Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

3.3.Линейныеоднородныедифференциальныеуравнениявысшихпорядков...

Если все коэффициенты pi уравнения (3.7) постоянны, то общее решение находится с помощью характеристического

уравнения

которое получается из уравнения (3.7), если, сохраняя в нем все коэффициенты pi , заменить функцию y единицей, а все ее про-

изводные — соответствующими степенями r.

Решение будет зависеть от корней характеристического уравнения. Рассмотрим возможные случаи.

1. Если корни r1,r2 ,..., rn характеристического уравнения (3.8)

действительные и различные (однократны), то общее решение выражается формулой

2. Если действительный корень r1 характеристического уравнения (3.8) имеет кратность k r1 r2 ... rk , то соответствующие k членов в формуле (3.9) заменяются слагаемым

er1 x С1 С2 x С3 x2 ... Сk xk 1 .

3. Если характеристическое уравнение (3.8) имеет пару однократных комплексно-сопряженных корней r1, 2 i ,

то в формуле (3.9) соответствующая пара членов заменяется слагаемым

e x С1 cos x С2 sin x .

4. Если пара комплексно-сопряженных корней r1, 2 i

уравнения (3.8) имеет кратность k, то соответствующие k пар членов в формуле (3.9) заменяются слагаемым

e x С1 С2 x ... Ck xk 1 cos x Сk 1 Сk 2 x ... C2k xk 1 sin x .

41

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Пример. Найти общее решение уравнения y 6y 13y 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:

r2 6r 13 0, r1, 2 3 2i.

Так как получили пару однократных комплексно-сопря- женных корней, то общее решение уравнения будет иметь вид

y e 3x C1 cos 2x C2 sin 2x .

Пример. Найти частное решение уравнения y 2y y 0, удовлетворяющего начальным условиям y 0 4, y 0 2.

Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:

r2 2r 1 0, r1 =r1 =1.

Так как получили действительный корень кратности 2, то общее решение уравнения будет иметь вид

y ex C1 C2 x .

Для определения частного решения в равенства

y ex C1 C2 x и y ex C1 C2 x ex C2 ex C1 C2 x C2

поставим начальные условия. Получим систему 2 х уравнений

Поставив C1 4, C2 2 в общее решение, найдем частное ре-

шение

y ex 4 2x .

42

3.4.Линейныенеоднородныедифференциальныеуравнениявысшихпорядков

Пример. Найти решение уравнения y y 4 y 4 y 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:

r3 r2 4r 4 0, r2 4 r 1 0,

r1 1,r2, 3 0 2i.

Общее решение будет иметь вид

y С1ex e0 C2 cos 2x C3 sin 2x С1ex C2 cos 2x C3 sin 2x.

3.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (3.4), как было рассмотрено ранее, имеет вид

y n p1 y n 1 p2 y n 2 ... pn 1 y pn y f x .

Общее решение y неоднородного уравнения равно сумме какого-либо его частного решения y и общего решения y0 со-

ответствующего однородного уравнения (получающегося из неоднородного уравнения при f (x) = 0)

y y0 y.

Рассмотрим два метода нахождения частного решения y линейного неоднородного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных

Данный метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n го порядка как

43

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть известна фундаментальная система решений y1, y2 ,..., yn

соответствующего однородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид

y С1 x y1 С2 x y2 ... Сn x yn,

где С1 x ,С2 x ,...,Сn x определяются из системы уравнений:

Пример. Найти общее решение уравнения y y tg2 x.

Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:

r2 1 0, r1, 2 0 i.

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид

y C1 cos x C2 sin x.

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

44

3.4.Линейныенеоднородныедифференциальныеуравнениявысшихпорядков

Составим систему:

C1' x cos x C2' x sin x 0,

C1' x sin x C2' x cos x tg2 x.. Решим систему:

Метод неопределенных коэффициентов

Для некоторых специальных видов функций f(x) частное решение y можно найти методом неопределенных коэффициен-

тов. По виду правой части f(x) можно заранее указать вид част-

45

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

ного решения y, где неизвестны лишь числовые коэф-

фициенты.

Рассмотрим возможные случаи.

1. f x emx a0 xn ... an . Если m не совпадает с корнями ха-

рактеристического уравнения, то частное решение y ищется в виде

где A0 ,..., An — неопределенные коэффициенты.

Если m совпадает с некоторым корнем кратности k характеристического уравнения, то выражение в правой части (3.11) следует домножить на xk , т. е. решение искать в виде

y x emx A0 xn ... An xk .

2. f x e x b0 xn1 ... bn1 cos x c0 xn1 ... cn1 sin x . Если

i не совпадают с корнями характеристического уравнения, то частное решение y ищется в виде

y x e x B0 xn ... bn cos x C0 xn ... Cn sin x , (3.12) где В0 ,..., Bn,C0 ,..., Cn — неопределенные коэффициенты,

n =max(n1, n2 ).

Если i совпадают с некоторыми корнями кратности k

характеристического уравнения, то выражение в правой части (3.12) следует домножить на xk , т. е. решение искать в виде

y x e x B0 xn ... bn cos x C0 xn ... Cn sin x xk .

3. f (x) — сумма указанных в пунктах 1 и (или) 2 функций.

46

3.4.Линейныенеоднородныедифференциальныеуравнениявысшихпорядков

Пример. Найти общее решение уравнения y 9y ex cos3x.

Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:

r2 9 0, r1, 2 0 3i.

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид y0 e0 C1 cos3x C2 sin 3x C1 cos3x C2 sin 3x.

Представим правую часть исходного уравнения как

ex cos3x e1 x 1 cos3x 0 sin x .

r 1 3i, r ≠ r1, 2,

тогда частное решение будем искать в виде

y ex A cos3x B sin 3x .

Найдем первую и вторую производные от последнего выражения:

y' ex A cos3x B sin 3x ex 3A sin 3x 3B cos3x

ex A 3B cos3x B 3A sin 3x ,

y ex A 3B cos3x B 3A sin 3x

ex 3 A 3B sin 3x 3 B 3A cos3x

ex 8A 6B cos3x 8B 6A sin 3x .

Подставим y' и y″ в исходное уравнение, сократим обе части его на ex, получим

A 6B cos3x B 6A sin 3x cos3x 0 sin 3x.

Приравняв коэффициенты при cos3x и sin 3x, получим систему, из которой найдем коэффициенты A и B:

47

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Найдем общее решение

y y0 y C1 cos3x C2 sin 3x 37ex cos3x 6 sin 3x .

3.5. Дифференциальное уравнение Эйлера

Уравнением Эйлера называется линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами вида

xn y n p1 xn 1 y n 1 p2 xn 2 y n 2 ... pn 1 xy pn y f x , x 0, (3.13) или

где p1, p2 ,..., pn,a,b — постоянные.

С помощью подстановок x =et (если x > 0), x et (если x < 0) для уравнения (3.13) и ax b et (в области ax + b > 0) для уравнения (3.14) оба уравнения преобразуются в линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Пусть x =et , тогда t =ln x,

48

3.5.ДифференциальноеуравнениеЭйлера

Решение однородного уравнения Эйлера (когда f (x) = 0) можно (при x > 0) можно искать в виде y x . Подставляя вы-

ражения для y , y ,..., y n в однородное уравнение Эйлера, находим характеристическое уравнение для определения показателя степени λ.

Пример. Решить уравнение x2 y xy y sin ln x. Решение. Сделаем подстановку x =et . Получим

e2t e 2t ytt yt et e t yt y sin t,

y 2y y sin t.

tt t

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид y0 et C1 C2t .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

y A cos t B sin t.

Определим коэффициенты A и В:

y' A sin t B cos t, y A cos t B sin t,

A cos t B sin t 2 A sin t B cos t A cos t B sin t sin t,

2B cos t 2A sin t sin t ,

A 12 B 0. Общее решение исходного уравнения:

y y0 y et C1 C2t 12 cos t, y x C1 C2 ln x 12 cos ln x.

49

3.Дифференциальные уравнения высших порядков

3.6.Задачи для самостоятельного решения

Решить дифференциальные уравнения.

1.y sin4 x sin 2x.

Ответ: y ln sin x C1 x2 C2 x C3.

2.y xe x , y 0 0, y 0 2, y 0 2.

Ответ: y x 3 e x 3 / 2 x 3 3.

3.y3 y 1.

Ответ: C1 y2 1 (C1 x C2 )2.

4.yy y 2 0, y 0 1, y 0 2.

Ответ: y =e2 x .

5.2xy y y 2 1.

Ответ: 9C12 (y C2 )2 4(C1 x 1)3; y x C.

6.y y x2 , y 2 0, y 2 4. x y

7.y y 2.

Ответ: y C3 x C1 ln C2 (x C1 ); y C1 x C2.

8.y 4 y 3y 0.

Ответ: y C1e x C2e 3x.

9.y 2y 0.

Ответ: y C1 C2e2 x .

10.y 4 y 5y 0.

Ответ: y e2 x C1 cos x C2 sin x .

50