Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

3.1.Уравнения,допускающиепонижениепорядка

y n 1 f x dx C1 1 x C1.

Снова умножая обе части уравнения на dx интегрируя, получаем уравнение (n – 2)-го порядка:

y n 2 1 x dx C1dx C2 2 x C1 x C2 и т. д.

После n кратного интегрирования получаем общее решение уравнения в виде явной функции от n произвольных постоянных

Уравнение вида F x, y k ,..., y n 0

Уравнение не содержит явно функцию y.

Порядок данного уравнения можно понизить, сделав замену y k p x .

31

3.Дифференциальные уравнения высших порядков

Вчастности, для уравнения 2 го порядка F x, y , y 0 необходимо сделать следующую замену: y p x , y dxdp.

Пример. Решить уравнение y y tg x sin 2x.

Решение. Уравнение не содержит явно y. Сделаем замену: y p x , y dxdp. Получим уравнение 1 го порядка относитель-

но неизвестной функции p x :

p p tg x sin 2x.

Решаем уравнение методом Бернулли. Полагая p = uv, p u v uv , получим

u 2cos x C,

p uv cos x 2 cos x C1 .

Возвращаясь к первоначальной переменной y, получим dxdy 2 cos2 x C1 cos x.

32

3.1.Уравнения,допускающиепонижениепорядка

Разделим переменные и проинтегрируем:

dy 2 cos2 x C1 cos x dx, y x 12 sin 2x C1 sin x C2.

Уравнение вида F y, y ,..., y n 0

Уравнение не содержит явно аргумент x.

Уравнение данного вида допускает понижение порядка на единице, если сделать следующую замену:

p =0 или 2 p y 1 dydp 0. Решаем первое уравнение:

p =0, dxdy =0, y =C. Решаем второе уравнение:

2 p y 1 dydp 0,

33

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

2dpp ydy1, 12 ln p ln(y 1) lnC1, p C1 y 1 , p C12 (y 1)2.

Проведем обратную замену p = dxdy.

dxdy С12 (y 1)2. Разделяем переменные и интегрируем:

C3 x C2 y 1 , C 1 .

C2

Ответ. y =C; C3 x C2 y 1 , C 1 .

C2

Уравнение вида F(x, y, y ,..., y(n) ) 0, однородное относительно x, y, y′,..., y(n)

Уравнение данного вида допускает понижение порядка на единицу при замене

z yy , где z — новая неизвестная функция.

Пример. Решить уравнение xyy xy 2 yy 0. Решение. Сделаем замену y yz, y y z2 z , получим

xy2 z2 z xy2 z2 y2 z 0.

34

3.1.Уравнения,допускающиепонижениепорядка

Решим полученное уравнение:

y2 x z2 z xz2 z 0,

y2 =0 или x z2 z xz2 z 0; y =0 и z =C1 x.

Так как z yy , то

y C1 xy,

y C2eC1* x2 C1* C1 / 2 .

Заметим, что при С2 =0 получаем и решение y = 0.

Уравнение вида dxd F(x, y, y ,..., y(n 1) ) 0

В уравнениях, у которых левая часть может быть представлена как полная производная по x от некоторой функции

F x, y, y ,..., y n 1 понижение порядка достигается непосредственным интегрированием.

Пример. Решить уравнение yy 2(y )2. Решение. Разделим обе части уравнения на yy′:

35

3.Дифференциальные уравнения высших порядков

3.2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейным дифференциальным уравнением n го порядка называется уравнение вида

где f(x) — функция независимой переменной x; p1, p2 ,..., pn — известные функции от x или постоянные.

f x , p1, p2 ,..., pn предполагаются непрерывными в рассматриваемом интервале a,b . При данном предположении задача Коши для данного уравнения всегда имеет единственное решение при любых начальных условиях

точка x0 a,b .

Если в уравнении (3.4) f x 0, то линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если f x 0, то уравнение называют неоднородным.

Теорема. Если функции y1 x , y2 x ,..., yn x являются решениями уравнения

то и функция

y С1 y1 x С2 y2 x ... Сn yn x ,

где С1,С2 ,..., Сn — произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.

y1 x , y2 x ,..., yn x — частные решения уравнения (3.5).

36

3.2.Линейныедифференциальныеуравнениявысшихпорядков

Две функции y1 x , y2 x называются линейно независимыми

y x

в промежутке a,b , если их отношение y12 x в этом промежут-

y x

ке не является постоянной величиной. Если же y12 x является

постоянной, то эти функции называются линейно зависимыми. Функции y1 x , y2 x ,..., yn x называются линейно независи

мыми в промежутке a,b , если для всех x в рассматриваемом промежутке выполняется равенство

a1 y1 a2 y2 ... an yn 0,

где a1,a2 ,...,an — постоянные, может выполняться только тогда, когда все ai равны нулю.

Если равенство a1 y1 a2 y2 ... an yn 0 в промежутке (a, b) имеет место тогда, когда хотя бы один из коэффициентов

ai , i 1, n , не равен нулю, то функции y1 x , y2 x ,..., yn x на-

зываются линейно зависимыми.

Если функции y1 x , y2 x ,..., yn x являются решениями

уравнения (3.5) и в промежутке (a, b) они линейно независимы, то общее решение этого уравнения имеет вид:

y С1 y1 x С2 y2 x ... Сn yn x ,

где С1,С2 ,...,Сn — произвольные постоянные. Определитель

37

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

называется определителем Вронского, или вронскианом решений

y1 x , y2 x ,..., yn x .

Значение определителя Вронского n решений линейного однородного дифференциального уравнения (3.5) выражается равенством:

где p1 x — коэффициент уравнения (3.5) при y n 1 .

Равенство (3.6) называется формулой Остроградского — Лиувилля.

Теорема. Для того чтобы решения y1 x , y2 x ,..., yn x были

линейно независимы в (a, b), необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского W (x) не обращался в ноль ни в одной точке из (a, b).

Теорема. Если решения y1 x , y2 x ,..., yn x уравнения (3.5) линейно зависимы в промежутке (a, b), то W (x) = 0 на (a, b).

Фундаментальной системой решений уравнения (3.5) называют любые n линейно независимых решений этого уравнения.

Для линейного однородного уравнения второго порядка

y p1 x y p2 x y 0.

Фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений y1 x , y2 x . Общее решение уравнения будет находиться по формуле

y C1 y1 x C2 y2 x .

Если для такого уравнения известно одно частное решение y1 x , то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле (являющейся следствием формулы Остроградского — Лиувилля)

38

3.2.Линейныедифференциальныеуравнениявысшихпорядков

Пример. Найти общее решение уравнения y 2x y y 0, если известно его частное решение y1 x sinx x.

Решение. Найдем второе частное решение:

Общее решение данного по условию уравнения будет иметь вид

Теорема. Если два линейных неоднородных уравнения

y n p1 x y n 1 p2 x y n 2 ...pn 1 x y pn x y 0, y n p1 x y n 1 p2 x y n 2 ... pn 1 x y pn x y 0

имеют общую фундаментальную систему решений, то они тождественны между собой.

Если известно частное решение y1 x уравнения (3.5), то его порядок можно понизить на единицу, используя подстановку

y y1 u x dx.

Если u1 x ,u2 x ,...,un 1 x — фундаментальная система преобразованного уравнения, то функции

39

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

y1 x , y2 x y1 x u1 x dx,..., yn x yn 1 x un 1dx

образуют фундаментальную систему решений исходного уравнения.

Теорема (принцип наложения). Если в уравнении (3.4) правая часть f (x) имеет вид

fx f1 x , f2 x ,

аy1, y2 — частные решения соответственно уравнений

y n p1 y n 1 p2 y n 2 ... pn 1 y pn y f1 x

и

y n p1 y n 1 p2 y n 2 ... pn 1 y pn y f2 x ,

то сумма этих частных решений y1 + y2 будет частным решением уравнения (3.4).

3.3.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением n го порядка называется уравнение вида

где p1, p2 ,..., pn — известные функции от x или постоянные. Общее решение уравнения (3.7) имеет вид

y С1 y1 С2 y2 ... Сn yn,

где y1, y2 ,..., yn — линейные независимые частные решения данного уравнения.

40