y 0);

2) λ — комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характеристического уравнения является также сопряженное число с λ число λ. Вместо комплексных частных решений

Xt и X t следует взять действительные частные решения

X1 t ReX (t) и X2 t ImX (t);

3)λ — корень кратности r ≥2. Соответствующее этому корню решение системы (4.13) ищется в виде вектора;

коэффициенты которого i j ,i 1,...,n; j 1,...,r , определяются из системы линейных уравнений, получающейся приравнива-

63

4. Системы дифференциальных уравнений

нием коэффициентов при одинаковых степенях t в результате подстановки вектора (4.14) в исходную систему (4.13).

Пример. Решить систему

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы системы и найдем его корни:

Пусть 1 1. Собственный вектор определим из системы

Пусть 1 10. Собственный вектор определим из системы

Общее решение системы будет иметь вид

64

4.3.Задачидлясамостоятельногорешения

4.3. Задачи для самостоятельного решения

Решить системы дифференциальных уравнений.

dx 2x 5y,

dt

dy 5x 6y.dt

Ответ:

x e 2t C1 cos3t C2 sin 3t ,

y 1 / 5 e 2t 4C1 3C2 cos3t 3C1 4C2 sin 3t .

dx 3x y,

dt

dy x y, x 0 1, y 0 1.

dt

Ответ: x e 2t , y e 2t .

dx 4x 6y,

dt

dy 2x 3y t.dt

Ответ:

x C1 C2e7t 3 / 49 t 7t 2 ,

y 2 / 3 C1 1 / 2 C2e7t 1 / 49 14t2 3t 1 .

65

4. Системы дифференциальных уравнений

dx y t,

dt

dy x et , x 0 1, y 0 0.

dt

Ответ:

x C1e t C2e2t С3e 2t , y C1e t C2e2t C3e 2t , z C1e t 2C2e2t .

66

Библиографическийсписок

Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа : учебник для вузов / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. — 6 е изд., стер. — Москва : Наука, 1969. — 736 с. : черт. ; 22 см.

Вся высшая математика : учебник. В 7 томах. Том 3 / М. Л. Краснов, А. И. Кисилев, Г. И. Макаренко [и др.]. — Москва : Эдиториал УРСС, 2001. — 240 с. — ISBN 5-8360-0153-7.

Гутер, Р. С. Дифференциальные уравнения : учебное пособие для втузов / Р. С. Гутер, А. Р. Янпольский. — 2 е изд., перераб. и доп. — Москва : Высшая школа, 1976. — 304 с. : ил.

Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для втузов. В 2 частях. Часть 2 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. — 5 е изд., испр. — Москва : Высшая школа, 1999. — 416 с. : ил. — ISBN 5-06-003071-7.

Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты: учебное пособие / Л. А. Кузнецов. — 12 е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2013. — 240 с. — ISBN 978-5-8114-0574-9.

Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. — 10 е изд., испр. — Москва : Айрис-пресс, 2011. — 608 с.: ил. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-8112-4351-8.

Сборник задач по математике для втузов : учебное пособие для втузов. В 4 частях. Часть 2 / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, С. М. Коган [и др.] ; под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. — 4 е изд., перераб. и доп. — Москва : Изд-во Физико-матема- тической литературы, 2001. — 432 с. — ISBN 5-94052-035-9 (Ч. 2).

Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А. Ф. Филиппов. — 8 е изд., доп. — Москва : ИнтегралПресс, 1998. — 208 с. — ISBN 5-89602-010-4.

67

Приложение

Расчетная работа по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Вариант1

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)y 4 ex dy ex 0;

2)y x2 xy y2 ; x2 2xy

5)y y3 36 0, y 0 3, y 0 2;

6)y 2y 5y 2 sin x;

2 x

7) y 6y 8y 2 e2 x , y 0 0, y 0 0.

2.Скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна количеству этого вещества. Через сколько времени останется 1 % первоначального количества, если за 30 дней распалось 50 % первоначального количества?

3.Решить систему дифференциальных уравнений4e

x 2x y,

y 3x 4 y.

68

Расчетнаяработапокурсу«Обыкновенныедифференциальныеуравнения»

Вариант2

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)4 x2 y xy2 x 0;

2)xy 2x2 y2 y;

3)y y 2xy2 , y 0 12;

5)y 18sin3 y cos y, y 1 2 , y 1 3;

6)y 4 y 8y ex 3sin x 4 cos x ;

2.Быстрота прироста действующего фермента пропорциональна имеющемуся его количеству. Если это количество удваивается в течение одного часа, то во сколько раз оно увеличится за 2,5 часа?

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x x y,

y 4x y.

69

Приложение

Вариант3

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)2xdx 2ydy x 2 ydy 2xy2dx;

2)y y2 6 y 6; x2 x

3)xy y y2 ln x, y 1 1;

4)1 xy dx 1 xy dy 0; x2 y xy2

2.В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 10 °C и тело в течение 30 минут охлаждается от 80 °C до 30 °C, то через сколько времени температура понизится до 20 °C?

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x x 8y,

y x y.

70