Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

2.4.Дифференциальныеуравнениявполныхдифференциалах

По частной производной ux e y найдем значение u(x, y) с точностью до произвольной функции f(y):

u x, y e y dx f y ,

u x, y xe y f y .

Продифференцируем найденную функцию u(x, y) по y:

uy xe y f y .

Приравнивая ∂u уже известному значению u 1 xe y, получим ∂y y

f y 1, f y y C1.

Тогда u x, y xe y y C1. Общий интеграл будет иметь вид:

xe y y C1 C2,

xe y y С С C2 C1 .

Замечание. Можно было найти u (x, y) из равенстваuy 1 xe y с точностью до произвольной функции f (x).

Интегрирующий множитель

Если уравнение (2.7) не является уравнением в полных дифференциалах, то в некоторых случаях можно найти такую функцию x, y , что

Pdx Qdy 0

станет уравнением в полных дифференциалах.

21

2.Дифференциальные уравнения первого порядка

µназывается интегрирующим множителем. Если удается найти такую функцию w(x, y), что

то интегрирующий множитель находят по формуле

e w dw C 1 .

Замечание. При подборе w удобно начинать с простых случаев: w = x, w = y. Тогда

2.5. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро

Пусть уравнение F x, y, y 0 разрешимо относительно ис-

22

2.5.Уравнения,неразрешенныеотносительнопроизводной.УравненияЛагранжаиКлеро

Введем параметр p y . Уравнения (2.8) и (2.9) перейдут в ал-

гебраические уравнения. Продифференцируем полученные уравнения соответственно по x или по y, получим системы

Из систем найдем соответственно общее решение уравнения (2.8) или (2.9) в явном или параметрическом виде.

Частным случаем уравнений вида (2.8) является уравнение Лагранжа.

Уравнение Лагранжа — это дифференциальное уравнение первого порядка, линейное относительно x и y, коэффициентами которого являются функции от y′:

P y x Q y y R y 0.

Пусть y p. Разрешим уравнение относительно y:

y xf p p ,

где f p QP pp , p QR pp .

Продифференцируем последнее уравнение, заменим в левой части dy на pdx:

pdx f p dx xf p dp p dp.

Проинтегрируем данное уравнение. Пусть его решение будет x = F (p, C), тогда общее решение исходного уравнения будет иметь вид

x F p,C ,

y xf p p .

23

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение Лагранжа имеет особые решения

y xf p0 p0 ,

где p0 — любой из корней уравнения f(p) = p.

Частным случаем уравнения Лагранжа является уравнение Клеро.

Уравнение Клеро — это уравнение вида

y xy y .

Общее решение уравнения Клеро:

y Cx C .

Кроме общего решения, уравнение Клеро имеет особое решение, которое определяется следующими параметрическим уравнениями:

x p ,

y p p p .

Особое решение Клеро (оно существует, если p const) является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением.

Пример. Решить уравнение y xy 2 y 2.

Решение. Данное уравнение является уравнением Лагранжа. Сделаем замену y p, получим

y xp2 p2.

Продифференцируем полученное равенство:

dy p2dx 2 pxdp 2 pdp.

Заменим dp = pdx, получим

pdx p2dx 2 pxdp 2 pdp.

24

2.6.Задачидлясамостоятельногорешения

Сократим на p, получим уравнение с разделяющимися переменными

1 p dx 2 x 1 dp, xdx1 12dpp. Проинтегрируем

Используя уравнение y xp2 p2, получим

Сокращение на p могло привести к потере особого решения. Полагая p = 0, находим из данного уравнения y = 0 (особое решение).

Итак,

2.6. Задачи для самостоятельного решения

Решить дифференциальные уравнения.

1.xydx x 1 dy 0.

Ответ: y C x 1 e x , x 1.

2.5ex tg ydx 1 ex sec2 ydy 0.

Ответ: y arctg C(1 ex )5.

25

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

3. y y2 cos x.

4. yy ln y, y 2 1.

Ответ: 2 x 2 ln2 y.

Ответ: 2 ln | sin y | e( x 1)2 1.

6.Цилиндрический резервуар длиной 6 м и диаметром 4 м расположен горизонтально. За какое время вода вытечет из резервуара, если отверстие радиусом 1/12 м находится на уровне самой нижней из образующих цилиндра?

Ответ: t ≈18,4 мин.

7.y xy cos xy.

Ответ: 1 sin xy Cx cos xy.

8.x y dx x y dy 0.

Ответ: ln(x2 y2 ) C 2 arctg xy.

9.xy xey/ x y, y 1 0.

Ответ: y x ln |1 ln x |.

10.x 2y 3 dy 2x y 1 dx 0. Ответ: x2 xy y2 x 3y C.

11.y ytgx sec x.

Ответ: y sin x C cos x.

26

2.6.Задачидлясамостоятельногорешения

Ответ: y ex (ln | x | C), x 0.

15.y 2y y2ex.

Ответ: y ex Ce2 x 1, y 0.

20.ydx xdy ln xdx 0, x .

Ответ: y Cx ln x 1, x12 .

27

2.Дифференциальные уравнения первого порядка

21.ydx x y2 dy 0, y .

Ответ: x y C y , y12 .

22.y ey y 1 .

Ответ: x e p C; y e p p 1 , или y x C ln(x C 1).

23.x y cos y'.

Ответ: x pcos p, y p2 cos p psin p cos p C.

24.y xy y y 2.

Ответ: y Сx C 1 C — общее решение;

25.y xy cos y'.

Ответ: y Сx cos C — общее решение; y x arcsin x 1 x2 — особое решение.

28

3.Дифференциальныеуравнения высшихпорядков

Уравнения, допускающие понижение порядка ♦ Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ♦ Линейные

однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами ♦ Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков ♦ Дифференциальное уравнение Эйлера ♦ Задачи для самостоятельного решения

Дифференциальным уравнением n го порядка называется уравнение вида

где x — аргумент, y — неизвестная функция.

Уравнение может быть разрешено относительно старшей производной

Задача Коши дифференциального уравнения n го порядка состоит в том, чтобы найти решение данного уравнения, кото-

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит наперед за-

29

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Решение задачи Коши называют частным решением уравнения (3.1).

Функция y f x,C1,C2 ,...,Cn , где Ci — произвольные посто-

янные, называется общим решением уравнения (3.1) в некоторой области D на плоскости Oxy, если при соответствующем выборе значений C1,C2 ,...,Cn эта функция обращается в любое

частное решение, график которого лежит в области D. Уравнение

F x, y,C1,C2 ,...,Cn 0,

определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Если дифференциальное уравнение (3.2) тако-

во, что функция f x, y, y , y ,..., y n 1 в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непре-

x0 h x x0 h, на котором существует и притом единствен-

ное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (3.3).

3.1. Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение вида y n f x

Уравнение y n f x решается последовательным диффе-

ренцированием. Умножая обе части уравнения на dx и интегрируя, получаем уравнение (n – 1)-го порядка:

30