Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие-1

Расчетнаяработапокурсу«Обыкновенныедифференциальныеуравнения»

Вариант14

1.Решить дифференциальные уравнения: 1) x 2y y 1;

3) 2y y cos x y 1 cos x 1 sin x , y 0 1;

4) 3x2 y2 dx 2x3 5y dy 0; y2 y3

5)1 x2 y 2xy x3;

6)y 4 y 8y ex 2 sin x cos x ;

2.За 30 дней распалось 50 % первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 10 % от первоначального количества? Использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x y,

y 4x.

81

Приложение

Вариант15

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)4 y2 dx ydy x2 ydy;

2)xy 2 3x2 y2 y;

3)y y xy2 , y 0 1;

4) 2x 1 x2 y dx x2 ydy 0;

5)cthx y y ch1x 0;

6)y 2y 3ex sin x cos x ;

2.За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2R = 2,8 м и высотой Н = 2,5 м через отверстие в дне диаметром 2R = 8 см? Ось цилиндра вертикальна. Принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной 0,6 2gh, где g = 10 м/с 2 — ускоре-

ние силы тяжести, h — высота уровня воды над отверстием.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x x y,

y x 3y.

82

Расчетнаяработапокурсу«Обыкновенныедифференциальныеуравнения»

Вариант16

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)x2 y 1 dx x3 1 y 1 0;

2)y x2 xy 3y2 ; x2 4xy

3)2 y xy x 1 ex y2 , y 0 2;

4)1 y2 sin 2x dx 2y cos2 xdy 0;

5)cthx y y chx;

6)y 4 y 4 y e2 x sin 4x;

2. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 1,5 м?

3. Решить систему дифференциальных уравнений

x x 2y,

y x y.

83

Приложение

Вариант17

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)sin x sin ydx cos x cos ydy 0;

2)y y2 10 y 5; x2 x

3)xy y xy2 , y 1 1;

4)3x2 1 ln y dx 2y x3 dy;

y

5)x4 y x3 y 4;

6)y 6y 13y e 3x cos8x;

2.Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды из полного бака вытекает за 10 минут. За какое время вытечет вся вода? Принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной 0,6 2gh, где g = 10 м/с 2 — ускорение силы тяжести, h — высота уровня воды над отверстием.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x x 4 y,

y x y.

84

Расчетнаяработапокурсу«Обыкновенныедифференциальныеуравнения»

Вариант18

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)3 ey yy ex;

2)x y dy y x dx 0;

3)2 xy y y2 ln x, y 1 2;

2.В баке находится 100 л раствора, содержащего 12 кг соли. В бак непрерывно подается вода (4 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час? Считать, что втекающая вода вследствие перемешивания распределяется по всему объему вместилища равномерно.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x 3x y,

y 4x y.

85

Приложение

Вариант19

1.Решить дифференциальные уравнения:

1)3 y2 1 x2 yy 0;

2)xdy y 1 ln y ln x dx 0;

3) 8xy 12y 5x2 3 y3, y 1 2;

4)xy dx y3 ln x dy 0;

5)1 x2 y 2xy 12x3;

6)y 4 y 4 y e2 x sin 3x;

2.Тело охладилось за 20 минут от 100 °C до 40 °C. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20 °C. Когда тело остынет до 10 °C? Считать, что скорость остывания (нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x x y,

y 2x.

86

Расчетнаяработапокурсу«Обыкновенныедифференциальныеуравнения»

Вариант20

1. Решить дифференциальные уравнения:

1) 1 ex yy ex;

2) xy 3y3 14 yx2 ;

2y2 7x2

3) 2 y xy 1 x e x y2 , y 0 2;

2.Воронка имеет форму конуса радиусом R = 8 см и высоты Н = 12 см, обращенного вершиной вниз. За какое время вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие диаметром 0,5 см, сделанное в вершине конуса? Принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной 0,6 2gh, где g = 10 м/с 2 — ускорение силы тяжести, h — высота уровня воды над отверстием.

3.Решить систему дифференциальных уравнений

x 3x 2y,

y 4x y.

87