Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

2.1.Дифференциальныеуравнениясразделяющимисяпеременными

Пример. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость количества бактерий от времени.

Решение. Обозначим количество бактерий в момент времени t через x (t), а начальный момент через x0 x 0 . Тогда скорость

размножения бактерий будет dxdtt .

По условию x (t) удовлетворяет дифференциальному уравнению

Проинтегрируем обе части последнего равенства, получим общее решение уравнения:

ln x t kt ln C,

x t Cekt.

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям:

x0 Cek 0 ,С x0 , x t x0ekt.

Чтобы найти искомую зависимость, определим коэффициент пропорциональности k. Известно, что x 5 3x0, тогда

3x0 = x0e5k ,e5k =3,k =0,2 ln 3.

Зависимость количества бактерий от времени будет определяться уравнением

x t x0e0,2 ln 3 t .

11

2.Дифференциальные уравнения первого порядка

2.2.Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение называется однородным, если его можно привести к виду

Дифференциальное уравнение называется однородным, если его можно привести к виду

P x, y dx Q x, y dy 0,

где P(x, y) и Q(x, y) — однородные функции одного порядка, т. е. существует такое k , что P tx,ty tk P x, y иQ tx,ty tk Q x, y

тождественно относительно x, y и t ≠0.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

u x xy .

чим общий интеграл данного уравнения.

12

2.2.Однородныедифференциальныеуравнения

Замечание

Необходимо иметь в виду, что формула (2.3) не охватывает тех частных решений, для которых при каком-либо значении u =u0 выполнено равенство u0 u0 0.

Пример. Проинтегрировать уравнение

2x2dy x2 y2 dx.

Решение. Разделим обе части уравнения на x2dx:

13

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

При разделении переменных делили уравнение на x и на (u −1)2, что возможно при x ≠0 и (u 1)2 0. Непосредственной

проверкой можно убедиться, что x = 0 и y = x (u = 1) также являются решениями данного по условию уравнения, но они не входят в общий интеграл.

Уравнения, приводимые к однородным

1.Некоторые уравнения удается привести к однородным заменой y zt x zt , где t — постоянная.

2.Рассмотрим уравнение вида

ному с помощью замены x u , y v , где , — единственное решение системы

a1 b1 c1 0,

a2 b2 c2 0.

нию с разделяющимися переменными с помощью подстановки u a1 x b1 y.

14

2.2.Однородныедифференциальныеуравнения

Найдем , из системы:

2 5 0,

2 4 0.

1, 2.

Подставим в исходное уравнение x = u – 1, y = v + 2. Получим однородное уравнение:

z2 4z 1 C u12 .

Подставляя z = uv в последнее уравнение, получим

Так как x = u – 1, y = v + 2, то

(y 2)2 4 y 2 x 1 (x 1)2 C ,

y2 x2 4xy 10x 8y C1,C1 C 9.

15

2.Дифференциальные уравнения первого порядка

2.3.Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли

Линейное дифференциальное уравнение — это уравнение вида

y P x y Q x ,

где P (x) и Q (x) — непрерывные функции.

Линейное однородное дифференциальное уравнение — это уравнение вида

y P x y 0.

Метод вариации производной постоянной (метод Лагранжа)

Решаем линейное однородное уравнение:

dxdy P x y 0, dxdy P x y, ln y P x dx ln C,

C x e P x dx Q x , C x Q x e P x dx ,

C x Q x e P x dx С1.

16

2.3.Линейныедифференциальныеуравнения.УравнениеБернулли

Подставим найденное C (x) в (2.5), получим

y Q x e P x dx С1 e P x dx.

Пример. Решить уравнение

y y cos x.

Решение. Решим линейное однородное уравнение y y 0:

dxdy y, ln y x ln C, y Ce x .

Пусть C = C (x), тогда y C x e x, y C x e x C x e x. Подставим y и y′в исходное уравнение, получим:

Метод Бернулли

Решение уравнения y P x y Q x будем искать в виде произведения двух функций:

y u x v x .

Тогда y u x v x u x v x . Подставим y и y′в уравнениеy P x y Q x , получим

17

Потребуем, чтобы v x v x P x 0, тогда из этого урав-

нения найдем v(x). Найденное v(x) подставим в (2.6) и определим u(x).

Пример. Решить уравнение y 2xy 2x2e x2 .

Решение

Положим u u x ,v v x , y =uv, y u v uv .

u v uv 2xuv 2x2e x2 , u v u v 2xv 2x2e x2 ,

v e x2 .

Подставим v в уравнение u v u v 2xv 2x2e x2 и найдем u: u e x2 2x2e x2 , dudx =2x2, du 2x2dx,

u 32 x3 C . Общее решение будет иметь вид

ye x2 32 x3 C .

18

2.3.Линейныедифференциальныеуравнения.УравнениеБернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

y P x y Q x yn, n 0, n 1,

где P(x) и Q(x) — непрерывные функции.

Уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению подстановкой

z y1 n.

Уравнение Бернулли можно решить методом Бернулли.

Пример. Решить уравнение y xy y3e x2 .

Решение

Решим методом Бернулли, полагая u u x , v v x , y =uv, y u v uv :

u v uv xuv (uv)3 e x2 , u v u v xv (uv)3 e x2 ,

v xv 0, dxdv = xv, dvv xdx,

x2

v =e 2 .

Подставим v в уравнение u v uv xuv (uv)3 e x2 и найдем u:

19

2.Дифференциальные уравнения первого порядка

2.4.Дифференциальные уравнения

вполных дифференциалах

Дифференциальное уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если выражениеP x, y dx Q x, y dy является полным дифференциалом

некоторой функции u(x, y), т. е. если

P x, y dx Q x, y dy du.

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

P x, y Q x, y .

y x

В этом случае u(x, y) = C есть общий интеграл данного уравнения. Функция u(x, y) может быть найдена из системы уравнений:

ux P x, y , uy Q x, y .

Пример. Найти общий интеграл уравнения e–ydx + (1 – xe–y) dy = 0.

Решение. P x, y e y , Q x, y 1 xe y.

Так как Py e y , Qx e y, то левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u x, y , для которой

ux e y , uy 1 xe y.

20