Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

Расчетнаяработапокурсу«Обыкновенныедифференциальныеуравнения»

Вариант4

1. Решить дифференциальные уравнения: 1) x 4 y2 dx y 1 x2 dy 0;

2)xy 3y3 8yx2 ;

2y2 4x2

3)2y 3y cos x 8 12 cos x e2 x y 1, y 0 2;

4)dxy x y2y2 dy 0;

5)y 50 y3, y 3 1, y 3 5;

6)y 4 y 4 y e2 x sin 5x;

2.Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, скорость ее через 4 с равна 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 0,01 м/с?

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x x y,

y 2x 3y.

71

Приложение

Вариант5

1. Решить дифференциальные уравнения:

2.Активность некоторого радиоактивного отложения пропорциональна скорости своего уменьшения. Найти зависимость этой активности от времени, если известно, что в течение четырех дней она уменьшилась вдвое.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x x 3y,

y 3x y.

72

Расчетнаяработапокурсу«Обыкновенныедифференциальныеуравнения»

Вариант6

1. Решить дифференциальные уравнения: 1) 5 y2 y y 1 x2 0;

2)xy 3 x2 y2 y;

3)3xy 5y 4x 5 y4 , y 1 1;

5)y 18sin y cos3 y 0, y 0 0, y 0 3;

6)y 2y 5y 17 sin 2x;

7)y 3y 2y 3 1e x , y 0 1 8 ln 2, y 0 14 ln 2.

2.Найти закон движения и скорость движущегося тела, если скорость его возрастает пропорционально пройденному пути и если в начальный момент движения тело находилось в 8 м от начала отсчета и имело скорость 24 м/с.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x x 5y,

y x y.

73

Приложение

Вариант7

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)6xdx ydy yx2dy 3xy2dx;

2)2y y2 8 y 8; x2 x

5)y 32y3, y 4 1, y 4 4;

6)y 6y 13y e 3x cos x;

2.Движущаяся точка массы m притягивается к неподвижному центру А с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния между ними. В течение какого времени точка переместится в положение А, если она в начальный момент находится в покое на расстоянии α от центра А?

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x 2x y,

y x 4 y.

74

Расчетнаяработапокурсу«Обыкновенныедифференциальныеуравнения»

Вариант8

1. Решить дифференциальные уравнения: 1) y ln y xy 0;

2) xy 3y3 10 yx2 ;

2y2 5x2

3) 3 xy y xy2 , y 1 3;

4)x2 y2 ex dx x2 y2 0;

5)y y3 16 0, y 1 2, y 1 2;

6)y 4 y 8y ex 3sin x 5cos x ;x xdy

2.Тело под действием силы тяжести медленно погружается в воду. При этом сила трения пропорциональна скорости тела. В начальный момент времени тело находится в покое. Найти зависимость пройденного телом пути от времени.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x 3x y,

y 4x y.

75

Приложение

Вариант9

1. Решить дифференциальные уравнения:

1) 1 ex y yex;

2) y x2 3xy y2 ; 3x2 2xy

3)2xy 3y 20x2 12 y3, y 1 2 12 ;

4)ey dx cos y xey dy 0;

5)y 32 sin y cos3 y 0, y 0 0, y 0 4;

6)y 2y 6ex sin x cos x ;

2.Поезд движется по горизонтальному участку пути со скоростью 72 км/ч. Через какой промежуток времени и на каком расстоянии поезд будет остановлен тормозом, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 его веса?

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x 3x 2y,

y 2x y.

76

Расчетнаяработапокурсу«Обыкновенныедифференциальныеуравнения»

Вариант10

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)1 x2 y xy2 x 0;

2)xy 3 2x2 y2 y;

3) y 2xy 2x3 y3, y 0 2;

4)y3 cos x dx 3xy2 ey dy 0;

5)y y3 9 0, y 1 1, y 1 3;

6)y 4 y 4 y e2 x sin 4x;

2.Материальная точка массой m притягивается двумя равномощными центрами F1 и F2, расстояние между которыми 2L, с силой, пропорциональной расстоянию. В начальный момент точка находится в покое на линии F1F2 на расстоянии d от середины отрезка F1F2. Найти закон движения точки.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x 5x 3y,

y 3x y.

77

Приложение

Вариант11

1. Решить дифференциальные уравнения:

2.Закон распада радия состоит в том, что скорость распада пропорциональна количеству радия. Известно, что половина первоначального запаса распадается за 1 000 лет. Какой процент вещества окажется распавшимся за 100 лет?

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x x 2y,

y 2x 3y.

78

Расчетнаяработапокурсу«Обыкновенныедифференциальныеуравнения»

Вариант12

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)y ctgx y 2;

2)x2 y y2 xy;

3)y xy x 1 ex y2 , y 0 1;

4)2 9xy2 xdx 4 y2 6x3 ydy 0;

5)x2 y xy 1;

6)y y 3sin 7x 2 cos 7x;

2.Заземляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости ω вращения. Найти зависимость ω от времени вращения t, если известно, что диск, начав вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении одной минуты вращался со скоростью 60 об/мин.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x 3x 2y,

y 4x y.

79

Приложение

Вариант13

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)xy y y2;

2)x x 2y dy y2dx 0;

3)3 xy y y2 ln x, y 1 3;

4)e y dx 2y xe y dy 0;

5)x4 y x3 y 1;

6)y 2y 5y cos x;

2.В сосуд, содержащий 1 кг воды при температуре 20 °C, опущен алюминиевый предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0,2 и температурой 75 °C. Через минуту вода нагрелась на 4 °C. Когда температура воды и предмета будут отличаться одна от другой на 1 °C? Потерями тепла на нагревание сосуда и прочими пренебречь. Считать, что скорость остывания (нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x 3x 8y,

y x 3y.

80