Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие

Печатается по решению ученого совета СамГТУ (протокол № 9 от

27.04.2018 г.).

УДК 517.946.5 ББК 22.161,6я73

Т 191

Тарасенко А.В., Егорова И.П.

Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебное пособие /

А.В. Тарасенко, И.П. Егорова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т., 2019. – 94 с.

Учебное пособие содержит краткое изложение теоретического материала важного раздела математики «Дифференциальные уравнения», а также представлены методы решения задач и большое количество упражнений для индивидуальной работы студентов.

Учебное пособие составлено в соответствии с программой курса высшей математики для студентов инженерно-технических специальностей.

УДК 517.946.5 ББК 22.161,6я73 Т 191

Рецензент – кандидат физико-математических наук, доцент Шувалова Татьяна Витальевна (СамГТУ).

© Самарский государственный технический университет, 2019

2

Введение

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, характеризующие физическое явление, но в то же время легко устанавливается зависимость между теми же величинами и их производными или дифференциалами. При этом получаются уравнения, содержащие неизвестные функции или вектор-функции (функции нескольких переменных) под знаком производной или дифференциала.

Уравнения, в которых неизвестная функция или вектор-функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными.

Зависимость между искомыми величинами будет найдена, если будут указаны методы нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями. Нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями, и является основной задачей теории дифференциальных уравнений.

К сожалению, нет универсального метода для решения дифференциальных уравнений, так как для большинства из них вообще невозможно найти общее решение.

В данном учебном пособии рассматриваются основные типы дифференциальных уравнений, для которых всё-таки удается найти общее решение.

Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и выдачи индивидуальных домашних заданий по всем разделам курса «Дифференциальные уравнения».

3

ЧАСТЬ I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Если искомая функция y зависит от одного аргумента x , т.е. y = y(x) , то такое уравнение называется обыкновенным и может быть

если же независимых переменных два и больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными и имеет вид:

уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

дифференциального уравнения 2-го порядка.

4

производными 1-го порядка для функции двух независимых переменных u = u(x, y) .

с частными производными 2-го порядка для функции трех независимых переменных u = u(x, y, z) .

8.Порядок дифференциального уравнения (1) равен n .

9.Порядок дифференциального уравнения (2) равенk .

подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Определение 4. Общим решением дифференциального уравнения

дифференциального уравнения называется множество всех интегральных кривых этого уравнения.

5

Таким образом, общему решению y = ϕ (x, c) на плоскости xOy соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной c .

Часто среди всех решений дифференциального уравнения, определяемых его общим решением, требуется найти такое, которое удовлетворяло бы условиям: при x = x0 , y = y0 , где x0 и y0 – заданные числа. Геометрически это значит, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку плоскости xOy .

Определение 8. Задание таких условий ( y = y0 при x = x0 ) называется заданием начальных условий и коротко записываются так:

уравнения называется то решение, которое получается из общего решения y = ϕ (x, c) при конкретном значении произвольной

получим общее решение дифференциального уравнения (1.3) в виде:

Придавая постоянной c конкретные значения из общего решения (4), будем получать частные решения. Так:

Например, для дифференциального уравнения (1.3) необходимо решить задачу Коши y(2) = 5.

Для уравнения (1.3) общее решение имеет вид (1.4). Подставим в общее решение (1.4) начальные условия x = 2 и y = 5 , в результате получим c = 9 , то есть получим одно частное решение:

уравнения называется такое решение данного уравнения, которое ни при каких значениях c не получается из общего решения (в том числе при c = ±∞ ).

Например, проверкой можно убедиться, что дифференциальное уравнение:

y′ = 1− y2

имеет общее решение в виде:

y= sin(x + c) .

Вто же время функция y = 1 также является решением этого

уравнения, но это решение не может быть получено из общего решения ни при каких значениях произвольной постоянной c , то есть данное решение y = 1 является особым.

Графиком особого решения является интегральная кривая, которая в каждой своей точке имеет общую касательную с одной из интегральных кривых, определяемых общим решением. Такая кривая называется огибающей семейства интегральных кривых [1].

Определение 12. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

7

ЧАСТЬ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА

При изучении данного раздела рекомендуется литература [1-4].

§ 1. Дифференциальные уравнения вида y′ = f (x) и y′ = f ( y)

Дифференциальные уравнения вида y′ = f (x) и y′ = f (x) является простейшими дифференциальными уравнениями 1-го порядка.

Метод решения: общее решение дифференциальных уравнений вида y′ = f (x) на заданном интервале X можно отыскать,

проинтегрировав обе части этого равенства. Получим y′dx = f (x)dx .

Замечание. Во многих задачах интервал X не указывается. В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.

Схема решения дифференциального уравнения вида y′ = f (x) :

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение y′ = x4 ln 5x .

8

Решение.

Метод решения: решение дифференциального уравнения y′ = f ( y) также сводится к интегрированию всех частей заданного уравнения при условии, что f ( y) ≠ 0 .

Схема решения дифференциального уравнения вида y′ = f ( y) :

9